备战2025年高考数学精品教案第二章函数第5讲对数与对数函数（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考数学精品教案第二章函数第5讲对数与对数函数（Word版附解析），共23页。教案主要包含了四象限.等内容，欢迎下载使用。

学生用书P034
1.对数与对数运算
（1）对数的概念
一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作① x＝lgaN ，其中a叫做对数的② 底数 ，N叫做③ 真数 .
以10为底的对数叫做常用对数，记作④ lgN ；以e为底的对数叫做自然对数，记作⑤ lnN .
（2）对数的性质、运算性质及换底公式
2.对数函数的图象和性质
规律总结
1.对数函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（1a，
－1），函数图象只在第一、四象限.
2.如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大.
注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.
3.反函数
指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线⑳ y＝x 对称（如图所示）.反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.
1.[全国卷Ⅰ]设alg34＝2，则4－a＝（ B ）
A.116B.19C.18D.16
解析 解法一 因为alg34＝2，所以lg34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝19，故选B.
解法二 因为alg34＝2，所以a＝2lg34＝lg39lg34＝lg49，所以4a＝9，所以4－a＝14a＝19，故选B.
2.[多选]以下说法正确的是（ CD ）
A.若MN＞0，则lga（MN）＝lgaM＋lgaN
B.对数函数y＝lgax（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数
C.函数y＝ln 1+x1－x与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同
D.对数函数y＝lgax（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，0）且过点（a，1）,（1a，
－1），函数图象只在第一、四象限
3.lg 25＋lg 2·lg 50＋（lg 2）2＝ 2 .
4.若lga34＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是 （0，34）∪（1，＋∞） .
5.设lga2＝m，lga3＝n，则a2m＋n的值为 12 .
6.[2023北京高考]已知函数f（x）＝4x＋lg2x，则f（12）＝ 1 .
解析 因为f（x）＝4x＋lg2x，所以f（12）＝412＋lg212＝2＋lg22－1＝2－1＝1.
学生用书P035
命题点1 对数的运算
例1 （1）[2022天津高考]化简（2lg43＋lg83）（lg32＋lg92）的值为（ B ）
A.1B.2C.4D.6
解析 （2lg43＋lg83）（lg32＋lg92）＝（2lg223＋lg233）×（lg32＋lg322）＝（lg23＋13lg23）（lg32＋12lg32）＝43×lg23×32×lg32＝2，故选B.
（2）[2022浙江高考]已知2a＝5，lg83＝b，则4a－3b＝（ C ）
A.25B.5C.259D.53
解析 由2a＝5得a＝lg25.又b＝lg83＝lg23lg28＝13lg23，所以a－3b＝lg25－lg23＝lg253＝lg453lg42＝2lg453＝lg4259，所以4a－3b＝4lg4259＝259，故选C.
方法技巧
对数运算的一般思路
（1）转化：①利用ab＝N⇔b＝lgaN（a＞0且a≠1）对题目条件进行转化；②利用换底公式化为同底数的对数运算.
（2）利用恒等式：lga1＝0，lgaa＝1，lgaaN＝N，algaM＝M.
（3）拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算性质化简.
（4）合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.
训练1 （1）[2024江苏省如皋市教学质量调研]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lg N＝n＋lg a（0≤lg a＜1）.当n＞0时，N是n＋1位数，则41 000是（ C ）位数.（lg 2≈0.301 0）
A.601B.602C.603D.604
解析 由lg41 000＝lg22 000＝2 000lg 2≈2 000×0.301 0＝602＝602＋lg 1，得n＝602，所以41 000是603位数.故选C.
（2）[2024山东泰安第二中学模拟]（2＋1027）－23＋2lg32－lg349－5lg259＝ －716 .
解析 原式＝[（43）3]－23＋lg34－lg349－5lg53＝（43）－2＋lg39－3 ＝916＋2－3＝－716.
命题点2 对数函数的图象及应用
例2 （1）[浙江高考]在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝lga（x＋12）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（ D ）
AB
CD
解析 若0＜a＜1，则函数y＝1ax是增函数，y＝lga（x＋12）是减函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝1ax是减函数，而y＝lga（x＋12）是增函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，没有符合的图象.故选D.
（2）已知当0＜x≤14 时，有x＜lgax，则实数a的取值范围为 （116，1） .
解析 若x＜lgax 在x∈（0，14]时成立，则0＜a＜1，且y＝x 的图象在y＝lgax 图象的下方，作出y＝x，y＝lgax的图象如图所示.由图象知14＜lga14，所以0方法技巧
与对数函数有关的图象问题的求解策略
1.对于图象的识别，一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.
2.对于对数型函数的图象，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.
训练2 （1）[多选/2024辽宁省部分学校模拟]已知 ax＝b－x（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数y＝lga（－x）与y＝bx的图象可能是（ AB ）
解析 因为ax＝b－x，即ax＝（1b）x，所以a＝1b，当a＞1时，0＜b＜1，函数y＝bx在R上单调递减，且过点（0，1），因为y＝lgax与y＝lga（－x）的图象关于y轴对称，故y＝lga（－x）在（－∞，0）上单调递减且过点（－1，0），故A符合题意.
当0＜a＜1时，b＞1，函数y＝bx在R上单调递增，且过点（0，1），y＝lga（－x）在（－∞，0）上单调递增且过点（－1，0），故B符合题意.故选AB.
（2）[2024安徽省皖江名校联考]已知函数f（x）＝｜lg3｜x｜｜,x≠0，0，x=0，设a，b，c，d是四个互不相同的实数，且满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是 （4，＋∞） .
解析 作出函数f（x）的图象，如图所示，易知f（x）图象关于y轴对称.
设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直线y＝m，则由图象得0＜b＜1＜a，则由题意知，lg3a＝
－lg3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝1a，则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜＝
2（a＋b）＝2（a＋1a）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是（4，＋∞）.
命题点3 对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例3 （1）[2021新高考卷Ⅱ]若a＝lg52，b＝lg83，c＝12，则（ C ）
A.c＜b＜aB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.a＜b＜c
解析 a＝lg52＝lg54＜lg55＝12＝c，b＝lg83＝lg89＞lg88＝12＝c，所以a＜c＜b.故选C.
（2）[2024天津市蓟州区第一中学模拟]已知函数f（x）在R上是增函数，若a＝
f（lg215），b＝f（lg24.1），c＝f（20.5），则a，b，c的大小关系为（ A ）
A.a＜c＜bB.b＜a＜c
C.c＜b＜aD.c＜a＜b
解析 lg215＝－lg25＜－lg24＝－2，lg24.1＞lg24＝2，20.5＝2∈（1，2），故lg215＜20.5＜lg24.1.由于f（x）在R上是增函数，故f（lg215）＜f（20.5）＜f（lg24.1），所以a＜c＜b.故选A.
方法技巧
比较对数值大小的常用方法
1.底数相同时，比较真数的大小；真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的形式，再比较大小，也可以借助对数函数的图象比较大小.
2.当底数和真数都不相同时，常借助0，1或题干中出现的有理数等中间量比较大小，也可以通过作差或者作商比较大小.
角度2 解对数方程或不等式
例4 （1）[2024湘豫名校联考]已知函数f（x）＝lg2｜x｜＋x2，则不等式f（ln x）＋
f（－ln x）＜2的解集为（ D ）
A.（1e，1）B.（1e，e）
C.（1，e）D.（1e，1）∪（1，e）
解析 由题可知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），∴ln x≠0.
∵f（－x）＝lg2｜－x｜＋（－x）2＝lg2｜x｜＋x2＝f（x），
∴f（x）是偶函数，∴由f（ln x）＋f（－ln x）＜2可得2f（ln x）＜2，即f（ln x）＜1.
当x＞0时，f（x）＝lg2x＋x2.
∵y＝lg2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是单调递增的，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（1）＝1，∴｜ln x｜＜1且ln x≠0，∴1e＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集为（1e，1）∪（1，e）.故选D.
（2）[2024江苏省淮安市五校联考]已知x＝4lg6x－9lg6x，y＝9lg4y＋6lg4y，则xy的值为（ B ）
A.5+12B. 5－12
C.5＋1D.5－1
解析 令lg6x＝m，lg4y＝n，则x＝6m，y＝4n.
由x＝4lg6x－9lg6x，y＝9lg4y＋6lg4y可得6m＝4m－9m，4n＝9n＋6n，
进而可得（32）m＝1－（32）2m，故（32）m＋（32）2m＝1，同理得（32）2n＋（32）n＝1，所以（32）m与（32）n均为方程t2＋t－1＝0的实数根，
由t2＋t－1＝0，解得t＝－1+52或t＝－1－52，
因为（32）m＞0，（32）n＞0，
所以（32）m＝（32）n＝－1+52.
由于函数y＝（32）x为增函数，所以m＝n，xy＝6m4n＝（32）m＝－1+52，故选B.
方法技巧
1.（1）lga f（x）＝b⇔f（x）＝ab（a＞0，且a≠1）.
（2）lgaf（x）＝lgag（x）⇔f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.
2.解简单对数不等式，先统一底数，化为形如lga f（x）＞lgag（x）的不等式，再借助y＝lgax的单调性求解.
角度3 对数函数性质的应用
例5 （1）[全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（ D ）
A.是偶函数，且在（12，＋∞）单调递增
B.是奇函数，且在（－12，12）单调递减
C.是偶函数，且在（－∞，－12）单调递增
D.是奇函数，且在（－∞，－12）单调递减
解析 由2x+1≠0，2x－1≠0，得函数f（x）的定义域为（－∞，－12）∪（－12，12）∪（12，
＋∞），其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A，C.当x∈
（－12，12）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B.当x∈（－∞，－12）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln2x+12x－1＝ln（1＋22x－1），易知函数f（x）单调递减，故选D.
（2）[全国卷Ⅰ]若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则（ B ）
A.a＞2bB.a＜2b
C.a＞b2D.a＜b2
解析 令f（x）＝2x＋lg2x，因为y＝2x在（0，＋∞）上单调递增，y＝lg2x在（0，
＋∞）上单调递增，所以f（x）＝2x＋lg2x在（0，＋∞）上单调递增.又2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b＜22b＋lg2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故选B.
方法技巧
对数型复合函数的单调性问题的求解策略
（1）对于y＝lga f（x）型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝lga f（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）＞0）的单调性在a＞1时相同，在0＜a＜1时相反.
（2）研究y＝f（lgax）型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝lgax，则只需研究t＝lgax及y＝f（t）的单调性即可.
注意 研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错.
训练3 （1）[2024河南名校联考]“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 二次函数y＝x2－ax＋12图象的对称轴为x＝a2，若函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增，则根据复合函数的单调性可得a2≤2，4－2a＋12≥0，即a≤94，故“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选A.
（2）[2024河南商丘高三名校联考]已知a＝lg64，b＝lg53，c＝lg76，则（ B ）
A.a＜b＜cB.b＜a＜c
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 由题意得a，b，c∈（0，1），
∵lg64·lg67＜（lg64+lg672）2＝（lg6282）2＜1，
∴lg64＜1lg67＝lg76，即a＜c.
∵a＝lg64＝lg64256＞lg64216＝34，b＝lg53＝lg5481＜lg54125＝34，∴a＞b.综上所述，可得b＜a＜c.故选B.
（3）[2024湖北名校联考改编]已知奇函数f（x）＝lg1+kx1+x（k≠1），则不等式－1＜f（x）＜lg12的解集为 （13，911） .
解析 因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝lg1－kx1－x＋lg1+kx1+x＝lg1－k2x21－x2＝0，所以k2＝1.因为k≠1，所以k＝－1，则由－1＜f（x）＜lg12，得lg110＜lg1－x1+x＜lg12，所以110＜1－x1+x＜12，解得13＜x＜911.
学生用书P038
指数、对数、幂值比较大小的策略
策略1 直接法
例6 （1）[2023南京六校联考]若a＝0.40.5，b＝0.50.4，c＝lg324，则a，b，c的大小关系是（ D ）
A.a＜b＜cB.b＜c＜a
C.c＜b＜aD.c＜a＜b
解析 因为0.40.5＜0.50.5＜0.50.4，所以a＜b.因为c＝lg324＝lg2522＝25lg22＝0.4＜0.40.5＝a，所以c＜a＜b，故选D.
（2）[2022全国卷甲]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（ A ）
A.a＞0＞bB.a＞b＞0
C.b＞a＞0D.b＞0＞a
解析 因为9m＝10，所以m＝lg910，所以a＝10m－11＝10lg910－11＝10lg910－10lg1011，因为lg910－lg1011＝lg10lg9－lg11lg10＝（lg10）2－lg 9·lg 11lg9·lg10＞（lg10）2－（lg9+lg112）2lg9·lg10＝1－（lg992）2lg9＞0，所以a＞0.b＝8lg910－9＝8lg910－8lg89，因为lg910－lg89＝lg10lg9－lg9lg8＝lg10·lg8－（lg9）2lg9·lg8＜（lg10+lg82）2－（lg 9）2lg9·lg8＝（lg802）2－（lg812）2lg9·lg8＜0，所以b＜0.综上，a＞0＞b.故选A.
策略2 图象法
例7 [2024山西大学附中模拟]若ea＝－ln a，e－b＝ln b，e－c＝－ln c，则（ B ）
A.a＜b＜cB.a＜c＜b
C.b＜c＜aD.b＜a＜c
解析 在同一直角坐标系中作出y＝ex，y＝e－x，y＝ln x，y＝－ln x的图象，如图所示，由图象可知a＜c＜b.故选B.
策略3 构造函数法
例8 [全国卷Ⅰ]设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ D ）
A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y
C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z
解析 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k＞1.
解法一（作差法） 易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，z＝lgklg5.
因为k＞1，所以lg k＞0，所以2x－3y＝2lgklg2－3lgklg3＝lgk×（2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgk×lg 98lg2×lg3＞0，故2x＞3y，2x－5z＝2lgklg2－5lgklg5＝lgk×（2lg5－5lg2）lg2×lg5＝lgk×lg 2532lg2×lg5＜0，故2x＜5z.所以3y＜2x＜5z.
解法二（作商法） 易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，z＝lgklg5.
由2x3y＝23×lg3lg2＝lg9lg8＞1，得2x＞3y，
由5z2x＝52×lg2lg5＝lg 25lg 52＞1，得5z＞2x.
所以3y＜2x＜5z.
解法三（函数法） 易知x＝lnkln2，y＝lnkln3，z＝lnkln5.
设函数f（t）＝tlnklnt（t＞0，t≠1），则f（2）＝2lnkln2＝2x， f（3）＝3lnkln3＝3y，f（5）＝5lnkln5＝5z.
f '（t）＝lnk·lnt－1t·tlnk（lnt）2＝（lnt－1）lnk（lnt）2，
易得当t∈（e，＋∞）时，f '（t）＞0，函数f（t）单调递增.
因为e＜3＜4＜5，所以f（3）＜f（4）＜f（5）.
又f（2）＝2lnkln2＝2×2lnk2ln2＝4lnkln4＝f（4），
所以f（3）＜f（2）＜f（5），即3y＜2x＜5z.
方法技巧
指数、对数、幂值比较大小的策略
1.直接利用函数的性质，题目中出现的常数，特殊值（如0，1）等比较大小.
2.当待比较大小的代数式无法单独分离出来时，通常会考虑代数式的几何意义，通过图象，利用交点坐标比较大小.
3.式子结构比较麻烦，或呈现一定规律时，通常会构造新函数，利用新函数的单调性比较大小.
4.作差、作商也是比较大小常用的方法.
训练4 （1） [2024山东省枣庄市第三中学模拟]设x＝e0.03，y＝1.032，z＝ln（e0.6＋e0.4），则x，y，z的大小关系为（ A ）
A.z＞y＞xB.y＞x＞z
C.x＞z＞yD.z＞x＞y
解析 易得ln x＝0.03，ln y＝2ln 1.03＝2ln（1＋0.03），令f（x）＝x－2ln（1＋x）（0＜x＜110），则f '（x）＝1－2x+1＝x－1x+1＜0，∴f（x）在（0，110）上递减，∴f（x）＜0－2ln（1＋0）＝0，则x＜2ln（1＋x），∴0.03＜2ln（1＋0.03），故y＞x.y＝1.032＝1.060 9，z＝
ln（e0.6＋e0.4）＞ln 2e0.6+0.4＝ln 2＋ln e＝ln 2＋12，易得ln 2＞35，∴z＞1.1，∴y＜z.故z＞y＞x，故选A.
（2）[多选/2023黑龙江西北八校联考]已知实数x，y，z满足z·ln x＝z·ey＝1，则下列关系式可能成立的是（ ABC ）
A.x＞y＞zB.x＞z＞y
C.z＞x＞yD.z＞y＞x
解析 由题知实数x，y，z满足ln x＝ey＝1z，在同一直角坐标系中分别作出函数m＝ln n，m＝en，m＝1n的大致图象，如图所示，再分别作出与n轴平行且与三个函数图象均相交的直线，依次记为m＝m1，m＝m2，m＝m3，如图所示.
由直线m＝m1与三个函数图象的交点情况可得z＞x＞y，由直线m＝m2与三个函数图象的交点情况可得x＞z＞y，由直线m＝m3与三个函数图象的交点情况可得x＞y＞z.故选ABC.
（3）[多选/2024广东省汕头市金禧中学模拟]若0＜c＜b＜1＜a，则下列不等式正确的是（ ABC ）
A.lg2 024a＞lg2 024bB.lgca＞lgba
C.（c－b）ac＞（c－b）abD.（a－c）ac＞（a－c）ab
解析 对选项A：因为a＞1＞b＞0，且f（x）＝lg2 024x为增函数，所以f（a）＞f（b），即lg2 024a＞lg2 024b，故A正确.
对选项B：因为a＞1＞b＞c＞0，所以lgac＜lgab＜0，
所以1lgac＞1lgab，即lgca＞lgba，故B正确.
对选项C，D：由题意易知ac＜ab且c－b＜0，a－c＞0，
所以（c－b）ac＞（c－b）ab，（a－c）ac＜（a－c）ab，
所以C正确，D错误. 故选ABC.
1.[命题点1/2024江苏省南通市教学质量调研]若3x＝4y＝6z＝k，且2x＋1y－1z＝12，则实数k的值为 36 .
解析 ∵3x＝4y＝6z＝k，∴x＝lg3k，y＝lg4k，z＝lg6k，则2x＋1y－1z＝2lg3k＋1lg4k－1lg6k＝2lgk3＋lgk4－lgk6＝lgk9＋lgk4－lgk6＝lgk（9×46）＝lgk6＝12，∴k12＝6，即k＝36.
2.[命题点2/2024辽宁省大连市滨城高中联考]函数y＝lgax＋ax－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（k，b），若m＋n＝b－k且m＞0，n＞0，则9m＋1n的最小值为（ B ）
A.9B.8C.92D.52
解析 因为函数y＝lgax＋ax－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，3），所以m＋n＝3－1＝2，所以2（9m＋1n）＝（m＋n）（9m＋1n）＝10＋9nm＋mn≥10＋29＝16，所以9m＋1n≥8，当且仅当n＝12，m＝32时等号成立，故选B.
3.[命题点2]已知函数f（x）＝ln x，则函数y＝f（11－x）的图象大致为（ D ）
解析 f（11－x）＝ln11－x＝－ln（1－x），其定义域为（－∞，1），且为增函数，故选D.
4.[命题点3角度1]已知函数f（x）＝2｜x｜，a＝f（lg0.53），b＝f（lg45），c＝
f（csπ3），则（ B ）
A.a＞c＞bB.a＞b＞c
C.b＞a＞cD.c＞a＞b
解析 a＝f（lg0.53）＝f（－lg23），b＝f（lg45）＝f（lg25），c＝f（csπ3）＝
f（12），易知函数f（x）＝2｜x｜为偶函数，∴a＝f（lg23）.又当x＞0时，函数f（x）＝
2｜x｜＝2x单调递增，且lg23＞lg25＞12，∴f（lg23）＞f（lg25）＞f（12），∴a＞b＞c.故选B.
5.[命题点3角度2，3/多选/2024湖南名校联考]已知函数f（x）＝lg（x2－x＋414），则（ ACD ）
A.f（x）的最小值为1
B.∃x∈R，满足f（1）＋f（x）＝2
C.f（lg92）＞f（23）
D.f（90.1－12）＞f（30.18－12）
解析 由题知f（x）＝lg[（x－12）2＋10]，则f（x）在（－∞，12）上单调递减，在（12，＋∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（12）＝lg 10＝1，A正确.
因为f（x）≥1，f（1）＞1，所以f（1）＋f（x）＞2，B错误.
易知f（x）图象关于x＝12对称，因为0＜lg92＝lg2lg9＜lg2lg8＝13，所以｜lg92－12｜＞16，又｜23－12｜＝16，所以f（lg92）＞f（23），C正确.
因为90.1＝30.2＞30.18＞1，所以90.1－12＞30.18－12＞12，所以f（90.1－12）＞f（30.18－12），D正确.故选ACD.
6.[思维帮角度1，3]已知实数a，b满足a＝lg23＋lg86，6a＋8a＝10b，则下列判断正确的是（ C ）
A.a＞2＞bB.b＞2＞a
C.a＞b＞2D.b＞a＞2
解析 先比较a与2的大小：
a＝lg23＋lg86＝lg23＋lg236＝lg23＋13lg26＝lg23＋13（lg22＋lg23）＝1+4lg233＝1+lg2813，又2＝lg2643，且lg281＞lg264，所以1+lg2813－lg2643＞
0，即a＞2.
再比较b与2的大小：
因为a＞2，所以6a＋8a＞62＋82＝102，又6a＋8a＝10b，所以b＞2.
最后比较a与b的大小：
令f（x）＝6x＋8x－10x，x＞2，t＝x－2，t＞0，则x＝t＋2，令g（t）＝6t＋2＋8t＋2－10t＋2，t＞0，则g（t）＝36×6t＋64×8t－100×10t＜36×8t＋64×8t－100×10t＝100×8t－100×10t＜0，即当x＞2时，6x＋8x＜10x，
所以6a＋8a＝10b＜10a，所以b＜a.
综上，a＞b＞2.故选C.
7.[思维帮角度2]若e－x1·x3＝－ln x2·x3＝－1，则下列不等关系一定不成立的是（ D ）
A.x1＜x3＜x2B.x3＜x1＜x2
C.x3＜x2＜x1D.x1＜x2＜x3
解析 由e－x1·x3＝－ln x2·x3＝－1，得e－x1＝－ln x2＝－1x3.由e－x1＞0，得0＜x2＜1，x3＜0.作出函数y＝e－x，y＝－ln x（0＜x＜1），y＝－1x（x＜0）的大致图象，如图，由图可知x1＜x3＜x2，x3＜x1＜x2，x3＜x2＜x1均能够成立，只有D选项中的式子不可能成立.故选D.
8.[思维帮角度3]已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（ D ）
A.c＜b＜aB.b＜c＜a
C.a＜c＜bD.a＜b＜c
解析 解法一 易知a，b，c均大于零.ae5＝5ea⇒e55＝eaa，be4＝4eb⇒e44＝ebb，ce3＝3ec⇒e33＝ecc，所以设函数f（x）＝exx，则有f（5）＝f（a），
f（4）＝f（b），f（3）＝f（c），且f '（x）＝ex（x－1）x2，则易得f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，作出f（x）在（0，＋∞）上的大致图象，如图，因为a＜5，b＜4，c＜3，所以a＜b＜c.
解法二 由题知，a＜5，b＜4，c＜3，因为ae5＝5ea，所以两边同时取对数可得ln a＋5＝ln 5＋a，即lna－ln5a－5＝1，同理可得lnb－ln4b－4＝lnc－ln3c－3＝1，即点A（a，ln a）与点D（5，ln 5）连线的斜率k1＝1，点B（b，ln b）与点E（4，ln 4）连线的斜率k2＝1，点C（c，
ln c）与点F（3，ln 3）连线的斜率k3＝1.因为点A，B，C，D，E，F均在函数y＝ln x的图象上，且AD∥BE∥CF，所以作出对应的示意图如图所示，由图可得a＜b＜c.故选D.
学生用书·练习帮P268
1.[2023宁夏六盘山高级中学模拟]若f（x）满足对定义域内任意的x1，x2，都有f（x1）＋
f（x2）＝f（x1·x2），则称f（x）为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ D ）
A.f（x）＝2xB.f（x）＝（12）x
C.f（x）＝x2D.f（x）＝lg3x
解析 因为lg3x1＋lg3x2＝lg3x1x2，满足f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），所以f（x）＝lg3x是“好函数”，故选D.
2.[2024四川成都模拟]已知a＝lg0.70.3，b＝lg0.30.7，c＝0.5，则a，b，c的大小关系为（ D ）
A.a＜c＜bB.c＜b＜aC.a＜b＜cD.b＜c＜a
解析 依题意，a＝lg0.70.3＞＝2，b＝lg0.30.7＝1lg0.70.3＜12，而c＝0.5，所以b＜c＜a.故选D.
3.已知函数f（x）＝x＋1x－2，x∈（2，8），当x＝m时，f（x）取得最小值n.则在平面直角坐标系中，函数g（x）＝lg1m｜x＋n｜的图象是（ A ）
解析 ∵函数f（x）＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）·1x－2＋2＝4，x∈（2，8），当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时取等号，∴m＝3，n＝4.则函数g（x）＝lg13｜x＋4｜在（－4，
＋∞）上单调递减，在（－∞，－4）上单调递增，观察选项可知，选项A符合.故选A.
4.[2024河北石家庄市第十五中学模拟]已知函数f（x）＝lg（x2－ax＋12）在[－1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（ B ）
A.[6，＋∞）B.[6，7）
C.（－∞，－2]D.（－13，－2]
解析 由题意得，函数y＝x2－ax＋12在[－1，3]上单调递减，且在[－1，3]上x2－ax＋12＞0恒成立，所以a2≥3，32－3a+12>0，解得6≤a＜7，故a的取值范围是[6，7）.故选B.
5.[2024陕西咸阳模拟]已知a＝2－0.01，b＝lg510，c＝lg612，则a，b，c的大小关系为（ A ）
A.b＞c＞aB.b＞a＞c
C.c＞b＞aD.c＞a＞b
解析 a＝2－0.01∈（2－1，20）＝（12，1），b＝1＋lg52＞1，c＝1＋lg62＞1，且lg52＞lg62，故b＞c＞a.故选A.
6.[2023河南部分学校联考]设a＝lg23，b＝lg4x，c＝lg865，若a，b，c中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是（ A ）
A.（9，6523）B.（3，6513）
C.[9，6523]D.[3，6513]
解析 ∵a＝lg23＝lg827＜lg865＝c，∴a＜b＜c，∴lg23＜lg4x＜lg865，∴lg23＜lg2x12＜lg26513，∴37.[2023山东模拟]已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）单调递减，则不等式f（lg13（2x－5））＞f（lg38）的解集为（ C ）
A.{x｜52＜x＜4116}
B.{x｜x＞132}
C.{x｜52＜x＜4116或x＞132}
D.{x｜x＜52或4116＜x＜132}
解析 因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0]上单调递减，所以可将
f（lg13（2x－5））＞f（lg38）化为｜lg13（2x－5）｜＞｜lg38｜，即lg3（2x－5）＞lg38或lg3（2x－5）＜－lg38＝lg318，即2x－5＞8或0＜2x－5＜18，解得x＞132或52＜x＜4116.故选C.
8.[多选/2024甘肃省部分学校质量检测]若（a，b）（a＞0，a≠1）为函数y＝lg2x图象上的一点，则下列选项正确的是（ ABC ）
A.（b，a）为函数y＝2x图象上的点
B.（1a，b）为函数y＝lg12x图象上的点
C.（－b，a）为函数y＝（12）x图象上的点
D.（a，2b）为函数y＝lg4x图象上的点
解析 ∵（a，b）（a＞0，a≠1）为函数y＝lg2x图象上的一点，
∴lg2a＝b，∴2b＝a，则（b，a）为函数y＝2x图象上的点，故A正确；∵lg2a＝b，∴lg121a＝－1－1lg2a＝b，则（1a，b）为函数y＝lg12x图象上的点，故B正确；∵2b＝a，
∴（12）－b＝2b＝a，则（－b，a）为函数y＝（12）x图象上的点，故C正确；∵lg2a＝b，∴lg4a＝12lg2a＝12b，故D错误.故选ABC.
9.[2023天津市汇文中学模拟]计算：（827）－23＋10lg3＋lg193－lg54·lg25＝ 3 .
解析 （827）－23＋10lg 3＋lg193－lg54·lg25＝[（23）3]－23＋3＋lg3-2312－2lg2lg5·lg5lg2＝
（23）－2＋3＋12－2lg33－2＝94＋3－14－2＝3.
10.[2024江苏省联考]已知函数f（x）＝2－lg2x，x≥1，4x，x<1，则f（f（12））＝ 1 .
解析 由函数f（x）＝2－lg2x，x≥1，4x，x<1，得f（f（12））＝f（2）＝1.
11.[2024北京市中关村中学模拟]声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足f（x）＝10×lgx1×10－12.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB.一般说话时，声音的等级约为60 dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 108 倍.
解析 由f（x）＝10×lgx1×10－12，即y＝10×lgx1×10－12可知，声音强度x＝10y10×10－12＝10－12+y10，设喷气式飞机起飞时声音强度与一般说话时声音强度分别为x1，x2，故强度之比x1x2＝10－12+1401010－12+6010＝108.
12.[2024贵州贵阳名校联考]已知函数f（x）＝lg2｜x－a｜＋1，且f（6＋x）＝f（2－x），则f（2）＝ 2 .
解析 由f（6＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）的图象关于直线x＝4对称，而函数
f（x）＝lg2｜x－a｜＋1的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，所以f（x）＝
lg2｜x－4｜＋1，所以f（2）＝lg2｜2－4｜＋1＝2.
13.[2023乌鲁木齐质监（一）]已知函数 f（x）＝ln2－x3+x，a＝lg23，b＝lg34，c＝lg58，则（ A ）
A.f（a）＜f（c）＜f（b）B.f（a）＜f（b）＜f（c）
C.f（c）＜f（a）＜f（b）D.f（c）＜f（b）＜f（a）
解析 f（x）＝ln2－x3+x＝ln（－1＋53+x），由2－x3+x＞0，得f（x）的定义域为{x｜－3＜x＜2}，由复合函数的单调性可得，f（x）在（－3，2）上单调递减.由bc＝lg34lg58＝lg4lg3lg8lg5＝2lg2lg53lg2lg3＝lg25lg27＜1，c＞1得b＜c.又9＞8，即32＞23，所以3＞232，lg23＞32，同理8＜532，lg58＜32，所以c＜a，于是b＜c＜a，再结合f（x）的单调性可得f（a）＜f（c）＜f（b），故选A.
14.[2024陕西模拟]已知函数f（x）＝（12）x，x≥1，f（x+1),x<1，则下列结论正确的是（ B ）
A.f（f（0））＝12B.f（f（1））＝24
C.f（f（lg23））＝22D.f（x）的值域为（0，1]
解析 对于选项A，f（0）＝f（1）＝12，f（f（0））＝f（12）＝f（32）＝（12）32＝（18）12＝24，故A错误；对于选项B，f（1）＝12，f（f（1））＝f（12）＝24，故B正确；对于选项C，因为lg23＞1，所以f（lg23）＝（12）lg23＝2lg213＝13，f（f（lg23））＝f（13）＝
f（43）＝（12）43≠22，故C错误；对于选项D，当x≥1时，f（x）＝（12）x∈（0，12]，当0≤x＜1时，1≤x＋1＜2，f（x）＝f（x＋1）＝（12）x＋1∈（14，12]，又当x＜0时，f（x）＝f（x＋1），所以当x＜0时，f（x）∈（14，12]，综上，函数f（x）的值域为（0，12]，故D错误.故选B.
15.[2024南昌市模拟]已知函数y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝2－x交点的横坐标分别为a，b，则（ D ）
A.a＞bB.a＋b＜2
C.ab＞1D.a2＋b2＞2
解析 易知y＝ex与y＝ln x互为反函数，对应的图象关于直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝2－x垂直，所以两函数的图象与直线y＝2－x的交点A，B关于直线y＝x对称.设直线y＝x与y＝2－x的交点为C，则C（1，1），∴a＋b＝2且a≠b.∴a2＋b22＞a＋b2＝1，即a2＋b2＞2.故选D.
16.[2024河南省六市部分学校联考]已知正数a，b，c∈（1，＋∞），且满足2a－1a－1＝2＋lg2a，3b－2b－1＝3＋lg3b，4c－3c－1＝4＋lg4c，则下列不等式成立的是（ B ）
A.c＜b＜aB.a＜b＜c
C.a＜c＜bD.c＜a＜b
解析 由2a－1a－1＝2＋lg2a，可得1a－1＝lg2a，由3b－2b－1＝3＋lg3b，可得1b－1＝lg3b，由4c－3c－1＝4＋lg4c，可得1c－1＝lg4c，易知y＝1x－1 （x＞1）和y＝lgmx （m＝2，3，4）的图象相交，
在同一平面直角坐标系中画出y＝lg2x，y＝lg3x，y＝lg4x与y＝1x－1 （x＞1）的图象如图.
根据图象可知a＜b＜c.故选B.
17.[2024合肥开学考试]定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，
＋∞），且x1≠x2都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞1，则不等式f（2lg2x）－f（x）＞lg2x2－x的解集为（ B ）
A.（1，2）B.（2，4）
C.（4，8）D.（8，16）
解析 根据题意：设x1＞x2，则f（x1）－f（x2）x1－x2＞1⇒f（x1）－f（x2）＞x1－x2⇒f（x1）－x1＞f（x2）－x2，可得函数h（x）＝f（x）－x在（0，＋∞）上单调递增.则f（2lg2x）－f（x）＞lg2x2－x⇒
f（lg2x2）－lg2x2＞f（x）－x⇒lg2x2＞x⇒lg2x2＞lg22x⇒x2＞2x，在同一坐标系中画出y＝x2与y＝2x的图象，如图.又x＞0，得2＜x＜4，则不等式的解集为（2，4），故选B.
18.[多选/2023重庆二调]若a，b，c都是正数，且2a＝3b＝6c，则（ BCD ）
A.1a＋1b＝2cB.1a＋1b＝1c
C.a＋b＞4cD.ab＞4c2
解析 令2a＝3b＝6c＝m，则a＝lg2m，b＝lg3m，c＝lg6m，∴1a＝lgm2，1b＝lg m3，1c＝lg m6，∴1a＋1b＝lgm2＋lgm3＝lgm6＝1c，A选项错误，B选项正确；a＋b＝（a＋b）（1a＋1b）c＝c（2＋ba＋ab）＞c（2＋2ba·ab）＝4c，（∵a≠b，∴等号无法取到）
C选项正确；1c＝1a＋1b＝a＋bab＞4cab，∴ab＞4c2，D选项正确.故选BCD.
19.[多选/2024云南省昆明市第一中学双基检测]设偶函数f（x）＝lga｜x－b｜在（－∞，0）上单调递增，则下列结论中正确的是（ BC ）
A.f（a＋2）＞f（b＋2）B.f（a＋2）＜f（b＋2）
C.f（a＋1）＞f（b－2）D.f（a＋1）＜f（b－2）
解析 因为函数f（x）为偶函数，所以b＝0.又偶函数f（x）＝lga｜x｜在（－∞，0）上单调递增，则0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，2＜a＋2＜3，且由函数f（x）为偶函数知
f（x）在（0，＋∞）上单调递减.对于选项A和B，因为a＋2＞2＝b＋2，所以f（a＋2）＜f（b＋2），故A错误，B正确；对于选项C和D，因为1＜a＋1＜2，b－2＝－2，所以
f（a＋1）＞f（2）＝f（－2）＝f（b－2），故C正确，D错误.故选BC.
20.[多选/2024黑龙江哈尔滨模拟]已知函数f（x）＝lg13（ax2－3ax＋2），则下列说法正确的是（ AC ）
A.若f（x）的值域为R，则a∈[89，＋∞）
B.若f（x）的定义域为R，则a∈（0，89）
C.若f（x）的最大值为0，则a＝49
D.若f（x）的最小值为1，则a＝2027
解析 选项A：f（x）的值域为R，说明函数y＝ax2－3ax＋2能取到所有大于0的数，当a＝0时，ax2－3ax＋2＝2，不满足；当a≠0时，a>0，Δ=9a2－8a≥0，解得a≥89，选项A正确.
选项B：当f（x）的定义域为R时，函数y＝ax2－3ax＋2＞0恒成立，当a＝0时，ax2－3ax＋2＝2恒成立；当a≠0时，a>0，Δ=9a2－8a<0，解得0＜a＜89，综上，a∈[0，89），选项B错误.
选项C：若f（x）的最大值为0，即y＝ax2－3ax＋2的最小值为1，故有a>0，8a－9a24a=1，解得a＝49，选项C正确.
选项D：若f（x）的最小值为1，即y＝ax2－3ax＋2的最大值为13，则有a<0，8a－9a24a＝13，无解，选项D错误.故选AC.
21.[多选/2024聊城模拟]对于两个均不等于1的正数m和n，定义：m*n＝min{lgmn，lgnm}，则下列结论正确的是（ BC ）
A.若a＞1，且3*a＝2*4，则a＝9
B.若a≥b≥c＞1，且a*bb*c＝c*a，则b＝c
C.若0＜a＜b＜c＜1，则a*b－a*c＝a*（bc）
D.若0＜a＜b＜c＜1，x＞y＞z＞0，则（ax*by）·（by*cz）＝2（ax*cz）
解析 选项A：当1＜a＜3时，lg3a＝lg42，即lg3a＝12，即a＝312＝3；当a＞3时，lga3＝lg42，即lga3＝12，即a＝9.综上，当a＞1时，a＝3或a＝9，则A错误.
选项B：由a*bb*c＝c*a及a≥b≥c＞1，得lgab＝lgbc·lgac，即lgblga＝lgclgb·lgclga，即lg2b＝lg2c，即lg b＝lg c或lg b＝－lg c，即b＝c或bc＝1.由b≥c＞1，得bc＞1，从而可得b＝c，则B正确.
选项C：若0＜a＜b＜c＜1，则a*b－a*c＝lgab－lgac＝lgabc，而由1＞bc＞b＞a＞0，得a*（bc）＝lgabc，所以a*b－a*c＝a*（bc）成立，则C正确.
选项D：由指数函数f（t）＝at（0＜a＜1）是减函数，且x＞y，可得ax＜ay.由幂函数h（x）＝xy（y＞0）在（0，＋∞）上单调递增，且a＜b，可得ay＜by，于是0＜ax＜by＜1，所以ax*by＝lgaxby＝yxlgab， 同理by*cz＝zylgbc，ax*cz＝zxlgac，所以（ax*by）·（by*cz）ax*cz＝yxlgab·zylgbczxlgac＝lgab·lgaclgablgac＝1，则D错误.故选BC.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y＝lgax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）.
对数的运算
2022浙江T7；2022天津T6；2021天津T7；2020全国卷ⅠT8
该讲命题热点为对数运算、对数函数的图象与性质的判断及应用，常与指数函数综合考查，且难度有上升趋势.在2025年备考过程中要熟练掌握对数的运算性质和换底公式；学会构造新函数，结合单调性比较大小；注意对函数图象的应用，注意区分对数函数图象和指数函数图象.
对数函数的图象及应用
2019浙江T6
对数函数的性质及应用
2021新高考卷ⅡT7；2021全国卷乙T12；2020全国卷ⅠT12；2020全国卷ⅡT11；2020全国卷ⅢT12；2019全国卷ⅠT3
性质
lga1＝⑥ 0 ，lgaa＝⑦ 1 ，algaN＝⑧ N （N＞0），其中a＞0，且a≠1.
运算
性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
（1）lga（M·N）＝⑨ lgaM＋lgaN ；
（2）lgaMN＝⑩ lgaM－lgaN ；
（3）lgaMn＝⑪ nlgaM ，lgaan＝⑫ n （n∈R）.
换底
公式
lgab＝⑬ lgcblgca （a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0）.
推论：（1）lgab·lgba＝⑭ 1 ；（2）lgambn＝nmlgab；（3）lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
函数
y＝lgax（a＞1）
y＝lgax（0＜a＜1）
图象
性质
定义域：⑮ （0，＋∞） .
值域：⑯ R .
图象过定点⑰ （1，0） ，即恒有lga1＝0.
当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0.
当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0.
在（0，＋∞）上单调递⑱ 增 .
在（0，＋∞）上单调递⑲ 减 .