山东省济宁市邹城市2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测 数学试题（含解析）

这是一份山东省济宁市邹城市2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了 设直线的交点为，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在”贴条形码区”.
2.作选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.
3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，该答题无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 已知空间两点，则两点间的距离是（）
A. 2B. 3C. 4D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由距离公式计算．
由题意，
故选：B．
2. 若直线经过点，则直线的斜率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜率公式计算．
由题意，
故选：D．
3. 甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率的是，则乙不输的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得乙不输与甲胜是对立事件，再由对立事件的概率和为1求解即可；
乙不输与甲胜是对立事件，则乙不输的概率是，
故选：C.
4. 已知直线与圆相交于两点，则（）
A. B. 4C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用几何法即可求得弦的长.
圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
则弦的长
故选：A
5. 已知空间三点，则点到直线的距离是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先表示出，，再根据点到直线的距离计算可得.
因为，
所以，，则，，
所以点到直线的距离.
故选：D
6. 甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出样本空间包含的样本点个数，所求事件包含的样本点个数，再用古典概型概率计算公式求解即可.
将甲乙两人离开电梯的楼层数配对，组成种等可能的结果，用表格表示如下：
记事件“甲乙两人离开电梯的楼层数的和是9”，
则事件A可能结果有6种，即，
所以事件A的概率为：，
故选：C.
7. 在正三棱柱中，为棱的中点，与交于点，若，则与所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，取中点，连接，证明是与所成的角或其补角，设，解三角形可得．
连接，取中点，连接，则，，所以是与所成的角或其补角，
正棱柱中所有侧棱都与底面上的任意直线垂直，
设，则，所以，
，
等边三角形中，，
，
，在等腰中，，
,
中，,
所以与所成角的余弦值是，
故选：B．
8. 若过直线上一点作圆两条切线，切点为，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆的几何性质，将化为，再求得两点间距离的最小值，进而求得的最小值.
圆的圆心，半径
四边形中，，
则，整理得，
又，
PC最小值即为圆心到直线的距离，
则
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设直线的交点为，则（）
A. 恒过定点0,2
B.
C. 的最大值为
D. 点到直线的距离的最大值为5
【答案】ABD
【解析】
【分析】由直线过定点即可判断A，由两直线垂直列出方程即可判断B，联立两直线方程求出交点坐标，代入计算即可判断C，结合题意可知点到直线的距离的最大值即为点到定点0,2的距离，即可判断D.
对于选项A，因为直线，即，
令，解得，所以恒过定点0,2，故A正确；
对于选项B，因为直线满足，
所以，故B正确；
对于选项C，联立两直线方程，解得，
所以，
则
，
令，则，所以，
且在上单调递增，当时，，
所以，故C错误；
对于选项D，由A可知，直线恒过定点0,2，
则点到直线的距离的最大值即为点到定点0,2的距离，
即，故D正确；
故选：ABD
10. 某学校数学、物理两兴趣小组各有3名男生、3名女生，假设物理兴趣小组的3名女生为甲、乙、丙，现从数学、物理两兴趣小组各随机选出1名同学参加比赛.设事件为“从数学兴趣小组中选出的是男生”；事件为“从物理兴趣小组选出的是女生乙”；事件为“从两兴趣小组选出的都是男生”；事件为“从两兴趣小组中选出的是1名男生和1名女生”，则（）
A. B.
C. 与相互独立D. 与互斥
【答案】BC
【解析】
【分析】由古典概率可得A错误；由古典概率和相互独立事件的概率可得B正确；由相互独立事件的概率关系可得C正确；由互斥事件的性质可得D错误；
A，由题意可得，故A错误；
B，由题意可得，故B正确；
C，由题意可得，，所以与相互独立，故C正确；
D，事件与可能同时发生，所以不互斥，故D错误；
故选：BC.
11. 已知正方体的棱长为2，点满足，其中，则（）
A. 存在唯一点，使得平面
B. 存在唯一点，使得平面
C. 当时，点到平面的距离的最小值为
D. 当时，三棱锥的体积的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】以为原点，所在方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，由平面，利用向量法可得，从而得唯一确定，即可判断A；由平面，可得，从而得不唯一，即可判断B；找出点的轨迹，结合由等体积法判断C，D.
解：以为原点，所在方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示：
则
对于A，因为，
所以，，
所以，
又因为，，
设平面的法向量为，
则，所以，
取，则，
又因为平面，
所以，
所以，
所以，唯一确定，故正确；
对于B，因为，
要使平面，
则，
所以，
所以，
故点不唯一，故错误；
对于C，因为，所以三点共线，
因为,
设点到平面的距离为，
则有，所以，
设到的距离为，
则，
当与重合时，，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，
设到的距离为
因为，
当点位于圆弧中点时，.
所以，故D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：利用空间向量解决空间角度、距离及位置关系是常用方法.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若实数满足方程，则的最小值为___.
【答案】
【解析】
【分析】将转化为，进而求得的最小值.
由实数满足方程，可得，则
，
则的最小值为.
故答案为：
13. 某商场调查500名顾客的满意度情况，得到的数据如下表：
若，则满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，写出样本空间包含样本点，然后写出“满意的顾客中男性顾客不少于
女性顾客”事件的样本点，最后计算概率即可.
由题可知：，又因为，
所以样本空间包含样本点为，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，共个，
设“满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客”为事件，则事件包含的样本点为
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，共个，所以，
所以满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为.
故答案为：.
14. 已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，求出的最大值和最小值后即可得．
为的中点，即为正四棱柱的中心，由对称性，为的中点，
则，
，，，所以，
所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，长方体中，，设.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两个平面所成角的余弦.
【小问1】
连接，设，连接，如图：
则，且，所以四边形是平行四边形，
所以平面平面
故平面.
【小问2】
以为坐标原点，方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
，
.
设平面的法向量n=x,y,z，
则，即
令，解得
，
设平面一个法向量，
则，即令，解得，
.
设平面与平面的夹角为，
故平面与平面夹角的余弦值为.
16. 在某电视民间歌手挑战赛活动中，有4位民间歌手参加比赛，由现场观众投票选出最受欢迎的歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选2名歌手.其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另外在其他歌手中随机选1名；观众乙、丙对4位歌手没有偏爱，因此，乙、丙在4名歌手中随机选2名歌手.
（1）求观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手的概率；
（2）设3号歌手得到观众甲、乙、丙的选票数之和为，求的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由独立事件的乘法公式计算即可；
（2）设事件A，B，C分别表示“观众甲、乙、丙选3号歌手，由题意得到，，再由独立事件的乘法公式计算即可；
小问1】
设事件D表示“观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手”，
观众甲选2号歌手的概率为，观众乙未选2号歌手的概率为，
从而，
故观众甲选2号歌手且观众乙未选3号歌手的概率为，
【小问2】
设事件A，B，C分别表示“观众甲、乙、丙选3号歌手”，
由题意得：，，
所以
故的概率为.
17. 已知直线经过直线的交点，且A3,2､两点到直线的距离相等.
（1）求直线的一般式方程；
（2）若点在直线的同侧，且为直线上一个动点，求的最小值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论所求直线与直线平行或过的中点，结合直线点斜式方程运算求解；
（2）求点关于直线的对称点为，结合几何性质可得，即可得结果.
【小问1】
由，解得，所以交点
①当所求直线与直线平行时，直线的斜率为，
则所求直线的方程为，即；
②当所求直线过的中点时，线段的中点坐标为1,0，
则所求直线垂直于轴，故所求直线方程为，即；
综上所述，所求直线方程为或.
【小问2】
因为点在直线的同侧，所以直线的方程为，
设点关于直线的对称点为，
则，
解得，即点，
因为，
当三点共线时等号取到，
故的最小值为.
18. 如图，在矩形中，，沿将折起，点到达点的位置，使点在平面的射影落在边上.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离；
（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，即可证明；
（2）根据题意，作，垂足为，由线面垂直的判定定理可得平面，即可得到点到面的距离；
（3）点为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果.
【小问1】
由点在平面的射影落在边上可得：平面，
又平面，所以，
又，且平面平面，
所以平面，又平面，故.
【小问2】
作，垂足为，
由已知得：且平面平面，
从而平面，且平面，所以平面平面，
又平面，平面平面，
所以平面，即即为点到平面的距离，
在直角三角形中，，所以，
故点到平面的距离为.
【小问3】
在直角三角形中可得，，以点为坐标原点，
分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，
所以，从而，
易知，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
所以，解得：，
又直线的方向向量为，
因此可得
故直线与平面所成角的正弦值为.
19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上.
（1）求圆的标准方程；
（2）设为圆的动弦，且不经过点，记分别为弦的斜率.
（i）若，求面积的最大值；
（ii）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i），（ii）过定点，
【解析】
【分析】（1）设出圆标准方程，代入已知条件求解；
（2）（i）由得，是直径，由基本不等式可求得面积的最大值；
（ii）设直线的方程为，代入圆方程，应用韦达定理得，代入，得出关系，然后观察直线方程可得定点坐标．
【小问1】
设圆的标准方程为，
由已知可得：
解得：，
所以圆的标准方程为
【小问2】
（2）（i）因为，所以，
从而直线经过圆心，是直角三角形，且，
设，则，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以.
（ii）由已知得：直线的斜率必存在，
设直线的方程为，
由，消去得：，
，（※）
又，
即，
代入（※）得：，
即，
解得：，或，
当时，此时直线的方程为，过定点（舍去），.
当时，此时直线的方程为，过定点，
故当，动弦过定点.
甲
乙
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
不满意
一般
满意
女性
25
64
男性
15
36