备战2025年高考数学精品教案大题规范5解析几何（Word版附解析）

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学生用书P204
考情综述 解析几何解答题，每年必考，难度中等偏上，意在考查数形结合思想、转化与化归思想、分类与整合思想、函数与方程思想在解题中的灵活、综合运用，以及直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.
从近几年的命题情况来看，命题角度主要有：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，定点、定值、定线、最值、范围、证明问题，存在性、探索性问题，解析几何与向量、三角、数列等的综合问题.解析几何解答题一般第（1）问较为简单，第（2）问或第（3）问中伴有较为复杂的数学运算，对考生解决问题的能力要求较高.
具体解题时，要审清题意，看清已知条件，明确目标问题，准确运用有关基本知识、方法，避免因出现错误而失分.
示例 [2023新高考卷Ⅰ/12分]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，12）的距离，记动点P的轨迹为W.
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33.
思维导引 （1）设动点P（x，y）列方程，化简，得W的方程
（2）矩形ABCD的周长为2（｜AB｜＋｜BC｜）设直线AB的方程求得弦长｜AB｜，｜BC｜得2（｜AB｜＋｜BC｜）的表达式研究函数性质求解
规范答题
（1）设点P的坐标为（x，y），依题意得｜y｜＝x2＋（y－12）2，（1分）→利用直译法，把已知条件中的文字语言转化为数学语言.
化简得x2＝y－14，
所以W的方程为x2＝y－14.（3分）→去“绝对值符号”，去“根号”，常利用“平方法”.
（2）设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，
则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2（｜AB｜＋｜BC｜）.（4分）→可根据题意，在草稿纸上作出W和矩形ABCD的草图，作图是为了用图，用图是为了转化，心中有图，势如破竹！
设B（t，t2＋14），依题意知直线AB不与两坐标轴平行，
故可设直线AB的方程为y－（t2＋14）＝k（x－t），不妨设k＞0，
与x2＝y－14联立，得x2－kx＋kt－t2＝0，
则Δ＝k2－4（kt－t2）＝（k－2t）2＞0，所以k≠2t.
设A（x1，y1），所以t＋x1＝k，
所以x1＝k－t，（5分）→用点斜式设直线方程，需判断直线是否与x轴垂直，是否需要分类讨论.另易忽略判别式大于零，从而导致忽视k≠2t这一条件而失分.
所以｜AB｜＝1+k2｜x1－t｜＝1+k2｜k－2t｜＝1+k2｜2t－k｜，
｜BC｜＝1+(－1k）2｜2t－（－1k）｜＝1+k2k｜2t＋1k｜＝1+k2k2·｜2kt＋1｜，且2kt＋1≠0，所以2（｜AB｜＋｜BC｜）＝21+k2k2（｜2k2t－k3｜＋｜2kt＋1｜）.（6分）→因为AB⊥BC，所以求｜BC｜时，只需把｜AB｜的表达式中的k换成－1k，可避开烦琐的运算.
｜2k2t－k3｜＋｜2kt＋1｜＝（－2k2－2k）t＋k3－1，t＜－12k，（2k－2k2）t＋k3+1,－12k＜t＜k2，（2k2+2k）t－k3+1，t＞k2，
当2k－2k2≤0，即k≥1时，
函数y＝（－2k2－2k）t＋k3－1在（－∞，－12k）上单调递减，
函数y＝（2k－2k2）t＋k3＋1在（－12k，k2）上单调递减或是常函数（当k＝1时是常函数），
函数y＝（2k2＋2k）t－k3＋1在（k2，＋∞）上单调递增，
所以｜2k2t－k3｜＋｜2kt＋1｜＞｜2k2×k2－k3｜＋｜2k×k2＋1｜＝k2＋1，
所以2（｜AB｜＋｜BC｜）＞21+k2k2（k2＋1）＝2（1+k2）32k2.（8分）→去绝对值符号，转化为分段函数的依据：令2k2t－k3＝0，得t＝k2，令2kt＋1＝0，得t＝－12k，又k＞0，k≠2t，2kt＋1≠0，所以按照t＜－12k，－12k＜t＜k2，t＞k2进行分类讨论，进而研究分段函数的图象与性质得最值.
令f（k）＝2（1+k2）32k2，k≥1，
则f'（k）＝2（1+k2）12（k＋2)(k－2）k3，
当1≤k＜2时，f'（k）＜0，
当k＞2时，f'（k）＞0，
所以函数f（k）在[1，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，
所以f（k）≥f（2）＝33，
所以2（｜AB｜＋｜BC｜）＞2（1+k2）32k2≥33.（10分）→因函数复杂，可构造函数，借助导数研究新构造函数的性质求最值.
当2k－2k2＞0，即0＜k＜1时，
函数y＝（－2k2－2k）t＋k3－1在（－∞，－12k）上单调递减，
函数y＝（2k－2k2）t＋k3＋1在（－12k，k2）上单调递增，
函数y＝（2k2＋2k）t－k3＋1在（k2，＋∞）上单调递增，
所以｜2k2t－k3｜＋｜2kt＋1｜＞｜2k2×（－12k）－k3｜＋｜2k×（－12k）＋1｜＝k3＋k＝k（1＋k2），
所以2（｜AB｜＋｜BC｜）＞21+k2k2k（k2＋1）＝2（1+k2）32k.
令g（k）＝2（1+k2）32k，0＜k＜1，则g'（k）＝2（1+k2）12（2k2－1）k2，
当0＜k＜22时，g'（k）＜0，
当22＜k＜1时，g'（k）＞0，
所以函数g（k）在（0，22）上单调递减，在（22，1）上单调递增，
所以g（k）≥g（22）＝33，
所以2（｜AB｜＋｜BC｜）＞2（1+k2）32k≥33.（11分）
综上，矩形ABCD的周长大于33.（12分）
感悟升华
1.解决解析几何解答题重在“设”——设点，设线
2.应用设而不求法解题一般分成程序化的三步：
第一步，联立直线与曲线的方程，并将消元所得方程的判别式和根与系数的关系正确写出；
第二步，用两个交点的横（纵）坐标的和与积，来表示题目中涉及的数量关系；
第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中，在求解时，要根据题目特征，恰当地设点、设线，以简化运算.
3.解题时注意以下两种方法的应用
（1）几何法，若题目中的条件带有明显的几何特征，可利用曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解；
（2）代数法，把要求最值的几何量表示为关于某个参数的函数解析式，再利用函数的单调性、基本不等式求解.
训练 [12分]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，上顶点为A，椭圆的焦距等于椭圆的长半轴长，且△AF1F2的面积为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若B，C是椭圆上不同的两点，且直线AB和直线AC的斜率之积为14，求△ABC面积的最大值.
解析 （1）由椭圆的焦距等于椭圆的长半轴长，得2c＝a， ①（1分）
由△AF1F2的面积为3，得12×2c×b＝3， ②（2分）
由①②并结合a2＝b2＋c2，得c＝1，b＝3，a＝2， （3分）
所以椭圆的标准方程为x24＋y23＝1. （4分）
（2）由（1）知A（0，3），
易知直线AB和直线AC的斜率存在，所以点B，C与椭圆的上、下顶点不重合.（不要忽略该隐含条件） （5分）
若直线BC的斜率不存在，不妨设B（x0，y0），x0≠0，
则C（x0，－y0），
直线AB和直线AC的斜率分别是kAB＝y0－3x0，kAC＝－y0－3x0，且x0≠0，
所以kAB·kAC＝3－y02x02，
又点B（x0，y0）在椭圆上，所以x024＋y023＝1，所以3－y02＝3x024，
所以kAB·kAC＝3x024x02＝34，这与直线AB和直线AC的斜率之积为14矛盾，
所以直线BC的斜率存在. （6分）
设直线BC的方程为y＝kx＋m，其中m≠±3，（提示：当m＝±3时，直线BC过椭圆的上顶点或下顶点，不符合题意）
将直线BC的方程代入x24＋y23＝1，
得（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝（8km）2－4（4k2＋3）（4m2－12）＝48（4k2－m2＋3）＞0，即4k2－m2＋3＞0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），
则x1＋x2＝－8km4k2+3，x1x2＝4m2－124k2+3.（7分）
所以kABkAC＝（y1－3)(y2－3）x1x2＝（kx1＋m－3)(kx2＋m－3）x1x2＝k2－k（m－3）·8km4m2－12＋（m－3）2（4k2+3）4m2－12＝3m2－63m+94m2－12，又kABkAC＝14，
所以m2－33m＋6＝0，即（m－23）（m－3）＝0，
所以m＝23，（注意根据m≠±3对m的值进行取舍） （8分）
所以直线BC的方程为y＝kx＋23，x1＋x2＝－163k4k2+3，x1x2＝364k2+3，4k2－9＞0，
所以｜BC｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+k2（x1－x2）2＝1+k2×（x1＋x2）2－4x1x2＝431+k24k2－94k2+3， （9分）
点A（0，3）到直线BC的距离d＝31+k2，
所以△ABC的面积S＝12｜BC｜×d＝12×431+k24k2－94k2+3×31+k2＝64k2－94k2+3.（求谁的最值，就把谁表示出来，然后求这个表达式的最值，若表达式中出现两个及以上的变量，需先将表达式转化为含有一个变量的表达式） （10分）
令4k2－9＝t（t＞0），则4k2＝t2＋9，（换元后要注意新元的范围）
所以S＝6tt2+12＝6t＋12t≤6212＝32，当且仅当t＝12t，即t＝23，即k＝±212时，等号成立，
所以△ABC面积的最大值为32. （12分）