贵州省黔西南布依族苗族自治州安龙县第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份贵州省黔西南布依族苗族自治州安龙县第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了本卷命题范围，过三点，，的圆的一般方程为，已知为双曲线，已知圆等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章3.2。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的斜率为（ ）
A.1B.0C.D.不存在
2.已知空间向量，，若，则（ ）
A.1.5B.1C.0.5D.2
3.已知直线：，：，若，则实数（ ）
A.B.C.0D.1
4.古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为（ ）
A.B.C.D.
5.过三点，，的圆的一般方程为（ ）
A.B.
C.D.
6.若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A.B.0C.D.1
7.已知为双曲线：的右焦点，为的左顶点，点在上，且垂直于轴，若的斜率为1，则的实轴长与虚轴长的比值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知圆：与圆的公共弦经过点，则（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A.
B.，夹角的余弦值为
C.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D.在上的投影向量为
10.已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则圆和圆相离
B.若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是
C.若圆和圆外切，则或
D.若圆和圆内切，则
11.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆：，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A.B.
C.轴，且D.四边形的内切圆过焦点，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为______.
13.已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为______.
14.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
根据下列条件，求直线方程：
（1）过点，且与直线垂直；
（2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等.
16.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系中，，，点是平面上一点，使的周长为16.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求的最大值.
17.（本小题满分15分）
已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线的方程.
18.（本小题满分17分）
如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且底面.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角为，求与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分17分）
如图，在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线：的左顶点为，过右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，若的面积为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线：与双曲线的左，右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，求的取值范围.
安龙四中2024年秋季学期高二年级期中考试・数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
1.B
2.C 由，得，解得，故选C.
3.A 因为直线：，：，若，则，解得.故选A.
4.D 因为，，所以椭圆的面积为.故选D.
5.C 设圆的方程为，将，，三点的坐标代入方程，整理可得，解得，故所求的圆的一般方程为，故选C.
6.C 因为不能构成空间的一个基底，所以存在实数、使得，即，即.因为是空间的一个基底，则，解得.故选C.
7.A ，在第一象限，，代入方程可解得，的斜率为1，所以，即，得，，，故选A.
8.B 因为圆：的圆心，圆，所以两圆的公共弦所在直线的方程为，即，所以，所以.
9.ACD 对于A，，，故A正确；
对于B，因为，，所以，，，设与的夹角为，则，故B错误；
对于C，因为，所以，则，解得，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，D正确.故选ACD.
10.BCD 圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径.
对于A，当时，，因为，故两圆相交，故A错误；
对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线方程为：，即，故B正确；
对于C，由两圆外切，得，故C正确；
对于D，由，故D正确.故选BCD.
11.BD A，由条件得到，即或（舍），解得：，所以A不正确；
B，若，则由射影定理可得：，即，所以，即，，解得，所以B正确；
C，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，所以，所以C不正确；
D，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于，因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，由题意知：，又，整理得：，，，解得，所以，所以D正确，故选BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 因方程表示焦点在轴上的双曲线，则有，解得，所以实数的取值范围为.
13. 由题意得，点到平面的距离为.
14. 曲线方程可化为（如图），有两个临界值，一个为，一个为：得，故.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15.解：（1）直线的斜率为，故所求直线的斜率为，
所求直线方程为，即.
（2）①当直线过原点时，所求直线方程为，
②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即，
由①②知所求直线方程为或.
16.解：（1）由题知，，，
点的轨迹为椭圆（去掉左右端点），，，
，，，点的轨迹方程为.
（2）由（1）知，.
当且仅当时等号成立，故的最大值为25.
17.解：（1）设圆的半径为，因为圆与直线：相切，
，圆的方程为.
（2）①当直线与轴垂直时，易知符合题意；
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即.
连接，则，，，
则由得，直线为：，
故直线的方程为或.
18.（1）证明：底面，.
平行四边形中，，，.
，平面.
而平面，平面平面.
（2）解：由（1）知，平面，
即为二面角的平面角，即.
分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设，则，
则，，，.
，，.
设平面的法向量为，
则即
令，得.
与平面所成角的正弦值为.
19.解：（1）因为双曲线：为等轴双曲线，可得.
设双曲线的焦距为，，故，即.
因为过右焦点，且垂直于轴，将代入双曲线的方程可得，
故.
又的面积为，即，
解得.故双曲线的方程为.
（2）由题意可得直线：与双曲线的左右两支分别交于，两点，
联立可得，
所以，，可得.
且，，所以
，
联立可得，同理可得，
所以，
所以，其中，
所以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
D
C
C
A
B
题号
9
10
11
答案
ACD
BCD
BD