备战2025年高考数学精品教案第八章平面解析几何第6讲双曲线（Word版附解析）

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学生用书P185
1.双曲线的定义和标准方程
（1）定义
在平面内到两定点F1，F2的距离的差的① 绝对值 等于常数（小于｜F1F2｜且大于零）的点的轨迹叫做双曲线.定点F1，F2叫做双曲线的② 焦点 ，两焦点间的距离叫做③ 焦距 .
集合语言：P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，2a＜｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
a.当2a＝2c时，P点的轨迹是④ 两条射线 ；
b.当2a＞2c时，P点轨迹不存在.
（2）标准方程
a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为⑤ x2a2－y2b2＝1 （a＞0，b＞0）；
b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为⑥ y2a2－x2b2＝1 （a＞0，b＞0）.
规律总结
焦点位置的判断
在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
思维拓展
双曲线的第二定义、第三定义
双曲线的第二定义：{P｜｜PF｜d＝e，e＞1，F∉l，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，d为点P到直线l的距离}.
双曲线的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，e＞1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}（注意，此时确定的双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上）.
2.双曲线的几何性质
（1）双曲线的几何性质
（2）特殊双曲线
常用结论
1.双曲线的焦点三角形与焦半径
F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线上一点，则
（1）S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.
（2）△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a.
（3）当点P（x0，y0）在双曲线右支上时，｜PF1｜＝ex0＋a，｜PF2｜＝ex0－a；当点Px0,y0在双曲线左支上时，｜PF1｜＝－ex0－a，｜PF2｜＝－ex0＋a.
（4）当点P在双曲线右支上时，｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.
2.双曲线中两个常见的直角三角形
如图所示，F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为右顶点，过点F2向渐近线引垂线，垂足为C，过点A向x轴引垂线交渐近线于点B，则△COF2≌△AOB，且有｜OC｜＝｜OA｜＝a，｜F2C｜＝｜AB｜＝b，｜OF2｜＝｜OB｜＝c.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线
B.关于x，y的方程x2m－y2n＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线
C.双曲线y29－x24＝1的渐近线方程是y＝±23x
D.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2
2.[浙江高考]渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（ C ）
A.22B.1C.2D.2
解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.故选C.
3.[2023北京高考]已知双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），离心率为2，则C的标准方程为 x22－y22＝1 .
解析 解法一 因为双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上.又离心率e＝2，所以ca＝2，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝2，所以双曲线C的标准方程为x22－y22＝1.
解法二 因为双曲线C的离心率e＝2，所以该双曲线为等轴双曲线，即a＝b.又双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上，所以a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线C的标准方程为x22－y22＝1.
4.已知等轴双曲线过点（5，3），则该双曲线方程为 x216－y216＝1 .
解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），将（5，3）代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.
5.[教材改编]设双曲线x29－y2b2＝1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为双曲线上的一点，若｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝ 11 .
解析 由双曲线的方程x29－y2b2＝1（b＞0），可得a＝3，根据双曲线的定义可知PF1-PF2=±2a=±6，又｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝11.
6.已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距为43，实轴长为42，则双曲线C的渐近线方程为 2x±y＝0 .
解析 由题意知，2c＝43，2a＝42，则b＝c2－a2＝2，所以C的渐近线方程为y＝±abx＝±2x，即2x±y＝0.
学生用书P187
命题点1 双曲线的定义及应用
例1 （1）[全国卷Ⅲ]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝（ A ）
A.1B.2C.4D.8
解析 解法一 设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P为双曲线右支上一点，则由双曲线的定义得m－n＝2a.由题意得S△PF1F2＝12mn＝4，且m2＋n2＝4c2＝（m－n）2＋2mn＝4a2＋16，又e＝ca＝5，故c2a2＝a2+4a2＝5，所以a＝1，故选A.
解法二 由题意及双曲线焦点三角形的结论，得S△PF1F2＝b2tan45°＝4，得b2＝4，又c2a2＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.
（2）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹为（ C ）
A.双曲线B.椭圆
C.双曲线左支D.双曲线右支
解析 设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1－3,0和C23,0为焦点的双曲线的左支.
方法技巧
1.双曲线定义的主要应用
（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为双曲线；
（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.
2.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义以及余弦定理.
训练1 （1）已知P是双曲线C：x22－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则｜PF1｜＋｜PQ｜的最小值为（ D ）
A.1B.2＋155
C.4＋155D.22＋1
解析 设双曲线的右焦点为F2，因为｜PF1｜－｜PF2｜＝22，所以｜PF1｜＝22＋｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PQ｜＝22＋｜PF2｜＋｜PQ｜.当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，｜PF2｜＋｜PQ｜最小，且最小值为点F2到直线l的距离.点F2到直线l的距离d＝1，故｜PQ｜＋｜PF1｜的最小值为22＋1，故选D.
（2）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 23 .
解析 解法一 不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜＝12，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝8，所以S△F1PF2＝12｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝23.
解法二 由题意可得双曲线C的标准方程为x22－y22＝1，所以可得b2＝2，由双曲线焦点三角形的面积公式S△PF1F2＝b2tan∠F1PF22，可得S△F1PF2＝2tan30°＝23.
命题点2 求双曲线的标准方程
例2 （1）已知定点F1（－2，0），F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（ B ）
A.x2＋y23＝1B.x2－y23＝1
C.x23＋y2＝1D.x23－y2＝1
解析 如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1.因为｜ON｜＝12｜F2M｜＝1，所以｜F2M｜＝2，由PN所在直线为线段MF1的垂直平分线，可得｜PF1｜＝｜PM｜＝｜PF2｜－｜F2M｜＝｜PF2｜－2，所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2＜｜F1F2｜＝4.同理，当点P在y轴右侧时，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＜｜F1F2｜＝4.故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，对应的方程为 x2－y23＝1.
（2）[2023天津高考]双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知｜PF2｜＝2，直线PF1的斜率为24，则双曲线的方程为（ D ）
A.x28－y24＝1B.x24－y28＝1
C.x24－y22＝1D.x22－y24＝1
解析 解法一 由题意可知该渐近线方程为y＝bax，直线PF2的方程为y＝－ab（x－c），与y＝bax联立并解得x＝a2c，y＝abc，即P（a2c，abc）.因为直线PF2与渐近线y＝bax垂直，所以PF2的长度即为点F2（c，0）到直线y＝bax（即bx－ay＝0）的距离，由点到直线的距离公式得｜PF2｜＝bca2＋b2＝bcc＝b，所以b＝2.因为F1（－c，0），P（a2c，abc），且直线PF1的斜率为24，所以abca2c＋c＝24，化简得aba2＋c2＝24，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以2a2a2+4＝24，整理得a2－22a＋2＝0，即（a－2）2＝0，解得a＝2.所以双曲线的方程为x22－y24＝1，故选D.
解法二 因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且｜PF2｜＝2，所以b＝2，（双曲线中焦点到渐近线的距离为b）
再结合选项，排除选项B，C.若双曲线方程为x28－y24＝1，则F1（－23，0），F2（23，0），渐近线方程为y＝±22x，由题意可知该渐近线方程为y＝22x，则直线PF2的方程为y=-2（x－23），与渐近线方程y＝22x联立，得P（433，263），则kPF1＝25，又直线PF1的斜率为24，所以双曲线方程x28－y24＝1不符合题意，排除A.故选D.
方法技巧
求双曲线标准方程的两种方法
1.定义法
先根据双曲线定义确定a，b，c的值，再结合焦点的位置求出双曲线方程.
2.待定系数法
（1）先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由题中条件确定a2，b2的值；若不能确定焦点位置，可以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）.
（2）常见设法
①与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ（a＞0，b＞0，λ≠0）；
②与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1（-b2<λ训练2 （1）[浙江高考]已知点O（0，0），A（－2，0），B（2，0）.设点P满足PA-PB=2，且P为函数y＝34－x2图象上的点，则｜OP｜＝（ D ）
A.222B.4105C.7D.10
解析 由｜PA｜－｜PB｜＝2＜｜AB｜＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－y23＝1（x≥1），又y＝34－x2，所以x2＝134，y2＝274，所以｜OP｜＝x2＋y2=134＋274＝10，故选D.
（2）与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点P（32，2）的双曲线的标准方程为 x212－y28＝1 .
解析 解法一 设所求双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1（－25，0），F225,0，则｜PF1｜－｜PF2｜＝（32+25）2+4－（32－25）2+4＝212=2a，∴a＝12，∴b2＝c2－a2＝8，故双曲线的标准方程为x212－y28＝1.
解法二 设所求双曲线的方程为x216－λ－y24+λ＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线过点P（32，2），∴1816－λ－44+λ＝1，解得λ＝4.
故双曲线的标准方程为x212－y28＝1.
命题点3 双曲线的几何性质
角度1 渐近线
例3 （1）[2022北京高考]已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝ -3 .
解析 依题意得m＜0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx＝±33x，解得m＝－3.
（2）[2021新高考卷Ⅱ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为 y＝±3x .
解析 e＝ca＝1+（ba）2＝2，得ba＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.
方法技巧
（1）求双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程的方法：令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为xa±yb＝0，也就是y＝±bax.
（2）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式k2＝e2－1.
角度2 离心率
例4 （1）[2021全国卷甲]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（ A ）
A.72B.132C.7D.13
解析 设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝m2+9m2－2×3m×m×cs60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜｜PF1｜－｜PF2｜＝7m2m＝72.
（2）双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交双曲线C于另一点B，当BF⊥AF时满足｜AF｜＞2｜BF｜，则双曲线离心率e的取值范围是（ B ）
A.（1，2）B.（1，32）
C.（32，2）D.（1，3+32）
解析 由BF⊥AF，可得｜BF｜＝b2a，又｜AF｜＞2｜BF｜，｜AF｜＝a＋c，所以a＋c＞2·b2a，即a＋c＞2·c2－a2a，即a2＋ac＞2（c2－a2），两边同时除以a2，整理可得2e2－e－3<0，又e＞1，则1＜e＜32.
所以双曲线离心率e的取值范围是（1，32）.
（3）[2023新高考卷Ⅰ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－23F2B，则C的离心率为 355 .
解析 解法一 由题意可知，F1（－c，0），F2（c，0），设A（x1，y1），B（0，y0），所以F2A＝（x1－c，y1），F2B＝（－c，y0），因为F2A＝－23F2B，所以x1－c＝23c，y1＝－23y0，即x1＝53c，y1＝－23y0，所以A（53c，－23y0）.
F1A＝（83c，－23y0），F1B＝（c，y0），因为F1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝0，即83c2－23y02＝0，解得y02＝4c2.
因为点A（53c，－23y0）在双曲线C上，所以25c29a2－4y029b2＝1，又y02＝4c2，所以25c29a2－16c29b2＝1，即25（a2＋b2）9a2－16（a2＋b2）9b2＝1，化简得b2a2＝45，所以e2＝1＋b2a2＝95，所以e＝355.
解法二 由前面解法一得A（53c，－23y0），y02＝4c2，所以｜AF1｜＝（53c＋c）2＋（－23y0）2＝64c29＋4y029＝64c29＋16c29＝45c3，｜AF2｜＝（53c－c）2＋（－23y0）2＝4c29＋4y029＝4c29＋16c29＝25c3，由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，即45c3－25c3＝2a，即53c＝a，所以双曲线的离心率e＝ca＝35＝355.
方法技巧
1.求双曲线的离心率的方法
（1）直接利用公式求离心率：e＝ca＝1+（ba）2.
（2）利用双曲线的定义求离心率：在焦点三角形F1PF2中，设∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则e＝ca＝｜F1F2｜||PF1｜－｜PF2||＝sinθ｜sinα－sinβ｜.
（3）构造关于a，b，c的齐次式求离心率：由已知条件得出关于a，b，c的齐次式，然后转化为关于e的方程求解.
2.求双曲线离心率的取值范围的方法
（1）借助平面几何图形中的不等关系求解，如焦半径｜PF1｜∈[c－a，＋∞）或｜PF1｜∈[a＋c，＋∞）、三角形中两边之和大于第三边等；
（2）考虑平面几何图形的临界位置，建立关于a，c的不等关系求解.
角度3 与双曲线性质有关的最值（范围）问题
例5 （1）[全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ B ）
A.4B.8C.16D.32
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±bax.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝12×a×｜DE｜＝12×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝22时等号成立.所以c≥4，2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
（2）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上（不含端点）存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝π2，则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是（ A ）
A.（1，5+12）B.（1，3+12）
C.（0，5+12）D.（3+12，32）
解析 不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则F-c，0,B0，b,直线BF的方程为bx－cy＝－bc.如图所示，以O为圆心，A1A2为直径作圆O，则P1，P2在圆O上.
由题意可知b＞a，bcb2＋c2＜a，即b＞a，baa2＋b2＜a2+2b2，解得1＜b2a2＜5+12，即双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是（1，5+12）.
方法技巧
求解与双曲线性质有关的最值（范围）问题的方法
1.几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
2.代数法：构造函数或不等式，利用函数或不等式的性质求解.
训练3 （1）[2023绵阳二诊]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，A，B两点在双曲线C上且关于原点对称，若｜AB｜＝2｜OF｜（O为坐标原点），｜BF｜＝3｜AF｜，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）
A.6x±2y＝0B.2x±6y＝0
C.2x±3y＝0D.3x±2y＝0
解析 记F'为双曲线C的左焦点，连接AF'，BF'，则F，F'关于原点对称，又A，B也关于原点对称，所以四边形AFBF'为平行四边形，又｜AB｜＝2｜OF｜，所以四边形AFBF'为矩形.因为｜BF｜＝3｜AF｜，所以｜AF'｜＝3｜AF｜，所以｜AF'｜－｜AF｜＝2｜AF｜＝2a，所以｜AF｜＝a，｜AF'｜＝3a.在Rt△FAF'中，AF2+AF'2=FF'2,所以a2＋（3a）2＝（2c）2，所以c2＝5a22，又a2＋b2＝c2，所以b2＝3a22，所以ba＝62，所以双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±62x，即6x±2y＝0，故选A.
（2）如图，设双曲线C：x2－y224＝1的左、右焦点分别是F1、F2，点A是C右支上的一点，则｜AF1｜＋4｜AF2｜的最小值为（ C ）
A.5B.6C.7D.8
解析 由双曲线C：x2－y224＝1可得a2＝1，b2＝24，所以c2＝a2＋b2＝25，所以a＝1，c＝5.由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝2，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＋2，所以｜AF1｜＋4｜AF2｜＝｜AF2｜＋4｜AF2｜＋2.由双曲线的性质可知｜AF2｜≥c－a＝4，令｜AF2｜＝t，则t≥4，所以｜AF1｜＋4｜AF2｜＝t＋4t＋2.令f（t）＝t＋4t＋2（t≥4），则ft在[4，＋∞）上单调递增，（易忽视｜AF2｜的范围，错误地使用基本不等式求最值）
所以当t＝4时，f（t）取得最小值4＋44＋2＝7，此时点A为双曲线的右顶点（1，0），即｜AF1｜＋4｜AF2｜的最小值为7.故选C.
（3）[2023湖北省重点中学联考]若双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支上存在两点A，B，使△ABM为正三角形（其中M为双曲线的右顶点），则离心率e的取值范围为 （1，233） .
解析 由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±bax.要使该双曲线右支上存在两点A，B，使△ABM为正三角形，则需过右顶点M，且斜率为33的直线与双曲线的右支有两个不同的交点，即只需斜率大于渐近线y＝bax的斜率，所以33＞ba，即b＜33a，即b2＜13a2，所以c2＜a2+13a2，即c＜233a.又e＞1，所以1＜e＜233.
1.[命题点2/全国卷Ⅲ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝52x，且C与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为（ B ）
A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1
C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1
解析 解法一 根据双曲线C的一条渐近线方程为y＝52x，可知ba＝52 ①.因为椭圆x212＋y23＝1的焦点坐标为（3，0）和（－3，0），所以a2＋b2＝9 ②，根据①②可知a2＝4，b2＝5.所以双曲线C的方程为x24－y25＝1.
解法二 因为双曲线的渐近线方程为y＝52x，所以可设双曲线方程为x24－y25＝λ（λ＞0），即x24λ－y25λ＝1（λ＞0）.又因为双曲线C与椭圆有公共焦点（3，0），（－3，0），所以可得4λ＋5λ＝9，则λ＝1，所以双曲线C的方程为x24－y25＝1.
2.[命题点3角度3/2024安徽合肥模拟]已知直线l过双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于P，Q两点，F2为双曲线的右焦点，若（QP＋QF2）·PF2＝0，∠PQF2∈[π3，π），则ba的取值范围为 [6，22） .
解析 如图，∵（QP＋QF2）·PF2＝0，∴｜QP｜＝｜QF2｜，又｜QF1｜－｜QF2｜＝2a＝｜PF1｜，∴｜PF1｜＝2a，｜PF2｜＝4a，不妨设∠F1PF2＝θ，则有∠F1QF2＝π－2（π－θ）∈[π3，π），可得θ∈[2π3，π），在△F1PF2中，由余弦定理可知，cs θ＝16a2+4a2－4c216a2∈（－1，－12]，得7a2≤c2＜9a2，则6a2≤b2＜8a2，即ba∈[6，22）.
3.[命题点3角度2/2024全国高三模拟]已知双曲线E：y2a2－x28＝1（a＞0）的上焦点为F1，点P在双曲线的下支上，若A（4，0），且｜PF1｜＋｜PA｜的最小值为7，则双曲线E的离心率为（ D ）
A.2或69725B.3或69725
C.2D.3
解析 设双曲线E的下焦点为F2（0，－c），则c＝a2+8，连接AF2，PF2，如图，由双曲线的定义知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a，
则｜PF1｜＋｜PA｜＝｜PF2｜＋｜PA｜＋2a≥｜AF2｜＋2a＝16+c2＋2a＝a2+24＋2a，
当且仅当A，P，F2三点共线，即点P位于P'位置时，等号成立，
由题意可得a2+24＋2a＝7，解得a＝1或a＝253，
又7－2a＝a2+24＞0，所以a＝253不满足题意，舍去，故a＝1，则c＝a2+8＝3，所以双曲线E的离心率为e＝ca＝3.
故选D.
学生用书·练习帮P358
1.[2024遂宁月考]已知双曲线x2m－y2m+6＝1（m＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ D ）
A.x22－y24＝1B.x24－y28＝1
C.x2－y28＝1D.x22－y28＝1
解析 由题意，得2m＝m+6，解得m＝2，所以双曲线的标准方程为x22－y28＝1.故选D.
2.半径不等的两定圆O1，O2无公共点（O1，O2是两个不同的点），动圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是（ D ）
A.双曲线的一支
B.椭圆或圆
C.双曲线的一支或椭圆或圆
D.双曲线的一支或椭圆
解析 两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2），圆O的半径为R.又圆O与圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，｜OO1｜＝R－r1，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜－｜OO1｜＝r1－r2＜｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，｜OO1｜＝r1－R，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜＋｜OO1｜＝r1－r2＞｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是椭圆.故选D.
3.[2024深圳外国语学校月考]已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点.若A是BF2的中点，且BF1⊥BF2，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）
A.y＝±23xB.y＝±22x
C.y＝±3xD.y＝±2x
解析 连接AF1，设｜AB｜＝｜AF2｜＝m，则｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝m＋2a，BF1=BF2-2a=2m-2a， ｜BF1｜2＋｜BA｜2＝｜AF1｜2，|BF1|2＋|BF2|2=|F1F2|2，即（2m－2a）2＋m2＝（m＋2a）2 ①，（2m－2a）2＋4m2＝4c2 ②，由①可得m＝3a，代入②式化简得13a2＝c2，∴12a2＝b2，∴ba＝23，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±23x.故选A.
4.[2024山西名校联考]双曲线C：x2a2－y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A为C左支上一动点，直线AF2与C的右支交于点B，且｜AB｜＝3a，△ABF1与△BF1F2的周长相等，则｜F1F2｜＝（ B ）
A.233B.433C.23D.43
解析 点A在双曲线C的左支上，由双曲线的定义可知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a.因为△ABF1与△BF1F2的周长相等，所以AB+AF1+BF1=BF1+BF2+F1F2=BF1+AF2=AB+F1F2，则有｜F1F2｜＝2｜AB｜＋｜AF1｜－｜AF2｜＝4a.设双曲线C的半焦距为c，则2c＝4a＝2a2+1，所以a＝33，所以｜F1F2｜＝433.故选B.
5.[2023济南摸底考试]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F1的直线与C的左支交于A，B两点，若｜AB｜的最小值为4，则△ABF2周长的最小值为（ C ）
A.8 B.12C.16 D.24
解析 因为双曲线的离心率为2，所以e2＝1＋b2a2＝2，得a＝b.当弦AB与实轴垂直时，｜AB｜的值最小，所以2b2a＝4，所以a＝b＝2.由双曲线的定义得｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜＋4a＝｜AB｜＋4a，所以△ABF2的周长为2｜AB｜＋4a，因为a＝2，｜AB｜的最小值为4，所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16，故选C.
6.[2024惠州市一调]设O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为3，过F2作一条渐近线的垂线，垂足为P，则｜PF1｜｜OP｜＝（ D ）
A.62B.2C.3D.6
解析 由题意，不妨设a＝1，则c＝3，b＝2，所以｜PF2｜＝b＝2，｜OP｜＝a＝1，cs∠POF2＝33，所以cs∠POF1＝－cs∠POF2＝－33.由余弦定理可得，｜PF1｜2=｜OF1｜2＋｜OP｜2－2｜OF1｜·｜OP｜·cs∠POF1＝3＋1－2×3×1×（－33）＝6，所以｜PF1｜＝6，所以｜PF1｜｜OP｜＝6.故选D.
7.[全国卷Ⅰ]设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且｜OP｜＝2，则△PF1F2的面积为（ B ）
A.72B.3C.52D.2
解析 解法一 设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1（－2，0），F2（2，0），又｜OP｜＝2，所以｜OP｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，所以△PF1F2是直角三角形，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有｜PF1｜－｜PF2｜＝2，两边平方，得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝4，又｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝6，则S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜＝12×6＝3，（还可以直接利用S△PF1F2＝b2tan∠F1PF22进行求解）
故选B.
解法二 设点P的坐标为（xP，yP），因为｜OP｜＝2，所以xP2＋yP2＝4，把xP2＝4－yP2代入双曲线方程得｜yP｜＝32，所以S△PF1F2＝12｜F1F2｜·｜yP｜，由题意可知｜F1F2｜＝4，所以S△PF1F2＝12×4×32＝3.故选B.
8.[2024武汉部分学校调考]过双曲线E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若FA＝3FT，则双曲线E的离心率为（ C ）
A.3B.5C.132D.152
解析 如图，连接OT，由题意可知，OT⊥AF，｜OT｜＝a，又｜OF｜＝c，所以｜FT｜＝b，所以cs∠OFT＝bc.因为FA＝3FT，所以｜FA｜＝3b.设F'为双曲线E的右焦点，连接AF'，由双曲线的定义得｜AF'｜＝3b－2a.在△AFF'中，由余弦定理得（3b－2a）2＝（3b）2＋（2c）2－2×3b×2c×bc，所以a2－3ab－c2＋3b2＝0，又c2＝a2＋b2，所以2b＝3a，所以ba＝32，所以e2＝1＋b2a2＝1＋94＝134，所以e＝132，故选C.
9.[多选/2024江西九校联考]已知双曲线C过点（3，2）且渐近线方程为y＝±33x，则下列结论正确的是（ AC ）
A.C的方程为x23－y2＝1
B.C的离心率为3
C.曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D.直线x－3y－1＝0与C有两个公共点
解析 对于A，由双曲线的渐近线方程为y＝±33x，可设双曲线方程为x23－y2＝λ，把点（3，2）代入，得93－2＝λ，即λ＝1，所以双曲线C的方程为x23－y2＝1，故A正确；
对于B，由a2＝3，b2＝1，得c＝a2＋b2＝2，所以双曲线C的离心率为23＝233，故B错误；
对于C，曲线y＝ex－2－1过定点（2，0），（2，0）为双曲线C的右焦点，故C正确；
对于D，双曲线的渐近线方程为x±3y＝0，直线x－3y－1＝0与双曲线的一条渐近线平行，如图，故直线x－3y－1＝0与C有一个公共点，故D错误.故选AC.
10.[2024福州市一检]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，两条渐近线分别为l1，l2.点A在l1上，点B在l2上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称.若｜AF｜＝2b，则C的离心率为 2 .
解析 依题意，l1的方程为y＝bax.因为原点O与B关于直线AF对称，所以AF⊥l2，如图，设AF与l2的垂足为P，则｜FP｜＝b.因为｜AF｜＝2b＝2｜FP｜，所以点F，A关于直线l2对称，∠FOP＝∠AOP，又l1，l2关于y轴对称，所以∠FOP＝∠AOx，所以l1的倾斜角为13×180°＝60°，故ba＝tan 60°＝3，所以离心率e＝1+b2a2＝2.
11.已知双曲线x216－y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
（1）若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求M点到x轴的距离；
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（32，2），求双曲线C的方程.
解析 （1）不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∵MF1·MF2＝0，∴MF1⊥MF2.
设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8. ①
在Rt△F1MF2中，
由勾股定理得m2＋n2＝（2c）2＝80， ②
由①②得mn＝8.
∵S△MF1F2＝12mn＝4＝12×2ch，且c＝25，
∴h＝255，
即M点到x轴的距离为255.
（2）设双曲线C的方程为x216－λ－y24+λ＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线C过点（32，2），
∴1816－λ－44+λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14（舍去），
∴双曲线C的方程为x212－y28＝1.
12.[2024兰州检测]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），过原点O的直线交C于A，B两点（点B在右支上），双曲线右支上一点P（异于点B）满足BA·BP＝0，直线PA交x轴于点D.若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为（ A ）
A.2B.2C.3D.3
解析 设A（x1，y1），P（x2，y2），AP的中点为M，连接OM，则M（x1＋x22，y1＋y22）.由x12a2－y12b2=1，x22a2－y22b2=1，两式作差得（x1－x2)(x1＋x2）a2＝（y1－y2)(y1＋y2）b2，整理得x1＋x2y1＋y2＝a2b2·y1－y2x1－x2，所以1kOM＝a2b2·kPA，即kOM·kPA＝b2a2＝e2－1.因为∠ADO＝∠AOD，所以kPA＋kAB＝0，又BA·BP＝0，所以BA⊥BP，所以kAB·kBP＝－kPA·kBP＝－1.因为O，M分别为AB，AP的中点，所以OM∥BP，所以kOM＝kBP，所以kOM·kPA＝1，即e2－1＝1，得e＝2，故选A.
13.[多选]在直角坐标系xOy中，已知双曲线Γ：x2a－y2a2-a+4＝1（a＞0）的焦点到渐近线的距离不大于a+3，点A，B分别在Γ的左、右两支上，则（ ACD ）
A.Γ的离心率为定值
B.4x＋y＝0是Γ的一条渐近线
C.Γ的两条渐近线的夹角的正切值为43
D.｜AB｜的最小值为2
解析 选项A，不妨设F为Γ的右焦点，则F（a2+4，0），Γ的一条渐近线的方程为a2－a+4x－ay＝0，由题意得a2－a+4×a2+4a2+4≤a+3，整理得a2－2a＋1≤0，即（a－1）2≤0，所以a＝1，（另解：由双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b得a2－a+4≤a+3，得（a－1）2≤0，所以a＝1）
所以Γ：x2－y24＝1，所以Γ的离心率e＝1+41＝5，为定值，故A正确；选项B，由Γ：x2－y24＝1，得Γ的渐近线方程为2x±y＝0，故B错误；选项C，设Γ的渐近线2x－y＝0的倾斜角为α，则tan α＝2，所以tan 2α＝2tanα1－tan2α＝2×21－22＝－43，所以tan（π－2α）＝－tan 2α＝43，所以Γ的两条渐近线的夹角的正切值为43，（提示：两直线的夹角的取值范围为[0，π2]）故C正确；
选项D，易知｜AB｜≥2a＝2，（点拨：双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长为2b2a，双曲线异支的弦中最短的为实轴，其长为2a）
故D正确.故选ACD.
14.[多选/2024南昌市模拟]已知双曲线C：x2－y2＝2， O是坐标原点，点M为双曲线右支上的一个动点， 过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B， 则下列说法正确的是（ AB ）
A.双曲线的离心率为2
B.存在点M，使得四边形OAMB为正方形
C.直线AB，OM的斜率之积为2
D.存在点M，使得｜MA｜＋｜MB｜＝3
解析 对于A，双曲线的标准方程为x22－y22＝1（等轴双曲线），∴a＝b＝2，∴c＝a2＋b2＝2，∴e＝ca＝2，∴A正确.
对于B，渐近线方程为y＝±x，如图，不妨设点A在渐近线y＝x上，点B在渐近线y＝－x上，由OA⊥OB，MA⊥OA，MB⊥OB，知四边形OAMB为矩形.取M（2，0）（右顶点），则由点到直线的距离公式得｜AM｜＝｜2－0｜2＝1，同理可得MB=1,∴MA=MB,∴点M为右顶点时，四边形OAMB为正方形，∴B正确.
对于C，当M为（2，0）时，kOM＝0，直线AB的斜率不存在；当点M的横坐标不是2时，设M（x0，y0）（x0＞2），直线MA的方程为y－y0＝－（x－x0），与y＝x联立，可解得x＝x0＋y02，y＝x0＋y02，∴A（x0＋y02，x0＋y02），同理可得B（x0－y02，y0－x02），∴kAB·kOM＝x0＋y02－y0－x02x0＋y02－x0－y02·y0x0＝x0y0·y0x0＝1≠2，∴C错误.
对于D，设M（x0，y0）（x0≥2），由点到直线的距离公式知｜MA｜＋｜MB｜＝｜x0－y0｜＋｜x0＋y0｜2≥｜x0－y0＋x0＋y0｜2＝2x0≥2，∴不存在点M，使得｜MA｜＋｜MB｜＝3，故D错误.
综上，选AB.
15.[2022新高考卷Ⅰ]已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2－y2a2－1＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求l的斜率；
（2）若tan∠PAQ＝22，求△PAQ的面积.
解析 （1）将点A的坐标代入双曲线方程得4a2－1a2－1＝1，
化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
故双曲线C的方程为x22－y2＝1.
由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立直线l与双曲线C的方程并整理得（2k2－1）x2＋4kbx＋2b2＋2＝0，
故x1＋x2＝－4kb2k2－1，x1x2＝2b2+22k2－1.
kAP＋kAQ＝y1－1x1－2＋y2－1x2－2＝kx1＋b－1x1－2＋kx2＋b－1x2－2＝0，化简得2kx1x2＋（b－1－2k）（x1＋x2）－4（b－1）＝0，
故2k（2b2+2）2k2－1＋（b－1－2k）（－4kb2k2－1）－4（b－1）＝0，
整理得（k＋1）（b＋2k－1）＝0，
又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1.
（2）不妨设直线PA的倾斜角为θ（0＜θ＜π2），由题意知∠PAQ＝π－2θ，
所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝2tanθtan2θ－1＝22，
解得tan θ＝2或tan θ＝－22（舍去），
由y1－1x1－2＝2，x122－y12=1，得x1＝10－423，
所以｜AP｜＝3｜x1－2｜＝43（2－1）3，
同理得x2＝10+423，所以｜AQ｜＝3｜x2－2｜＝43（2+1）3.
因为tan∠PAQ＝22，所以sin∠PAQ＝223，
故S△PAQ＝12｜AP｜｜AQ｜sin∠PAQ＝12×43（2－1）3×43（2+1）3×223＝1629.
16.[背景创新/2024珠海市实验中学开学考试]如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（ B ）
A.53B.54C.43D.45
解析 点F（0，c）到渐近线y＝abx的距离d＝｜－bc｜a2＋b2＝b＝12，又由题知a＋c=36，a2＋122＝c2，解得a=16，c＝20，所以e＝ca＝2016＝54.故选B.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质.
2.体会数形结合的思想.
双曲线的定义及应用
2020全国卷ⅢT11
该讲每年必考，命题热点为双曲线的定义、标准方程、渐近线、离心率，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏上.在2025年高考备考中，训练常规题型的同时，应强化有关解答题的训练.
求双曲线的标准方程
2023新高考卷ⅡT21；2023天津T9；2022新高考卷ⅡT21
双曲线的几何性质
2023新高考卷ⅠT16；2022全国卷乙T11；2022全国卷甲T14；2022北京T12；2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT13；2021全国卷甲T5；2021全国卷乙T13；2020新高考卷ⅠT9；2020全国卷ⅠT15；2020全国卷ⅡT8；2020全国卷ⅢT11；2019全国卷ⅠT16 ；2019全国卷ⅡT11；2019全国卷ⅢT10
标准方程
x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）
y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）
图形
标准方程
x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）
y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）
几
何
性
质
范围
｜x｜≥a，y∈R
｜y｜≥a，x∈R
对称性
对称轴：⑦ x轴，y轴 ；对称中心：⑧ 原点
焦点
F1⑨ （－c，0） ，F2⑩ （c，0）
F1⑪ （0，－c） ，F2⑫ （0，c）
顶点
A1（－a，0），A2（a，0）
A1（0，－a），A2（0，a）
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为⑬ 2a ，虚轴长为⑭ 2b ；实半轴长为a，虚半轴长为b
焦距
｜F1F2｜＝⑮ 2c
离心率
e＝⑯ ca ＝1+b2a2，e∈⑰ （1，＋∞）
渐近线
直线⑱ y＝±bax
直线⑲ y＝±abx
a，b，c
的关系
a2＝⑳ c2－b2
等轴双曲线
共轭双曲线
定义
实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
如果一双曲线的实轴和虚轴分别是另一双曲线的虚轴和实轴，那么这两个双曲线互为共轭双曲线.
性质
（1）a＝b；（2）e＝2；（3）渐近线互相垂直；（4）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.
（1）它们有共同的渐近线；（2）它们的四个焦点共圆；（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.