备战2025年高考数学精品教案第九章统计与成对数据的统计分析第2讲用样本估计总体（Word版附解析）

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学生用书P212
1.百分位数
（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有① p％ 的数据小于或等于这个值，且至少有② （100－p）％ 的数据大于或等于这个值.
（2）四分位数：第25百分位数、中位数（第50百分位数）、第75百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，这三个分位数统称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
2.平均数、中位数、众数
3.方差和标准差
4.分层随机抽样的样本均值与方差
以两层随机抽样的情况为例.假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s2，第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为t2，则x＝1m∑i=1mxi，s2＝1m∑i=1m（xi－x）2，y＝1n∑j=1nyj，t2＝1n∑j=1n（yj－y）2.若记样本均值为a，样本方差为b2，则可以算出a＝1m＋n（∑i=1mxi＋∑j=1nyj）＝mx＋nym＋n，b2＝m[s2＋（x－a）2]＋n[t2＋（y－a）2]m＋n.
常用结论
1.平均数的性质
（1）若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为ax＋b.
（2）若两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为x和y，则x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均数为x＋y.
2.方差的性质
若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2，ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即数据经过平移后方差不变.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近
B.一组数据的第p百分位数唯一
C.方差与标准差具有相同的单位
D.如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变
解析 平均数指的是这组数据的平均水平，中位数指的是这组数据的中间水平，它们之间没有必然联系，故A错误；一组数据的第p百分位数可以不唯一，故B错误；方差是标准差的平方，故它们的单位不一样，故C错误.
2.[全国卷Ⅲ]设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ C ）
B.0.1C.1D.10
解析 因为数据axi＋b（i＝1，2，…，n）的方差是数据xi（i＝1，2，…，n）的方差的a2倍，所以所求数据的方差为102×0.01＝1.
3.[多选/2021新高考卷Ⅱ]下列统计量中可用于度量样本x1，x2，…，xn离散程度的有（ AC ）
A.x1，x2，…，xn的标准差B.x1，x2，…，xn的中位数
C.x1，x2，…，xn的极差D.x1，x2，…，xn的平均数
解析 平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势，一般地，对数值型数据集中趋势的描述，可以用平均数和中位数，对分类型数据集中趋势的描述，可以用众数.方差、标准差和极差均是度量样本数据离散程度的数字特征.故选AC.
4.[江苏高考]已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 53 .
解析 数据6，7，8，8，9，10的平均数是6+7+8+8+9+106＝8，则方差是4+1+0+0+1+46＝53.
5.[2023湖南省六校联考]数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为m，第60百分位数为a，则m＋a＝ 10 .
解析 共有10个数据，且为从小到大排列，所以中位数为第5个数和第6个数的平均数，所以m＝4+52＝4.5，因为10×60％＝6，所以第60百分位数为第6个数和第7个数的平均数，所以a＝5+62＝5.5，所以m＋a＝10.
学生用书P213
命题点1 百分位数的估计
例1 （1）一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.则该组数据的第75百分位数为 14.5 ，第86百分位数为 17 .
解析 ∵75％×20＝15，∴第75百分位数为14+152＝14.5.∵86％×20＝17.2，∴第86百分位数为第18个数据，即17.
（2）[2023重庆二调]如图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的80％分位数为 78.5 .
解析 ∵（0.016＋0.030）×10＝0.46＜0.8，（0.016＋0.030＋0.040）×10＝0.86＞0.8，
∴80％分位数位于[70，80）中，令其为x，则x－7010＝0.8－0.460.4，（面积（频率）之比等于宽（横坐标之差）之比）
解得x＝78.5.
方法技巧
1.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
（1）按从小到大排列原始数据；（2）计算i＝n×p％；（3）若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数.
2.频率分布直方图中第p百分位数的求解步骤
（1）确定第p百分位数所在的区间[a，b）；
（2）确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa％， fb％，则第p百分位数为a＋p％－fa％fb％－fa％×（b－a）.
训练1 （1）已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ C ）
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
解析 因为100×75％＝75，为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不正确，故选C.
（2）[2023河北名校联考]为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m（1≤m≤10）的值可以是 7（8，9，10也可） .（写出一个满足条件的m的值即可）
解析 原数据去掉m后，剩余数据从小到大依次为6，7，7，8，8，9，10，因为7×0.25＝1.75，所以这7个数的第25百分位数为7，所以数据7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位数为7，又8×0.25＝2，所以7为这8个数据从小到大排序后的第2个数与第3个数的平均数，所以m（1≤m≤10）的值可以是7或8或9或10.
命题点2 样本的数字特征
角度1 离散型数据的数字特征
例2 （1）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则（ A ）
A.x＝4，s2＜2B.x＝4，s2＝2
C.x＞4，s2＜2D.x＞4，s2＞2
解析 设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x77＝4,17x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5-42+x6-42+x7-42=2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，（x1－4）2＋（x2－4）2＋（x3－4）2＋（x4－4）2＋（x5－4）2＋（x6－4）2＋（x7－4）2＝14，则这8个数的平均数x=18x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+4=18×28+4=4，方差s2=18x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5－42+x6-42+x7-42+4-42=18×14+0=74