湖北省部分重点高中2024−2025学年高二上学期11月联考 数学试卷（A）（含解析）

这是一份湖北省部分重点高中2024−2025学年高二上学期11月联考 数学试卷（A）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
2．已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．1C．D．
3．已知空间向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知实数，满足方程，则的最大值为（ ）
A．B．C．0D．
5．如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
6．某中学研究性学习小组为测量如图所示的铜雕的高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点处测得铜雕顶端P处仰角分别为，且，则该铜雕的高度为（ ）

A．B．C．D．
7．为椭圆上任意一点，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值集合为
B．当时，焦点坐标为
C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则
D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆
10．如图所示，在棱长为1的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．的最小值为
C．若直线与所成角的正弦值为，则
D．若是线段的中点，则到平面的距离为
11．已知圆，为直线上一动点，过向圆引两条切线，为切点，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线与圆总有两个交点.
B．不存在点，使.
C．直线过定点.
D．过作互相垂直的两条直线分别交圆于、和、，则四边形面积的最小值为6
三、填空题（本大题共3小题）
12．设圆：，为圆内一点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 .
13．已知圆台上、下底面半径分别为1和2，母线与底面所成角为，则圆台的外接球体积与圆台体积之比为 .
14．已知M 是椭圆上一点，线段 AB是圆的一条动弦,且则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．直线经过两直线：和：的交点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程.
(2)若点到直线的距离为4，求直线的方程.
16．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.
(1)成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
(2)已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
17．如图，由等腰与直角梯形组成的平面图形，已知，，，，，现将沿折起，使其成四棱锥，且.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正切值.
18．某公司进行团建活动，最后一活动由两小组各自推荐出来的员工甲、员工乙参加．该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，两人各掷飞镖30次，所得成绩的第60百分位数大的员工参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：①有4次游戏机会；②依次参加，，游戏；③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完；④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金20元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元.
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙掷飞镖所得成绩如下表：
甲的成绩
乙的成绩
(1)甲、乙两位员工谁参加第二阶段游戏？并说明理由．
(2)在（1）的基础上，解答下列两问：
（i）求该员工能参加游戏的概率.
（ii）该员工获得的奖金金额超过70元的概率是多少？
19．如图1，已知圆心在轴的圆经过点和.过原点且不与铀重合的直线与圆交于A、B两点（在轴上方）.

(1)求圆的标准方程；
(2)若的面积为，求直线l的方程；
(3)将平面xOy沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂直，如图2，求折叠后AB的范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】依题意，，
所以的虚部为.
故选：D
2．【答案】C
【详解】若与互相平行，则需满足，解得，
故直线：与：，
故两直线间距离为，
故选：C
3．【答案】C
【详解】因为，且，
所以.
故选：C
4．【答案】D
【详解】由得，所以在以2,0为圆心，
半径为的圆上，表示圆上的点和点连线的斜率，
设过的圆的切线方程为，
2,0到直线的距离，解得或，
所以的最大值为.
故选：D
5．【答案】B
【详解】因为，，
故，
由于在上，所以，故，
则，
又，，，
所以，
则
.
故选：B.
6．【答案】B
【分析】设的投影为，且，利用锐角三角函数表示出、、，再在和中分别用余弦定理得到方程，解得即可.
【详解】设的投影为，且，在中，，
所以，

在中，，所以，
在中，，所以，
在和中分别用余弦定理得，
解得或（舍去），即该铜雕的高度为.
故选：B
7．【答案】D
【详解】由椭圆，可得，，，所以可知为椭圆的下焦点，
设为椭圆上焦点，又因为为椭圆上任意一点，所以由椭圆定义可知：，
即，因为当，，三点共线且点在第二象限时有最大值，
即，又因为，
所以.
故选：D.
8．【答案】C
【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，，
设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是，
由，得
，
所以、两点间的距离为.

9．【答案】BCD
【详解】A选项，因为，则,且，所以的取值范围是，故A选项错误；
B选项，当时，椭圆方程为，则椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，所以焦点坐标为；
C选项，当时，椭圆方程为，则椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，，则椭圆所包围的区域面积为，且，则C选项正确；
D选项，时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，则，，，则当，时，离心率表示单调递减的函数，则随着越大，椭圆的离心率越接近0，椭圆越圆，故D选项正确.
故选：BCD
10．【答案】ABD
【详解】A：由题意面，面，故平面平面，对；
B：由题意面，面，则，
又是线段上动点，显然与重合时最小，为，对；
C：若平行于侧棱，交于，连接，显然为矩形，
所以，故直线与所成角，即为直线与所成角，为，
由，而，
令且，则，，，
所以，可得，
整理得，可得或（舍），错；
D：显然C中为的中点，而，面，面，
所以面，即到平面的距离，即为到平面的距离，
由，且，即，
所以，对.
故选：ABD
11．【答案】ACD
【详解】选项A：因为直线过定点，
且，即该定点在圆内，所以直线与圆总有两个交点，A说法正确；
选项B：连接，因为为切点，所以与全等，

假设存在点，使，则，此时，
因为，所以假设成立，即存在点，使，B说法错误；
选项C：设，则，
以为直径的圆的方程为，即，
又圆，两圆作差可得公共弦直线方程为，
消去可得，整理得，
令可得直线过定点，C说法正确；
选项D：设到直线，的距离为，则，

因为，，
所以，
又因为，当且仅当或过原点时等号成立，
所以，四边形面积，
即四边形面积的最小值为6，D说法正确；
故选：ACD
12．【答案】
【详解】根据题意，作图如下所示：
由题可知：，且，故，
故点的轨迹是椭圆，设其方程为，
故，，，故，故其方程为：.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】由题意可知：上底面半径，下底面半径，
由轴截面可知：，可知，
可得圆台的体积，
设外接球的半径为，
则，即，解得，
（假设球心在圆台内，则，此时无解）
可得球的体积，
所以.
故答案为：
14．【答案】70
【详解】

如图，设中点为，由，，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
，
，设，则
，
当且仅当时，，
所以，
故答案为：70
15．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）方法一：由得交点，
因为与直线垂直，所以设：，代入得，
所以的方程为；
方法二：设：，整理得，
当与直线垂直，所以，解得，
所以的方程为，即.
（2）方法一：当的斜率不存在时，为，满足题意，
当的斜率存在时，设：，则到直线的距离为，
解得，此时直线的方程为，
综上，直线的方程为或.
方法二：到直线的距离为，
化简得，解得或，
所以直线的方程为或.
16．【答案】(1)88分
(2)平均成绩为76，方差为12
【详解】（1）前4组的频率之和为，
前5组的频率之和为，
第分位数落在第5组，设为，则，解得.
“防溺水达人”的成绩至少为88分.
（2）的频率为0.15，的频率为0.30，所以
的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，
依题意有，解得，
，解得
所以内的平均成绩为76，方差为12.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在中，，，
，
又，，，
，又，平面，
平面，平面，平面，
所以平面平面，平面平面，
取中点，连，
则，又平面平面，平面，
平面，取中点，连，，
则，，四边形为平行四边形，
，平面，
又平面，平面平面；
（2）由（1）知以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，A2,0,0，，，，
设平面的法向量为，
，，，
，即，
令，则，设平面法向量m=x,y,z，
则，即，
令，则，
，则，
，
由图形可知二面角为锐角，故二面角的正切值为.
18．【答案】(1)甲参加第二阶段游戏，理由见解析
(2)（i），（ii）
【详解】（1），甲的6，7，8环一共有15次，9环11次，故甲的第60百分位数为9；
而乙6，7，8环一共有18次，9环10次，，其故乙的第60百分位数为8.5，
所以甲参加第二阶段游戏.
（2）（i）若甲能参加游戏，则，游戏至多共使用3次机会，
①，游戏共使用2次机会，则概率；
②，游戏共使用3次机会，则概率，
所以甲能参加游戏的概率为.
（ii）由甲获得的奖金金额超过70元即奖金金额为170和270，也就是说甲能参加游戏并且游戏至少获胜一次。
①，游戏共使用2次机会，且游戏获胜一次，则概率；
②，游戏共使用3次机会，游戏获胜一次，则概率；
③，游戏共使用2次机会，且游戏获胜两次，则；
所以甲获得的奖金金额超过70元的概率为
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：由题意，设圆心，半径为
因为圆经过点和，可得，
即，解得，所以，
所以圆的方程为.
（2）解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得，
此时的面积为，不符合题意，舍去；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，即，
可得圆心到直线的距离为，
由圆的弦长公式，可得，
又由，设到直线的距离为，
所以的面积为，
整理得，解得或（舍去），
所以，所以直线的方程为.
综上可得，直线的方程为.
（3）解：当直线的斜率不存在时，此时的方程为，可得，
此时为等腰直角三角形，可得；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
可得，且，
过作轴，垂足为，过作轴，垂足为，
则
，
因为，所以，所以，
综上可得，折叠后AB的范围.
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆或圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.
环数
6
7
8
9
10
次数
3
3
9
11
4
环数
6
7
8
9
10
次数
3
5
10
10
2