江苏省扬州市2024−2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份江苏省扬州市2024−2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若直线过两点和，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若方程表示椭圆，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定
5．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
7．已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
8．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，，则（ ）
A．直线与线段有公共点
B．直线的倾斜角大于
C．的边上的高所在直线的方程为
D．的边上的中垂线所在直线的方程为
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的周长为
B．当时，中
C．当时，的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形
11． 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线､，切点分别为､，则下列说法中正确的有（ ）
A. 的取值范围为
B. 四边形面积的最小值为
C. 存在点使
D. 直线过定点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为 ．
13．已知过点的直线与两坐标轴正半轴相交，则直线与坐标轴围成的三角形面积最小值为 ．
14．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”．
①若，则 ；
②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知、为直线上两点，直线．
(1)求直线的方程；
(2)若，求实数的值．
16．已知和为椭圆上两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求△的面积．
17．已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点．
(1)若弦长，求直线的方程；
(2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值．
18．已知抛物线的准线与轴的交点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程；
(3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值．
19．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为
故
由于，故
故选：B
2．【答案】D
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，解得，
故选：D.
3．【答案】A
【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解之得，
于是直线，即，
所以与之间的距离为.
故选A.
4．【答案】B
【详解】因与圆相切，则.
则到圆心的距离为，则在圆外.
故选：B
5．【答案】A
【详解】，由，
结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支，
在双曲线中，，可得，，
所以，
动点的轨迹方程为.
6．【答案】B
【详解】如图，与椭圆交于点，连结，
由题意可知，的边长为，点是的中点，
所以，，
，所以.
故选：B
7．【答案】C
【分析】由是抛物线的准线，推导出点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值即为点到直线的距离和点到焦点的距离之和，利用几何法求最值．
【详解】是抛物线的准线，到的距离等于.
过P作于 Q，则到直线和直线的距离之和为
抛物线的焦点
过作于，和抛物线的交点就是，
∴（当且仅当F、P、Q三点共线时等号成立）
点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线距离，
最小值．
故选：C．
8．【答案】C
【详解】以代换，方程不变，
故曲线C：关于原点及x轴，y轴对称，
当时，可得，即，
可得此时曲线是以 为圆心，为半径的半圆，
由此作出曲线C的图象如图所示，
所以曲线C围成的图形的面积是，
9．【答案】BC
【分析】判断在直线的同一侧，判断A的真假；求直线的斜率，根据直线的倾斜角和斜率的关系判断B的真假；根据两直线垂直，斜率之积等于，求出高的斜率，利用点斜式可求边上的高所在的直线方程，判断C的真假；同理可得线段的中垂线的方程，判断D的真假.
【详解】对A：因为，，所以点在直线的同一侧，所以直线与线段无公共点，故A错误；
对B：因为直线的斜率为：，所以直线的倾斜角大于，故B正确；
对C：因为，所以边的高所在直线的斜率为，又直线过点，
由直线的点斜式方程可得的边上的高所在直线的方程为，即，故C正确；
对D：因为线段的中点坐标为，所以线段的中垂线所在直线的方程为，即，故D错误.
故选BC.
10．【答案】AD
【详解】对于A项，由已知可得，，，，
所以，.
对于A项，由椭圆的定义可得，，
又，
所以，的周长为，故A项正确；
对于B项，如图1，设，由椭圆的定义可知，，
又，
所以，
即，解得，即，故B项错误；
对于C项，在中，由余弦定理可得
，
所以，，
所以，，故C项错误；
对于D项，设存在点，使得，
设，根据椭圆的定义有，
因为，所以，
即，
整理可得，解得.
如图3，当点位于短轴顶点时有，
所以，满足的点有2个；
分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有4个交点，
即满足以及的点有4个.
综上所述，椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形，故D项正确.
故选：AD.
11． 【答案】ABD
【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案.
【详解】圆心到直线的距离为，
所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，
当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确；
因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确；
因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确；
对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦，
联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确；
故选：ABD
12．【答案】
【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为，
半径，
所以所求圆的标准方程为.
故答案为：
13．【答案】8
【详解】设直线l的方程为（a＞0，b＞0）
∵P（1，4）在直线l上
∴，即，当且仅当时，即b＝8，,a＝2时，等号成立
故
故答案为8
14．【答案】 2 3
【详解】对于①若则；
对于②，设，则，
函数图象如下所示：则.
故答案为：2；3
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题设，则，
故；
（2）由，则，
可得.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，解得，则，
所以椭圆的标准方程为：，离心率为.
（2）如图过点且斜率为的直线设为：化简即，
即，经过原点，由椭圆的对称性知道，关于原点对称，
则，，
由点到直线距离公式求得到的距离，
则，
故的面积为．
17．【答案】(1)或；
(2)最大，此时.
【详解】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设，
由，则圆心，半径为3，又，
所以到直线的距离，
令直线，则，可得，故或，
所以直线的方程为或；
（2）由（1）直线斜率不存在，有，
又到直线的距离，则；
若直线斜率存在，令，
此时到直线的距离，，
所以，令，
则，当且仅当，即或时等号成立，
所以，此时最大.
18．【答案】(1)；
(2)或；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题设知，
则；
（2）由题意，直线的斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，但不相切，
令，联立抛物线得，
所以，则或，
所以直线为或.
（3）由题意，斜率一定存在，令为，，
联立抛物线得，则，，
而，，
所以.
19．【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为
（Ⅱ）=1．（Ⅲ）存在常数使得恒成立，
【详解】试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，
2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.
又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.
因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.
因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.
(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0，
显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝.
同理可得|CD|＝.
则，
又k1·k2＝1，
所以.
故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.
因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系
点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式