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山东省潍坊市四市联考2024−2025学年高二上学期11月期中质量监测 数学试题(含解析)
展开这是一份山东省潍坊市四市联考2024−2025学年高二上学期11月期中质量监测 数学试题(含解析),共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题(本大题共8小题)
1.已知,,若,则( )
A.B.C.4D.
2.设直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b( )
A.平行B.相交
C.是异面直线D.可能相交,也可能是异面直线
3.已知直线:与直线:平行,则( )
A.6B.5C.4D.3
4.已知直线与平面相交,点,在上,,且线段在内的射影长为,则与所成角的大小为( )
A.B.C.D.
5.如图,在四面体中,为棱的中点,点,分别满足,,则( )
A.B.
C.D.
6.已知一条光线从点发出被直线反射,若反射光线过点,则反射光线所在的直线方程为( )
A.B.C.D.
7.已知圆:,直线:,若与交于两点,则的最小值为( )
A.B.2C.D.
8.已知球是正三棱柱的内切球,,是球表面上一点,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多选题(本大题共3小题)
9.以下说法正确的是( )
A.过直线外一点,可以作无数个平面与该直线平行
B.过直线外一点,可以作无数个平面与该直线垂直
C.如果两个平面不相交,则它们就没有公共点
D.若一条直线与一个平面不垂直,则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直
10.已知圆:和圆:,点,分别是,上的动点,过点作的两条切线,切点分别为,,则( )
A.的圆心在直线上
B.和相离
C.的最小值为
D.若,则四边形面积的最大值为
11.如图所示,正四棱锥与正三棱锥的棱长均为1,一凸多面体是由该四棱锥与该三棱锥组合而成,其中点,,分别与点,,重合,在该多面体中( )
A.二面角的余弦值为
B.,,,四点共面
C.平面
D.三棱锥的外接球体积为
三、填空题(本大题共3小题)
12.已知是直线的一个方向向量,则的倾斜角为 .
13.已知圆:,写出一条过点且与相切的直线方程 .
14.在四面体中,点,分别为,的重心,过作直线与棱,交于点,已知,,则 .若四面体的体积为3,则四棱锥的体积最大值为 .
四、解答题(本大题共5小题)
15.已知的三个顶点分别是,,.
(1)求边的高所在直线方程;
(2)求的面积.
16.如图,在四棱锥中,平面,,,,为棱的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
17.已知圆经过,两点,且圆心在直线上.
(1)求的方程;
(2)设直线:与交于,两点.
①证明:直线与平行;
②求四边形的面积.
18.在四棱台中,平面,平面平面.
(1)证明:平面;
(2)已知四边形为梯形,,,,二面角的大小为.
①求点到平面的距离;
②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19.已知圆:,圆:,若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值(,且),则称点为“型切圆关联点”,记时,点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)过点的直线交于,两点,过与垂直的直线交于,两点.
①求四边形面积的最大值;
②设为线段的中点,为线段的中点,证明:直线过定点.
参考答案
1.【答案】B
【详解】向量,,由,得,所以.
故选:B
2.【答案】D
【分析】按直线的三种位置关系分析.
【详解】如图,长方体中,
当所在直线为a,所在直线为b时,a与b相交;
当所在直线为a,所在直线为b时,a与b异面.
故选:D.
3.【答案】B
【详解】由于两直线平行,所以,
此时,符合题意.
故选:B
4.【答案】B
【详解】设与所成角为,
因为点,在上,,且线段在内的射影长为,
依题意作图如下,则,
所以与所成角的大小为.
故选:B
5.【答案】D
【详解】由已知
.
故选:D.
6.【答案】A
【详解】设点关于直线的对称点为,则,解得,
因此反射光线所在直线过点,方程为,即.
故选:A
7.【答案】C
【详解】直线:过定点,圆:的圆心,半径,
,即点在圆内,当且仅当时,最短,
所以的最小值为
故选:C
8.【答案】B
【详解】设等边三角形内切圆的半径为,
则,
则正三棱柱的内切球半径,则正三棱柱的高为.
设等边三角形外接圆半径为,则,
所以,设是等边三角形的中心,是的中点,
连接,则,,
是球表面上一点,则
,
,(同向是为,反向时为),
所以,所以的取值范围是.
故选:B
9.【答案】AC
【详解】对于A,过直线外一点可作一条直线与这条直线平行,经过所作直线有无数个平面与该直线平行,A正确;
对于B,过直线外一点,有且只有一个平面与该直线垂直,B错误;
对于C,两个平面不相交,则它们平行,没有公共点,C正确;
对于D,正四面体的相对棱垂直,而任意棱都不垂直于对棱所在的平面,D错误.
故选:AC
10.【答案】BC
【详解】圆:的圆心,半径,
圆:的圆心,半径,
对于A,点的坐标不满足方程,A错误;
对于B,,和相离,B正确;
对于C,,C正确;
对于D,当时,,,,
四边形的面积,D错误.
故选:BC
11.【答案】BCD
【详解】设是的中点,连接,设,连接,
则平面.
由于三角形、三角形都是等边三角形,所以,
所以是二面角的平面角,,
所以,所以A选项错误.
由于,所以是二面角的平面角,,
所以,所以,
所以四点共面,B选项正确.
,所以四边形是菱形,所以,
由于平面平面,所以平面,所以C选项正确.
由于,所以是三棱锥外接球的球心,
且外接球的半径为,所以外接球的体积是,所以D选项正确.
故选:BCD
12.【答案】
【详解】依题意,直线的斜率,其倾斜角为.
故答案为:
13.【答案】或(只写一条即可).
【详解】圆的标准方程是,圆心为,半径为5,
过且斜率不存在的直线为,它与圆相切,
过且斜率存在的直线设其方程为,即,
由,解得,
直线方程为,即,
故答案为:或(只写一条即可).
14.【答案】
【详解】设是的中点,所以三点共线,三点共线,
,,
所以,由于三点共线,
所以.
依题意,.
.
由于,所以到平面的距离是到平面的距离的三分之一,
所以
,当且仅当时等号成立.
所以四棱锥的体积最大值为.
故答案为:;
15.【答案】(1)
(2)
【详解】(1),边的高所在直线的斜率为,
所以边的高所在直线方程为.
(2),直线的方程为,
到直线的距离为,
所以.
16.【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】(1)由于为棱的中点,所以,所以四边形是平行四边形,
所以,由于平面,平面,
所以平面.
(2)依题意可知平面,而平面,所以,
,所以.而,
由此可以为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
,
,
设平面的法向量为,
则,故可设,
设直线与平面所成角为,
所以.
17.【答案】(1)
(2)①证明见解析;②
【详解】(1)设圆心为,由,则,
所以,解得.
且,,
所以圆的方程为.
(2)①直线的方程为,
直线:,即,
所以直线与平行;
②由解得,
即,则三点共线,所以是圆的直径,
,,
所以四边形的面积为.
18.【答案】(1)证明见解析;
(2)①;②.
【详解】(1)作,垂足为,作,垂足为,
∵平面,平面,所以,
又∵,平面,所以平面,
∵平面平面,平面平面,,平面,
∴平面,
∴与重合,即为平面与平面的交线,
∴平面;
(2)由题意,以为原点,为轴建立空间直角坐标系,如图,
由(1)平面,平面,∴,
在直角梯形中,,
,
所以,
∴,
是棱台,则,
因此
则,,,设,,
则,,
,
设平面的一个法向量是,
则,
取,可得,,
则为平面的一个法向量,
平面的一个法向量是,
二面角的大小为,
则,
解得(负值舍去),
①∴,,,又,
点到平面的距离为,
②,
设平面的一个法向量是,
则,
取,则,,
则为平面的一个法向量,
,
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
19.【答案】(1)(坐标原点除外)
(2)①;②证明见解析
【详解】(1)圆:的圆心为,半径为,
圆:的圆心为,半径为,
设Px,y,点到圆的切线长为,
点到圆的切线长为
所以,
两边平方并化简得(坐标原点除外).
所以的方程为(坐标原点除外).
(2)①依题意可知直线的斜率存在,设直线的斜率为(),直线的斜率为,
则直线的方程为,即,
圆心到直线的距离,
所以,
用替换,可得,
所以
,
当且仅当时等号成立,
所以四边形面积的最大值为.
②由消去并化简得,
所以,
用替换,可得,
当时,,
所以直线的方程为,
即,
所以直线恒过定点,
当时,,此时直线恒过定点,
当时,,此时直线恒过定点,
综上所述,直线恒过定点.
2.结合根与系数关系证明定点性质:通过直线与圆的交点,结合根与系数关系,推导出直线方程,从而证明直线恒过定点.
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