辽宁省七校2024-2025学年高二上学期11月期中联考 数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省七校2024-2025学年高二上学期11月期中联考 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，多选题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（客观题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线与直线互相垂直，那么的值等于
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可.
因为直线与直线互相垂直，
所以，
故选：D.
【点睛】对直线位置关系考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
2. 如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，且，则线段的长为（）
A. 9B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由，两边平方，利用勾股定理以及数量积定义求出的值，进而可得答案．
由，得到，
因为底面是矩形，，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
，故．
故选：C．
3. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
【答案】B
【解析】
化简圆到直线x+y=0的距离，
又两圆相交. 选B
4. 下列命题中正确的是（）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
【答案】C
【解析】
【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.
对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，
，有，则或，B选项错误；
对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，
则直线l与平面所成的角为，C选项正确；
对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，
若，则，解得，D选项错误.
故选：C.
5. 已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆定义及圆切线性质，结合直角三角形求内切圆半径.
由椭圆定义及圆切线性质知：.
故选：B
6. 如图所示，在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A在下底面的投影，进一步求出在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果.
在正四面体中，设棱长为，为棱的中点，
如下图所示过做平面，
则为平面的中心，延长交于，过做，
连接，所以就是所求的与平面的夹角．
所以，求得，
所以，利用，解得，
所以，，
在中，，故选B.
【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题．
7. 已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，则双曲线C2的渐近线方程为( )
A. x±y＝0B. x±y＝0
C. x±y＝0D. x±2y＝0
【答案】C
【解析】
设椭圆C1：＝1(a>b>0)，双曲线C2：＝1(m＞0，n＞0)，
依题意c1＝c2＝c，且＝，∴＝，则a＝3m.
由圆锥曲线定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|－|PF2|＝2m，∴|PF1|＝4m，|PF2|＝2m.
在△F1PF2中，由余弦定理得：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs＝12m2，∴c2＝3m2，
则n2＝c2－m2＝2m2，因此双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
故选：C.
8. 已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆的性质结合已知条件得动点的轨迹为一条直线，进而求出圆的圆心到直线距离即可求解所求距离的最小值.
由题，，
因为，则，即，
化简得，即动点在直线上，
圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以到圆距离的最小值是.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（）
A. 若为椭圆，则
B. 若为双曲线，则或
C. 若为椭圆，则焦距为定值
D. 若为双曲线，则焦距为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆以及双曲线的标准方程，即可结合选项逐一求解.
方程，由，解得,,，此时曲线是椭圆，所以A不正确．
由得或，此时表示的曲线是双曲线，所以B正确，
当，解得，此时曲线表示焦点在轴上椭圆，
故焦距为，不为定值，故C错误，
当，解得时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则焦距为，不为定值，故D错误，
故选：ACD．
10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（）
A. 的最大值为5
B. 的最大值为
C. 直线与圆相切时，
D. 圆心到直线的距离最大为4
【答案】BC
【解析】
【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，Px0,y0是圆上的点，
所以的最大值为，A选项错误.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确.
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，
即，解得，所以C选项正确.
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误.
故选：BC
11. 在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则()
A. 当时，的最小值为
B. 当时，有且仅有一点P满足
C. 当时，有且仅有一点P满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等
D. 当时，直线AP与所成角的大小为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A，先判断P点的轨迹，再将问题平面化即可求解；对于选项BCD，建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求解．
如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
则，，，
则，∴．
选项A：当时，为线段上的点，
将平面和平面沿展开为同一个平面如图，
连接，则的最小值即为，故A正确；
选项B：当时，，，，
则，即，即满足条件的P点有无数个，故B错误；
选项C：当时，，
则，，，，
则在上的投影为，
则点P到直线的距离；
平面ABCD的一个法向量为，，
则点P到平面ABCD的距离为；
当点P到直线的距离与到平面ABCD的距离相等时，
，∵，∴方程有一个解，
则，即仅存在一个点P满足条件，故C正确；
D选项：当时，，，
∵，故直线AP与所成角的大小为，为定值，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题利用空间向量解决空间里面距离和夹角的计算，关键是熟练掌握点到直线距离、点到平面距离、直线夹角的向量求法．
第二部分（主观题共92分）
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为_____.
【答案】2##22
【解析】
【分析】根据双曲线的定义可求得结果.
已知双曲线，则，
设点P到右焦点的距离为，
根据双曲线上一点到两焦点距离差的绝对值等于可得，，
解得或，经验证均符合题意，
故答案为：2或22.
13. 点在正方形所在的平面外，平面，，则异面直线与所成的角是___________.
【答案】
【解析】
【分析】补全得到正方体中，连接，可确定（或其补角）是与所成的角.
因为正方形，⊥平面，，可还原到正方体中，连接，则平行于，如图所示.
所以（或其补角）是与所成的角，
因为为正三角形，
所以，所以与所成角为.
故答案为：
14. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．
由题意可知，，
设，可得直线斜率分别为，，
因为点在双曲线上，则，整理得，所以，
设点，可得直线，的斜率，，
因为点在椭圆上，则，整理得，
所以，即，
则，所以直线与关于轴对称，
又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，
又，则，
所以，
整理得，即，解得，或（舍去），
所以椭圆的离心率为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
15. 已知直线的方程为：.
（1）求证：不论为何值，直线必过定点；
（2）过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解.
（2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解.
【小问1】
证明：由可得：，
令，
所以直线过定点．
【小问2】
由（1）知，直线恒过定点，
由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点分别为，
令x=0，得；令，得，
所以面积，
当且仅当，即时，面积最小，
此时，，，
的周长为.
所以当面积最小时，的周长为.
16. 在四棱锥中，，，平面平面，，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直及线线垂直，再根据线线垂直可证线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法分别求得平面与的法向量，进而可求二面角余弦值.
【小问1】
过作于，
因为，所以与相交，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
，
，与相交，，平面，
平面；
【小问2】
取的中点，连接，，
，，
，
，
为等边三角形，，，
，
，
，
平面，平面，
，
即，，两两垂直，
所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
17. 已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】(1)先由题意得出 ,可得出与的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程，可求出与的值，从而得出椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，可求出，然后进行检验；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为,设点，先由直线与圆相切得出与之间的关系，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件得出的值，从而求出直线的倾斜角.
（1）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得，
又点在椭圆上，所以，解得，
即椭圆的方程为.
（2）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意；
当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即.
将直线与椭圆的方程联立，得：
，
判别式，即，
设，则，
所以，
解得，
所以直线的倾斜角为或.
【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
18. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.
（1）求二面角的余弦值；
（2）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解；
（2）设，表示出，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.
【小问1】
因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，，
所以是正三角形，四边形为菱形，
可得，，
而平面平面，平面平面，
平面，，
平面，所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，
，
，
所以二面角的余弦值为.
【小问2】
线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为.
设，因为，，所以，
设与平面所成角为，则，
即，，解得，
所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.
19. 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量.
（1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；
（2）证明：直线在曲面上；
（3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）平面上，以原点为圆心，1为半径的圆；理由见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，可得坐标平面的方程；当时，可得平面截曲面所得交线的方程，进而可得曲线类型；
（2）设是直线上任意一点，由题意有，从而得点的坐标，代入曲面的方程验证即可.
（3）设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由题意有，可得点的坐标，代入曲面的方程，进而可求得的关系，可得，利用向量夹角公式求解即可得出答案.
【小问1】
根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为，
已知曲面的方程为，
当时，平面截曲面所得交线上的点满足，
即，
也即在平面上到原点距离为定值1，
从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆.
【小问2】
设是直线上任意一点，
由，均为直线的方向向量，有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，
所以点的坐标为，
于是，
因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上.
【小问3】
直线在曲面上，且过点，
设是直线上任意一点，直线的方向向量为，
由，均为直线的方向向量，有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，
所以点的坐标为，
∵在曲面上，∴，
整理得，
由题意，对任意的，有恒成立，
∴，且，
∴，或，
不妨取，则，或，
∴，或，
又直线的方向向量为，
则异面直线与所成角的余弦值均为
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．