备战2025年高考数学精品教案第八章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系（Word版附解析）

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学生用书P177
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则
常用结论
与圆的切线有关的结论
（1）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（2）过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则P，A，B，C四点共圆，且AB所在直线的方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（3）若圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），则过圆外一点P（x0，y0）的切线长d＝（x0－a）2＋（y0－b）2－r2.
2.圆与圆的位置关系
（1）设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r（R＞r），则
（2）两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 （*），圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 （**），若两圆相交，则两圆有一条公共弦，由（*）－（**），得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0 （***）.方程（***）表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程.
注意 （1）方程（***）存在的前提是两圆相交；（2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
规律总结
圆系方程
1.[多选]下列说法正确的是（ AD ）
A.若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切
B.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交
C.“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件
D.过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2
2.[易错题]若半径为1的圆C与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝9相切，则圆C的圆心C的轨迹方程为 （x＋1）2＋（y－2）2＝16或（x＋1）2＋（y－2）2＝4 .
解析 若两圆外切，则点C与点（－1，2）间的距离为4，点C在以（－1，2）为圆心，4为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝16；若两圆内切，则点C与点（－1，2）间的距离为2，点C在以（－1，2）为圆心，2为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4.
3.[易错题]已知圆C：x2＋y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为 x＝3或4x＋3y－15＝0 .
解析 由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由｜k×0－0+1－3k｜k2＋（－1）2＝3，解得k＝－43，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
4.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为 x2＋y2－3x＋y－1＝0 .
解析 易知x2＋y2－2y－4＝0不符合题意，设所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+λx2+y2-2y－4=0λ≠-1，
则（1＋λ）x2－4x＋（1＋λ）y2＋（2－2λ）y－4λ＝0，
把圆心坐标（21+λ，λ－11+λ）代入直线l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝13，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
5.[浙江高考]已知直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1和圆（x－4）2＋y2＝1均相切，则k＝ 33 ，b＝ -233 .
解析 解法一 因为直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1，圆（x－4）2＋y2＝1都相切，所以｜b｜1+k2＝｜4k＋b｜1+k2＝1，得k＝33，b＝－233.
解法二 因为直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1，圆（x－4）2＋y2＝1都相切，
所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点（2，0），
所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k＞0，所以θ＝π6，所以k＝tan π6＝33，b＝－2k＝－233.
学生用书P178
命题点1 直线与圆的位置关系
例1 （1）[多选/2021新高考卷Ⅱ]已知直线l：ax＋by－r2＝0（r＞0）与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ABD ）
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
解析 对于A，若点A（a，b）在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝r，所以直线l与圆C相切，故A正确；对于B，若点A（a，b）在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＞r，所以直线l与圆C相离，故B正确；对于C，若点A（a，b）在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＜r，所以直线l与圆C相交，故C不正确；对于D，因为点A在直线l上，所以a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝r，所以直线l与圆C相切，D正确.故选ABD.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是 [13,32] .
解析 解法一 由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝3－a2，所以直线A'B的方程为y＝3－a2x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以｜－3（3－a）＋（－2）×（－2）+2a｜（3－a）2＋（－2）2≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32，所以实数a的取值范围是[13，32].
解法二 设已知圆关于直线y＝a的对称圆为圆C，则易知圆心C（－3，2a＋2），半径r=1.
又直线AB的方程为y＝a－32x＋a，即（a－3）x－2y＋2a＝0.
于是，根据题意可知直线AB与圆C有公共点，从而可得|(a－3)(－3）－2（2a+2）+2a｜（a－3）2＋（－2）2≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32.故所求a的取值范围是[13，32].
方法技巧
直线与圆的位置关系的判断方法
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离不易表达，则用代数法.
训练1 （1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是 （ A ）
A.相交B.相切
C.相离D.不确定
解析 解法一（代数法） 由mx－y+1－m=0，x2＋（y－1）2=5，消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交.
解法二（几何法） 由题意知，圆心C（0，1）到直线l的距离d＝｜m｜m2+1＜1＜5，故直线l与圆C相交.
解法三（点与圆的位置关系法） 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆C相交.
（2）[2023重庆市调研质量抽测（一）]已知圆C：x2＋y2＝16上恰有3个点到直线l：y＝3x＋b（b＞0）的距离等于2，则b的值为 4 .
解析 如图，分别作直线l1，l2与直线l平行，且与直线l的距离均为2.圆C：x2＋y2＝16，则圆心坐标为（0，0），半径r＝4.圆心（0，0）到直线l：3x－y＋b＝0的距离d＝｜b｜2.因为圆C上恰有3个点到直线l的距离等于2，由图可知，圆C与l2相切，与l1有2个交点，（转化为圆C与直线l1，l2的位置关系）
则d+2=4，d－2