备战2025年高考数学精品教案第二章函数第6讲函数的图象（Word版附解析）

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学生用书P039
1.利用描点法作函数的图象
2.利用图象变换法作函数的图象
注意 （1）平移变换，基本原则是“左加右减”“上加下减”.“左加右减”只针对x本身，若x的系数不是1，需先将系数变为1后，再进行变换.
（2）对称变换的对称是指两个函数的图象之间的关系，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征.
常用结论
1.函数图象自身的对称性
（1）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a＋b2对称.特别地，若f（a＋x）＝f（a－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（2）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋kx）＝f（b－kx）（k≠0），则函数
f（x）的图象关于直线x＝a＋b2对称，函数f（kx）的图象关于直线x＝a＋b2k对称.
（3）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）.特别地，若f（a＋x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
2.两个函数图象之间的对称关系
（1）函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝b－a2对称（由a＋x＝b－x得对称轴方程）.
（2）函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）对称.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.函数y＝f（1－x）的图象可由y＝f（－x）的图象向左平移1个单位长度得到
B.函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称
C.当x∈（0，＋∞）时，函数y＝f（｜x｜）的图象与y＝｜f（x）｜的图象相同
D.若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
解析 y＝f（1－x）可由y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到，A错误；y＝
f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，B错误.令f（x）＝－x，当x∈（0，＋∞）时，y＝｜f（x）｜＝x，y＝f（｜x｜）＝－x，两者图象不同，C错误.易知D正确.
2.函数y＝x2，x<0，x－1，x≥0 的图象是（ C ）
A B CD
解析 x＜0时，图象单调递减，x≥0时，图象单调递增，且函数图象过点（0，－1），易知C正确.
3.[全国卷Ⅲ]下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是（ B ）
A.y＝ln（1－x）B.y＝ln（2－x）C.y＝ln（1＋x）D.y＝ln（2＋x）
解析 设f（x）＝ln x，易知函数f（2－x）与f（x）的图象关于直线x＝1对称，f（2－x）＝ln（2－x），故选B.
4.[2024北京师范大学附属实验中学模拟]要得到函数y＝xx－1的图象，只需将函数y＝1x的图象（ A ）
A.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析 y＝xx－1＝x－1+1x－1＝1＋1x－1，故将y＝1x的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到y＝xx－1的图象.故选A.
5.[2024江西省部分学校联考]将二次函数y＝3（x＋1）2－2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则a＋b＋c＝ 2 .
解析 由题意可得ax2＋bx＋c＝3（x－2＋1）2－2＋4＝3x2－6x＋5，所以a＝3，b＝－6，c＝5，则a＋b＋c＝2.
学生用书P041
命题点1 作函数的图象
例1 分别画出下列函数的图象：
（1）y＝2x＋1－1；
（2）y＝｜lg（x－1）｜；
（3）y＝x2－｜x｜－2.
解析 （1）将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示.
图1图2
（2）首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）.
（3）y＝x2－｜x｜－2＝x2－x－2，x≥0，x2＋x－2，x<0，其图象如图所示.
方法技巧
作函数的图象的策略
（1）熟练掌握几种基本初等函数的图象.
（2）若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.
训练1 分别画出下列函数的图象：
（1）y＝（12）｜x｜；（2）y＝2x+1x+1.
解析 （1）先作出y＝（12）x的图象，再去掉y轴左侧图象，并将y轴右侧图象翻折到y轴左侧，y轴上及右侧图象不变，即得y＝（12）｜x｜的图象，如图中实线部分所示.
（2）y＝2x+1x+1＝2－1x+1的图象可由y＝－1x的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示.
命题点2 函数图象的识别
角度1 知式选图或知图选式
例2 （1）[2022全国卷甲]函数y＝（3x－3－x）·cs x在区间[－π2，π2]的图象大致为（ A ）
AB
CD
解析 解法一（特值法） 取x＝1，则y＝（3－13）cs 1＝83cs 1＞0；取x＝－1，则y＝（13－3）cs（－1）＝－83cs 1＜0.结合选项知选A.
解法二 令y＝f（x），则f（－x）＝（3－x－3x）cs（－x）＝－（3x－3－x）cs x＝
－f（x），所以函数y＝（3x－3－x）cs x是奇函数，且当x∈（0，π2）时，3x－3－x＞0，
cs x＞0，故f（x）＞0，故选A.
（2）[2022全国卷乙]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是（ A ）
A.y＝－x3+3xx2+1B.y＝x3－xx2+1
C.y＝2xcsxx2+1D.y＝2sinxx2+1
解析 对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝15sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当x＞0时，y＝2xcsxx2+1＝2csxx＋1x，因为x＋1x≥2，当x＝1时取等号，所以y≤cs x≤1，与图象在y轴右侧最大值大于1不符，所以排除C.故选A.
方法技巧
识别函数图象的主要方法有：（1）利用函数的定义与性质，如定义域、奇偶性、单调性等判断；（2）利用函数的零点、极值点等判断；（3）利用特殊函数值判断.
角度2 借助动点探究函数图象
例3 如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝
f（x）的图象大致为（ B ）
AB
CD
解析 由题易知f（0）＝2， f（π4）＝1＋5， f（π2）＝22＜f（π4），可排除选项C，D；当点P在边BC上时， f（x）＝BP＋AP＝tan x＋4+tan2x（0≤x≤π4），不难发现f（x）的图象是非线性的，排除选项A，故选B.
方法技巧
借助动点探究函数图象的两种方法
（1）定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.
（2）定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同位置时图象的变化特征，从而作出选择.
训练2 （1）[2024重庆七校联考]函数f（x）＝ex－1ex+1·cs（π2＋x）的部分图象大致是（ C ）
解析 因为f（x）＝ex－1ex+1·cs（π2＋x）＝1－exex+1·sin x的定义域为R，且f（－x）＝1－e－xe－x+1·
sin（－x）＝－ex（1－e－x）ex（e－x+1）·sin x＝1－exex+1·sin x＝f（x），所以f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，D；当0＜x＜π 时，1－exex+1＜0，sin x＞0，所以f（x）＝1－exex+1·sin x＜0，故选项A错误，选项C正确.故选C.
（2）如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右平行移动（与线段AB有公共点）时，l把四边形ABCD分成两部分.设AE＝x，l左侧的面积为y，则y关于x的图象大致是（ C ）
解析 当l从左至右移动时，一开始l左侧面积的增加速度越来越快，过了D点后l左侧面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后l左侧面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.
命题点3 函数图象的应用
角度1 研究函数性质
例4 已知函数f（x）＝x｜x｜－2x，则下列结论正确的是（ C ）
A.f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）
B.f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）
C.f（x）是奇函数，递减区间是（－1，1）
D.f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）
解析 由题意得f（x）＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x<0，画出函数f（x）的图象，如图所示，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数
f（x）为奇函数，且在（－1，1）上单调递减.故选C.
角度2 解不等式（或方程）
例5 （1）[北京高考]已知函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集是（ D ）
A.（－1，1）B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C.（0，1）D.（－∞，0）∪（1，＋∞）
解析 函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集即2x＞x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象，如图所示，结合图象易得2x＞x＋1的解集为（－∞，0）∪（1，
＋∞）.故选D.
（2）设f（x）＝｜lg（x－1）｜，若1＜a＜b且f（a）＝f（b），则ab的取值范围是 （4，＋∞） .
解析 画出函数f（x）＝｜lg（x－1）｜的图象，如图所示.由1＜a＜b且f（a）＝f（b）可得－lg（a－1）＝lg（b－1），解得ab＝a＋b＞2ab（由于a＜b，故取不到等号），所以ab＞4.
角度3 求参数范围
例6 [2024福建三明第一中学模拟]已知函数 f（x）＝sin πx，0≤x≤1，lg2 024x，x>1，若实数a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是（ A ）
A.（2，2 025）B.（2，2 025]
C.（2，2 024）D.（2，2 024]
解析 函数f（x）＝sinπx，0≤x≤1，lg2 024x，x>1的图象如图所示，
不妨令a＜b＜c，由f（a）＝f（b）＝f（c）及正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，1＜c＜
2 024，所以2＜a＋b＋c＜2 025.故选A.
方法技巧
函数图象的应用，实质是数形结合思想的应用.
（1）研究函数的性质可借助函数图象的对称性、走向趋势、最高点、最低点等进行分析；
（2）不等式问题可转化为图象的上下位置关系问题；
（3）函数零点或方程根的问题可转化为函数图象的交点问题.
训练3 （1）把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，所得图象对应的函数在（0，＋∞）上单调递增，则a的最大值为（ B ）
A.1B.2C.3D.4
解析 把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，得到函数g（x）＝
ln｜x＋2－a｜的图象，则函数g（x）在（a－2，＋∞）上单调递增，又因为所得函数在（0，＋∞）上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2，所以a的最大值为2.
（2）已知函数f（x）＝（12）x，x≥1，lg4（x+1),－1A.（－∞，0]B.（－1，0]
C.（－1，0]∪[1，＋∞）D.[1，＋∞）
解析 作出函数y＝f（x）与y＝12x的图象，如图.
结合图象知不等式f（x）≤12x的解集为（－1，0]∪[1，＋∞），故选C.
（3）已知函数f（x）＝2x－x，x≤0，lg2x－x，x>0，若方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 （－∞，1] .
解析 方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根，即方程f（x）＋x＝－x＋a有两个不同的根，等价于函数y＝f（x）＋x与函数y＝－x＋a的图象有两个不同的交点.
因为f（x）＝2x－x，x≤0，lg2x－x，x>0，
所以y＝f（x）＋x＝2x，x≤0，lg2x，x>0，
作出函数y＝f（x）＋x与y＝－x＋a的大致图象，如图所示.
数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根.
1.[命题点2角度1/全国卷Ⅰ]函数f（x）＝sinx＋xcsx＋x2在[－π，π]上的图象大致为（ D ）
AB
CD
解析 易知函数f（x）的定义域为R.
因为f（－x）＝sin（－x）－xcs（－x）＋（－x）2＝－sinx＋xcsx＋x2＝－f（x），所以f（x）为奇函数，排除A；
因为f（1）＝sin1+1cs1+1，且sin 1＞cs 1，所以f（1）＞1，排除B，C.故选D.
2.[命题点2角度1]从某个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ C ）
A.f（x）＝sin6x2－x－2x
B.f（x）＝cs6x2x－2－x
C.f（x）＝cs6x｜2x－2－x｜
D.f（x）＝sin6x｜2x－2－x｜
解析 因为函数图象关于y轴对称，所以此函数为偶函数.四个选项中的函数的定义域均为（－∞，0）∪（0，＋∞）.对于A，f（－x）＝sin（－6x）2x－2－x＝－sin6x－（2－x－2x）＝sin6x2－x－2x＝
f（x），f（x）是偶函数，当x＞0时，令f（x）＝0，则sin 6x＝0，得x＝kπ6（k∈N*），则当x＞0时，函数的第一个零点为x＝π6，当0＜x＜π6时，sin 6x＞0，2－x－2x＜0，f（x）＜0，A不符合题意.
对于B，f（－x）＝cs（－6x）2－x－2x＝cs6x－（2x－2－x）＝－cs6x2x－2－x＝－f（x），f（x）是奇函数，不符合题意.
对于C，f（－x）＝cs（－6x）｜2－x－2x｜＝cs6x｜2x－2－x｜＝f（x），f（x）是偶函数，当x＞0时，令
f（x）＝0，则cs 6x＝0，得x＝π12＋kπ6（k∈N），所以当x＞0时，函数的第一个零点为x＝π12，当0＜x＜π12时，cs 6x＞0，｜2x－2－x｜＞0，f（x）＞0，符合题意.
对于D，f（－x）＝sin（－6x）｜2－x－2x｜＝－sin6x｜2x－2－x｜＝－sin6x｜2x－2－x｜＝－f（x），f（x）是奇函数，不符合题意.故选C.
3.[命题点2角度2/2024北京市育英学校模拟]点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，A，P两点间的距离y关于点P所走的路程x的函
数图象如图所示，那么点P所走的图形是（ C ）
AB
CD
解析 观察题图，可以发现两个显著特点：①点P所走的路程为图形周长的一半时，A，P两点间的距离y最大；②y关于x的函数图象是曲线.设点M是点P所走的路程为图形周长的一半时所对应的点，如图所示，在图1和图4中，易知｜AM｜＜｜AP｜max，均不符合特点①，所以排除选项A，D.在图2中，当点P在线段AB上运动时，y＝x，其图象是一条线段，不符合特点②，因此排除选项B.故选C.
4.[命题点3角度3/2024山东省德州市模拟]已知函数f（x）＝2x－1+1，x≤2，｜lg2（x－2)|,x>2，若关于x的方程[f（x）]2－（a＋3）f（x）－a＝0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ A ）
A.∅B.[－1，0）
C.（－2，0）D.（－2，－1）
解析 作出函数f（x）的大致图象如图，由函数图象可知，要使关于x的方程[f（x）]2－（a＋3）f（x）－a＝0有6个不同的实数根，设f（x）＝t，则关于t的方程t2－（a＋3）t－a＝0在（1，3]有两个不同的实数根，
因此Δ＝[－（a+3）]2－4×1×（－a）>0，10，9－3（a+3)－a≥0，无解，所以实数a的取值范围为∅.故选A.
5.[命题点3/多选]已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2｜x－1｜－1，02.则下列结论正确的是（ AD ）
A.函数f（x）在（－6，－5）上单调递增
B.函数f（x）的图象与直线y＝x有且仅有2个不同的交点
C.若关于x的方程[f（x）]2－（a＋1）f（x）＋a＝0（a∈R）恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8
D.记函数f（x）在[2k－1，2k]（k∈N*）上的最大值为ak，则数列{ak}的前7项和为12764
解析 若2＜x≤4，则0＜x－2≤2，f（x）＝12f（x－2）＝12（2｜x－3｜－1），若4＜x≤6，则2＜x－2≤4，f（x）＝12f（x－2）＝14（2｜x－5｜－1），以此类推.
作出f（x）的部分图象如图所示.
对于A，由图可知，f（x）在区间（5，6）上单调递增，因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）在区间（－6，－5）上单调递增，故A正确.
对于B，由图可知，f（x）在（0，＋∞）上的图象与直线y＝x有1个交点，结合f（x）为定义在R上的奇函数可知，f（x）在（－∞，0）上的图象与直线y＝x有1个交点，且
f（0）＝0，所以f（x）的图象与直线y＝x有3个不同的交点，故B错误.
对于C，由[f（x）]2－（a＋1）f（x）＋a＝0（a∈R），得[f（x）－1][f（x）－a]＝0，因为原方程恰有4个不相等的实数根，且方程f（x）－1＝0有唯一实数根x1＝2，所
以方程f（x）－a＝0应有3个不同的实数根（从小到大依次记为x2，x3，x4），结合图象及f（x）为奇函数可知，a＝12或a＝－12.当a＝12时，x2＋x3＝2，x4＝4，此时4个实数根的和为8；当a＝－12时，x2＝－4，x3＋x4＝－2，此时4个实数根的和为－4，故C错误.
对于D，函数f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）＝1，即
a1＝1，函数f（x）在[3，4]上的最大值为f（4）＝12，即a2＝12，…….由函数解析式及性质可知，数列{ak}是首项为1，公比为12的等比数列，则其前7项和为S7＝1－（12）71－12＝12764，故D正确.故选AD.
学生用书·练习帮P270
1.[2023武汉市模拟]函数f（x）＝sinxex＋e－x的部分图象可能为（ A ）
解析 因为f（－x）＝sin（－x）e－x＋ex＝－sinxe－x＋ex＝－f（x），所以f（x）是奇函数，排除D；（速解：牢记y＝ax＋a－x（a＞0且a≠1）为偶函数，y＝ax－a－x为奇函数.因为y＝sin x为奇函数，y＝ex＋e－x为偶函数，奇÷偶＝奇，所以f（x）为奇函数）
因为f（π）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上必有零点，排除C；因为当x∈（0，π）时，f（x）＞0，所以排除B.故选A.
2.已知函数f（x）的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ C ）
图1图2
A.1－f（x）B.－f（2－x）
C.f（－x）－1D.1－f（－x）
解析 由题图知，将f（x）的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位长度即得题图2，故题图2表示的函数为y＝f（－x）－1.
3.已知函数f（x）＝ex－1－1，x≤1，lg2x，x>1，则函数y＝f（1－x）的图象大致为（ B ）
AB
CD
解析 解法一 令g（x）＝f（1－x）.由题意，得g（0）＝f（1－0）＝f（1）＝e0－1＝0，易知f（x）在R上单调递增，所以y＝f（1－x）在R上单调递减，故选B.
解法二 先作f（x）＝ex－1－1，x≤1，lg2x，x>1，的图象关于y轴对称的图象，再把该图象向右平移1个单位长度，得到y＝f（1－x）的图象，故选B.
4.[2023天津高考]函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ D ）
A.f（x）＝5（ex－e－x）x2+2B.f（x）＝5sinxx2+1
C.f（x）＝5（ex+e－x）x2+2D.f（x）＝5csxx2+1
解析 由题图可知函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数f（x）是偶函数.因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f（x）＝5（ex－e－x）x2+2是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sin x是奇函数，所以f（x）＝5sinxx2+1是奇函数，故排除B；因为x2＋2＞0，ex＋e－x＞0，所以f（x）＝5（ex+e－x）x2+2＞0恒成立，不符合题意，故排除C.分析知，选项D符合题意，故选D.
5.[2024辽宁模拟]已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（ A ）
A.（－2，－1）∪（1，2）B.（－2，－1）
C.（－1，0）∪（1，2）D.（－1，0）
解析 ∵xf（x）＜0，∴x和f（x）异号.由f（x）为奇函数，可得f（x）在R上的图象如图所示.由图可得，当x∈（－2，－1）∪（0，1）∪（2，＋∞）时，f（x）＞0，当x∈（－∞，－2）∪（－1，0）∪（1，2）时，f（x）＜0，∴不等式xf（x）＜0的解集为（－2，－1）∪（1，2）.
6.[2024陕西调研]若函数f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围是（ D ）
A.（－1e，＋∞）B.（－e，＋∞）
C.（－∞，1e）D.（－∞，e）
解析 由题意知，函数y＝e－x与g（x）＝ln（x＋a）的图象在（0，
＋∞）上有交点.当a＞0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝
ln x的图象向左平移a个单位长度得到的，根据图象（如图）可知此时只需要g（0）＝ln a＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向右平移－a个单位长度得到的，此时在（0，＋∞）上y＝e－x与g（x）的图象恒有交点，满足条件.综上，a＜e，即实数a的取值范围是（－∞，e）.故选D.
7.[2024江西联考]已知定义域为R的函数f（x）满足f（2＋x）＝－f（－x），且曲线y＝
f（x）与曲线y＝－1x－1有且只有两个交点，则函数g（x）＝f（x）＋1x－1的零点之和是（ A ）
A.2B.－2C.4D.－4
解析 由f（2＋x）＝－f（－x），得f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，函数y＝
－1x－1的图象是由y＝－1x的图象向右平移一个单位长度得到的，故y＝－1x－1的图象关于点（1，0）中心对称，
又曲线y＝f（x）与曲线y＝－1x－1有且只有两个交点，则这两个交点关于（1，0）对称，故这两个交点的横坐标之和为2，而函数g（x）＝f（x）＋1x－1的零点即曲线y＝f（x）与曲线y＝－1x－1交点的横坐标，故函数g（x）＝f（x）＋1x－1的零点之和是2，故选A.
8.[多选/2024山东日照模拟改编]下列结论正确的是（ ABD ）
A.函数y＝sin x与y＝lgπx的图象只有一个交点
B.函数y＝sin x与y＝（12）x的图象有无数个交点
C.函数y＝sin x与y＝x的图象有三个交点
D.函数y＝sin x与y＝tan x，x∈（－π2，π2）的图象只有一个交点
解析 在同一坐标系内作出函数y＝sin x，y＝lgπx，y＝（12）x及y＝x的图象，如图所示，
由图象可知，A，B正确，C错误.
对于D，sin x＝tan x⇒sin x＝sinxcsx⇒sin x（1－1csx）＝0，∵x∈（－π2，π2），∴x＝0，因此函数y＝sin x与y＝tan x，x∈（－π2，π2）的图象只有一个交点，故D正确.故选ABD.
9.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－x.若f（a）＜4＋
f（－a），则实数a的取值范围是 （－∞，2） .
解析 因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以f（a）＜4＋f（－a）可转化为f（a）＜2，作出f（x）的图象，如图所示，由图易知a＜2.
10.设函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x＋2）＝f（x）.当x∈[－1，0]时，f（x）＝x2，则函数f（x）与y＝｜lg x｜的图象的交点个数为 10 .
解析 因为f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为2的偶函数，图象关于y轴对称.因为当x∈[－1，0]时，f（x）＝x2，所以当x∈[－1，1]时，f（x）＝x2.根据f（x）是周期为2的偶函数画出f（x）的图象如图所示，同时画出y＝｜lg x｜的图象，根据图象可知，两个函数的图象有10个交点.
11.[2023吉林长春模拟]函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则函数g（x）＝
f（－ln x）的单调递减区间是（ D ）
A.（0，12）B.（12，1）
C.（0，1e]D.[1e，1]
解析 因为t＝－ln x在x∈（0，＋∞）上单调递减，所以g（x）＝f（－ln x）的单调递减区间为y＝f（t）的单调递增区间，由图象可知y＝f（t）的单调递增区间为[0，12]，所以
－ln x∈[0，12]，解得x∈[1e，1]，选D.
12.[2024辽宁省沈阳市新民市高级中学模拟]岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展.图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ C ）
A.y＝｜x｜4－x2B.y＝x4－x2
C.y＝－x2+2｜x｜D.y＝－x2+2x
解析 由图象可知，函数为偶函数，排除B，D.对于A，∵y＝｜x｜4－x2＝x2（4－x2）≤（x2+4－x22）2＝2（当且仅当x2＝4－x2，即x＝±2时取等号），∴y＝｜x｜4－x2在（－2，2）上的最大值为2，与图象不符，A错误.对于C，∵y＝－x2+2｜x｜＝－(|x｜－1）2+1，∴当x＝±1时，ymax＝1.又y＝－x2+2｜x｜的图象过点（－2，0），（2，0），（0，0），由－x2＋2｜x｜≥0得｜x｜（｜x｜－2）≤0，解得－2≤x≤2，即函数定义域为[－2，2]，又－（－x）2+2|－x｜＝－x2+2｜x｜，∴y＝－x2+2｜x｜为定义在[－2，2]上的偶函数，图象关于y轴对称.当x∈[0，2]时，y＝－x2+2x＝－（x－1）2+1，则函数在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减.综上所述，y＝－x2+2｜x｜的图象满足题意.故选C.
13.[2024河南模拟]已知函数①f（x）＝e｜x｜sin x；②g（x）＝x－ln｜x｜；③t（x）＝
x2sin x；④h（x）＝exx2.则下列（1）（2）（3）（4）4个函数图象所对应的函数解析式的序号依次为（ A ）
A.④②①③B.②④①③
C.②④③①D.④②③①
解析 由题图可知，图象（1）对应函数的定义域为{x｜x≠0}，值域为{y｜y＞0}，结合函数解析式可知，图象（1）必对应函数④，排除B，C.对于函数①，当x＞0时，f（x）＝exsin x，易得f '（x）＝ex（sin x＋cs x）＝2exsin（x＋π4），当x∈（0，3π4）时，f '（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（3π4，π）时，f '（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x∈（0，π）时，f（x）max＝f（3π4）＝22e3π4＞5，所以函数①对应图象（3），排除D，图象（2）的定义域中不含0，故对应函数②；图象（4）有零点，故对应函数③，故选A.
14.[多选]已知函数f（x）＝｜3x－1|,x<1，－4x2+16x－13，x≥1，函数g（x）＝f（x）－a，则下列结论正确的是（ BCD ）
A.若g（x）有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2）
B.若g（x）有4个不同的零点，则a的取值范围是（0，1）
C.若g（x）有4个不同的零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则x3＋x4＝4
D.若g（x）有4个不同的零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则x3x4的取值范围是
（134，72）
解析 令g（x）＝f（x）－a＝0，得f（x）＝a，所以g（x）的零点个数为函数y＝f（x）与y＝a图象的交点个数，作出函数y＝f（x）与y＝a的大致图象，如图所示.
由图可知，若g（x）有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2）∪{0}，所以A选项不正确.
若g（x）有4个不同的零点，则a的取值范围是（0，1），所以B选项正确.
若g（x）有4个不同的零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），此时（x3，0），（x4，0）关于直线x＝2对称，所以x3＋x4＝4，所以C选项正确.（两零点满足“对称性”，即两零点之和为其“对称轴”与x轴的交点横坐标的2倍）
由C选项可知x3＝4－x4，所以x3x4＝（4－x4）x4＝－x42＋4x4，
由于g（x）有4个不同的零点，a的取值范围是（0，1），
故0＜－4x42＋16x4－13＜1，所以134＜－x42＋4x4＜72，
所以D选项正确.故选BCD.
15.已知函数f（x）＝1－x2，x≤0，lnx，x>0，若直线y＝kx与函数f（x）的图象交于A，B两点，且满足｜OA｜＝｜OB｜，其中O为坐标原点，则k值的个数为 2 .
解析 由题意知，函数y＝f（x）的图象上有关于原点O对称的点，因此存在x0，使得f（x0）＝－f（－x0），即函数y＝f（x）与y＝
－f（－x）的图象有公共点.当x＞0时，f（x）＝ln x，－x＜0，
－f（－x）＝x2－1，作出y＝f（x），y＝－f（－x）在（0，＋∞）上的图象如图所示，则当x＞0时，y＝－f（－x）与y＝f（x）的图象的交点个数即所求.（将问题转化为两函数图象的交点个数问题）
数形结合可知，当x＞0时，y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象有2个交点，所以k值的个数为2.
16.[2024广东七校联考]已知函数y＝｜x2－1｜x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 （0，1）∪（1，4） .
解析 先画出函数y＝｜x2－1｜x－1＝｜x+1||x－1｜x－1＝x+1，x>1，－｜x+1|,x<1的图象，如图中实线，标注图象的顶点和端点.函数y＝kx－2的图象是过定点A（0，－2）且斜率k变化的一条直线，于是就把初始直线AB（AB与实线只有一个交点，此时k＝0）绕着定点A逆时针转动，在转动过程中，在x轴下方有两个交点，当k＝1时，转到直线n：y＝x－2，且直线n与直线y＝x＋1平行，此时，只有一个交点，继续逆时针转动，又有两个交点，直到转到直线m：y＝4x－2为止，此时只有一个交点.要使两函数的图象有两个交点，数形结合，可得kAB＜k＜1或1＜k＜kAC，即0＜k＜1或1＜k＜4.
17.[多选/2024河南商丘模拟]已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）－x2是奇函数，
f（x）＋x是偶函数，设函数g（x）＝f（x),0≤x≤1，2g（x－1),x>1，则（ ACD ）
A.f（3）＝6
B.当x∈（3，4）时，g（x）＝4x2－20x＋24
C.若对任意x∈[0，t），g（x）≥－3恒成立，则实数t的最大值为174
D.若g（x）＝m（－2＜m＜－1）在[0，5]内有根x1，x2，…，xn，则∑i=1nxi＝16
解析 因为f（x）－x2是奇函数，f（x）＋x是偶函数，所以f（－x）－x2＝－f（x）＋x2，f（－x）－x＝f（x）＋x，解得f（x）＝－x＋x2，则f（3）＝－3＋32＝6，故A正确；
当x∈（1，2）时，x－1∈（0，1），所以g（x）＝2g（x－1）＝2f（x－1），同理，当x∈（2，3）时，g（x）＝2g（x－1）＝4g（x－2）＝4f（x－2），当x∈（3，4）时，
g（x）＝2g（x－1）＝4g（x－2）＝8g（x－3）＝8f（x－3）＝8[－（x－3）＋（x－3）2]＝8x2－56x＋96，故B错误；
根据规律可得到g（x）的图象（部分）如图所示，
当x∈（4，5）时，g（x）＝16f（x－4）＝16（x－4.5）2－4，令16（x－4.5）2－4＝
－3，解得x＝174或x＝194，结合图象可知0＜t≤174，即实数t的最大值为174，故C正确；
g（x）＝m（－2＜m＜－1）在[0，5]内的根，即y＝g（x）的图象与y＝m（－2＜m＜
－1）在[0，5]内的交点的横坐标，由图可知有4个交点，不妨设其横坐标分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1，x2关于直线x＝3+42＝72对称，x3，x4关于直线x＝4+52＝92对称，所以x1＋x2＝2×72＝7，x3＋x4＝2×92＝9，所以∑i=1nxi＝x1＋x2＋x3＋x4＝16，故D正确.故选ACD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数，理解函数图象的作用.
作函数的图象
本讲是高考的一个热点，主要考查函数图象的识别和应用，题型以选择题为主，中档难度.在2025年高考备考过程中要掌握数形结合思想，并能灵活应用.
函数图象的识别
2023天津T4；2022全国卷乙T8；2022全国卷甲T5；2019全国卷ⅠT5；2019全国卷ⅢT7
函数图象的应用
2020北京T6
平移变换
y＝f（x）的图象 y＝f（x＋a）的图象.
y＝f（x）的图象 y＝① f（x－a） 的图象.
y＝f（x）的图象 y＝f（x）＋h的图象.
y＝f（x）的图象 y＝② f（x）－h 的图象.
对称变换
y＝f（x）的图象 y＝－f（x）的图象.
y＝f（x）的图象y＝③ f（－x） 的图象.
y＝f（x）的图象 y＝f（x）的反函数的图象.
y＝f（x）的图象y＝④ －f（－x） 的图象.
翻折变换
y＝f（x）的图象 y＝｜f（x）｜的图象.
y＝f（x）的图象 y＝⑤ f（｜x｜） 的图象.
伸缩变换
y＝f（x）的图象 y＝f（ax）的图象.
y＝f（x）的图象 y＝⑥ Af（x） 的图象.