备战2025年高考数学精品教案第二章函数第4讲幂函数、指数与指数函数（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考数学精品教案第二章函数第4讲幂函数、指数与指数函数（Word版附解析），共17页。

学生用书P029
1.幂函数
（1）幂函数的概念
一般地，函数① y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
（2）5种常见幂函数的图象与性质
规律总结
（1）幂函数y＝xα在第一象限的图象如图所示，可根据函数的定义域以及奇偶性判断幂函数在第二或第三象限的图象.
（2）在（0，1）上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴；在（1，＋∞）上，幂函数的指数越小，函数图象越接近x轴.
注意 幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，若与坐标轴有交点，则交点一定是原点.
2.指数与指数运算
（1）根式
a.（na）n＝⑫ a （n∈N*，且n＞1）.
b.nan＝a，n为奇数，｜a|,n为偶数.
（2）分数指数幂
a.amn＝⑬ nam （a＞0，m，n∈N*，且n＞1）.
b.a－mn＝1amn＝⑭ 1nam （a＞0，m，n∈N*，且n＞1）.
注意 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（3）有理数指数幂的运算性质
a.ar·as＝⑮ ar＋s （a＞0，r，s∈R）；aras＝⑯ ar－s （a＞0，r，s∈R）；
b.（ar）s＝⑰ ars （a＞0，r，s∈R）；
c.（ab）r＝⑱ arbr （a＞0，b＞0，r∈R）.
3.指数函数
（1）指数函数的概念
函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
（2）指数函数的图象和性质
注意 当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.
规律总结
1.指数函数的图象过点（0，1），（1，a），（－1，1a），依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.
2.函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象与y＝a－x的图象关于y轴对称，y＝ax的图象与y＝－ax的图象关于x轴对称，y＝ax的图象与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称.
3.如图，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为0＜c＜d＜1＜a＜b.
1.[2024江苏省南通市质量监测]化简：（π－4）2＋3（π－3）3＝（ A ）
A.1B.－1C.7－2πD.2π－7
解析 （π－4）2＋3（π－3）3＝｜π－4｜＋π－3＝4－π＋π－3＝1.故选A.
2.[多选]已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列说法正确的有（ BCD ）
A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数
C.当x＞1时，f（x）＞1D.当0＜x1＜x2时，f（x1）＋f（x2）2＜f（x1＋x22）
解析 因为幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），所以16α＝4，α＝12，所以f（x）＝x12＝x，由其图象可知，A错误，B正确；当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1，故C正确；由f（x）＝x的图象可知f（x1）＋f（x2）2＜f（x1＋x22），故D正确.故选BCD.
3.函数f（x）＝ax－1＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点 （1，3） .
4.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝－32.
学生用书P031
命题点1 幂函数的图象与性质
例1 （1）[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象.已知n分别取±2，±12四个值，与曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为（ A ）
A.2，12，－12，－2B.2，12，－2，－12
C.－12，－2，2，12D.－2，－12，12，2
解析 如图所示，作直线x＝2分别与曲线C1，C2，C3，C4相交，因为函数y＝2x为增函数，所以22＞212＞2－12＞2－2，所以交点由上到下对应的n值分别为2，12，－12，－2，由图可知，曲线C1，C2，C3，C4对应的n值分别为2，12，
－12，－2.故选A.
（2）[全国卷Ⅲ]已知a＝243，b＝425，c＝2513，则（ A ）
A.b＜a＜cB.a＜b＜c
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且幂函数y＝x13在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.故选A.
方法技巧
1.对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇偶性、图象经过的定点等.
2.比较幂值大小的方法
（1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较.
（2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较.
（3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断.
训练1 （1）[2024陕西省汉中市名校联考]已知幂函数f（x）＝（m2＋m－1）xm的图象与坐标轴没有公共点，则f（2）＝（ A ）
A.12B.2C.2D.22
解析 因为f（x）为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，又f（x）的图象与坐标轴无公共点，故m＜0，所以m＝－2，故f（x）＝x－2，所以f（2）＝（2）-2＝12.故选A.
（2）若（2m＋1）12＞（m2＋m－1）12，则实数m的取值范围是 [5－12，2） .
解析 因为函数y＝x12的定义域为[0，＋∞），且在定义域内单调递增，所以2m+1≥0，m2＋m－1≥0，2m+1>m2＋m－1，解得5－12≤m＜2，所以实数m的取值范围为[5－12，2）.
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
（1）（－338）－23＋（0.002）－12－10×（5－2）－1＋（2－3）0＝ －1679 ；
解析 原式＝（－1）－23×（338）－23＋（1500）－12－105－2＋1＝（278）－23＋50012－10×（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.
（2）若x12＋x－12＝3，则 x32＋x－32－3x2＋x－2－2＝ 13 .
解析 由x12＋x－12＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，
∴x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45.
由（x12＋x－12）3＝33，得x32＋3x12＋3x－12＋x－32＝27.
∴x32＋x－32＝18，∴x32＋x－32－3＝15.
∴x32＋x－32－3x2＋x－2－2＝13.
方法技巧
指数幂的运算技巧
训练2 （1）[2024重庆八中模拟]已知10α＝2－12，10β＝3213，则1034β＋12α＝ 2 .
解析 1034β＋12α＝（10β）34×（10α）12＝（3213）34×（2－12）12＝25×13×34＋（－12）×12＝2.
（2）a3b23ab2（a14b12）4a－13b13＝ ab （a＞0，b＞0）.
解析 原式＝（a3b2a13b23）12ab2a－13b13＝a32＋16－1+13·b1+13－2－13＝ab.
命题点3 指数函数的图象及应用
例3 （1）已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是（ B ）
AB C D
解析 由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0，0＜a＜1.函数y＝ax＋k的图象可以看作是把y＝ax的图象向右平移－k个单位长度得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数的图象与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，可知选B.
（2）[2024上海奉贤致远高级中学模拟]已知a∈R，若关于x的方程｜3x－1｜－2a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是 （0，12） .
解析 关于x的方程｜3x－1｜－2a＝0有两个不相等的实根，即曲线y＝
｜3x－1｜与直线y＝2a的图象有两个交点，作出y＝｜3x－1｜与y＝2a的图象，如图，易得a的取值范围是（0，12）.
命题拓展
已知a∈R，若关于x的方程｜ax－1｜－2a＝0有两个不等的实根，则a的取值范围是 （0，12） .
解析 关于x的方程｜ax－1｜－2a＝0有两个不等的实根，即曲线y＝｜ax－1｜与直线y＝2a的图象有两个交点，y＝｜ax－1｜的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；当0＜a＜1时，如图2，要使两个函数图象有两个公共点，则0＜2a＜1，得0＜a＜12.
图1图2
综上可知，a的取值范围是（0，12）.
方法技巧
与指数函数有关的图象问题的求解策略
注意 在指数函数图象变换时，注意特殊点（如定点）、特殊线（如渐近线）的变化.
训练3 [2024重庆市巴蜀中学适应性考试]已知函数f（x）＝ax－1－2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m＋xn的图象不经过（ D ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 ∵a0＝1，∴f（x）＝ax－1－2的图象恒过定点（1，－1），∴m＝1，n＝－1，
∴g（x）＝1＋1x，其图象不经过第四象限，故选D.
命题点4 指数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例4 （1）[2023天津高考]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（ D ）
A.c＞a＞bB.c＞b＞a
C.a＞b＞cD.b＞a＞c
解析 因为函数f（x）＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1；因为函数g（x）＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上，b＞a＞c.故选D.
（2）[2023全国卷甲]已知函数f（x）＝e－（x－1）2.记a＝f（22），b＝f（32），c＝
f（62），则（ A ）
A.b＞c＞aB.b＞a＞c
C.c＞b＞aD.c＞a＞b
解析 f（x）＝e－（x－1）2是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知
f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（62）＝f（2－62），又22＜2－62＜32＜1，所以f（22）＜f（2－62）＜f（32），所以b＞c＞a，故选A.
方法技巧
比较指数幂大小的常用方法
角度2 解简单的指数方程或不等式
例5 [2024北京市十一学校模拟]若不等式3ax－1＜（13）ax2恒成立，则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－4，0）B.（－4，0]
C.（0，4）D.[0，4）
解析 因为不等式3ax－1＜（13）ax2恒成立，即3ax－1＜3－ax2恒成立，所以ax－1＜－ax2恒成立，即ax2＋ax－1＜0恒成立，
当a＝0时，－1＜0恒成立，符合题意；
当a≠0时，则a<0，Δ＝a2+4a<0，解得－4＜a＜0.
综上可得－4＜a≤0，即实数a的取值范围是（－4，0].故选B.
方法技巧
解简单的指数方程或不等式问题的思路
（1）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）.
（2）①af（x）＞ag（x）⇔a>1，f（x）＞g（x）或0②形如ax＞b的不等式，一般先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解.
角度3 指数函数性质的应用
例6 已知函数f（x）＝（13）ax2－4x+3.
（1）若a＝－1，则f（x）的单调递增区间为（－2，＋∞），单调递减区间为（－∞，
－2）；
（2）若f（x）有最大值3，则a的值为 1 ；
（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），则a的值为 0 .
解析 （1）当a＝－1时，f（x）＝（13）－x2－4x+3.令u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，则该函数在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减.因为y＝（13）u在R上单调递减，所以函数f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）.
（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝（13）h（x），因为f（x）有最大值3，所以h（x）有最小值－1，因此必有a>0，12a－164a＝－1，解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1.
（3）令g（x）＝ax2－4x＋3，由f（x）的值域是（0，＋∞）知，g（x）＝ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
方法技巧
1.形如y＝af（x）的函数的单调性：若a＞1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝af（x）的单调递增（减）区间；若0＜a＜1，则函数 f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝af（x）的单调递减（增）区间.
2.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路
一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解.
注意 当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论.
训练4 （1）[2024辽宁省名校联考]已知函数f（x）＝a1－ax（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围为（ C ）
A.（0，12]B.（1，＋∞）C.（0，13]D.[13，12]
解析 由a＞0且a≠1，得y＝1－ax在[2，3]上单调递减，由复合函数单调性法则得a∈（0，1），由1－3a≥0，解得a≤13，故a∈（0，13].故选C.
（2）[2024浙江温州联考]如果1＜2a＜2b＜2，那么（ C ）
A.aa＜ab＜baB.aa＜ba＜ab
C.ab＜aa＜baD.ab＜ba＜aa
解析 因为函数y＝2x在R上单调递增，20＝1＜2a＜2b＜2＝21，所以0＜a＜b＜1.因为函数y＝ax（0＜a＜1）在R上单调递减，所以aa＞ab.因为函数y＝xa（0＜a＜1）在（0，＋∞）上单调递增，所以aa＜ba，所以ab＜aa＜ba.故选C.
（3）[2024黑龙江省肇东市第四中学模拟]已知函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称，若f（2x－1）＞32，则x的取值范围为（ B ）
A.（－∞，1）B.（1，＋∞）C.[3，＋∞）D.（－∞，－2）
解析 因为函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称且定义域为R，所以f（0）＝1＋a＝0，解得a＝－1，所以f（x）＝2x－2－x.因为y＝2x在R上单调递增，y＝2－x在R上单调递减，所以f（x）＝2x－2－x在R上单调递增，由f（1）＝32，f（2x－1）＞32，得f（2x－1）＞f（1），所以2x－1＞1，解得x＞1.故选B.
1.[命题点1]某同学研究了一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在（－∞，0）上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ B ）
A.f（x）＝x－1B.f（x）＝x－2
C.f（x）＝x3D.f（x）＝x13
解析 f（x）＝x－1只满足性质②，f（x）＝x3只满足性质③，f（x）＝x13只满足性质③，
f（x）＝x－2是偶函数，在（－∞，0）上是增函数，其值域是{y｜y＞0}.故选B.
2.[命题点1]若（a+1）－13＜（3－2a）－13，则实数a的取值范围是 （－∞，－1）∪（23，32） .
解析 由幂函数y＝x－13的图象（图略）可知，不等式（a+1）－13＜（3－2a）－13等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或23＜a＜32.
3.[命题点2]（a23b12）·（－3a12b13）÷（13a16b56）＝ －9a .
解析 （a23b12）·（－3a12b13）÷（13a16b56）＝－9a23＋12－16·b12＋13－56＝－9a.
4.[命题点3]若函数f（x）＝（4mx－n）2的大致图象如图所示，则（ B ）
A.m＞0，0＜n＜1
B.m＞0，n＞1
C.m＜0，0＜n＜1
D.m＜0，n＞1
解析 令f（x）＝0，即4mx＝n，则mx＝lg4n，即x＝1mlg4n，
由图可知，1mlg4n＞0，
故当m＞0时，n＞1，当m＜0时，0＜n＜1，排除A，D；
当m＜0时，易知y＝4mx是减函数，
且当x→＋∞时，y→0，则f（x）→n2，易知C不符合题意.故选B.
5.[命题点4角度2]若2x2+1≤（14）x－2，则函数y＝2x的值域是（ B ）
A.[18，2）B.[18，2]
C.（－∞，18）D.[2，＋∞）
解析 因为2x2+1≤（14）x－2＝24－2x，
所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，
所以函数y＝2x的值域是[2－3，2]，即[18，2].
故选B.
6.[命题点4角度3/2024云南省昆明市第二十四中学模拟]已知奇函数f（x）＝aex－1aex在R上为增函数，则a＝ （ A ）
A.1B.－1C.2D.－2
解析 因为f（x）在R上为奇函数，则f（0）＝0，即a－1a＝0，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，f（x）＝ex－1ex，定义域为R，因为函数y＝ex和y＝－1ex在R上都
为增函数，所以f（x）在R上为增函数，且f（－x）＝e－x－1e－x＝1ex－ex＝－f（x），故a＝1符合题意；当a＝－1时，f（x）＝－ex＋1ex，在R上为减函数，不合题意，所以a＝1.故选A.
7.[命题点4/2024辽宁期中]已知函数f（x）＝ex－1ex+1，若对任意的正数a，b，满足f（a）＋
f（2b－2）＝0，则2a＋1b的最小值为 4 .
解析 因为对任意的x∈R，ex＋1＞0，
所以函数f（x）＝ex－1ex+1的定义域为R.
因为f（－x）＝e－x－1e－x+1＝1－ex1+ex＝－f（x），
所以函数f（x）为奇函数.
因为f（x）＝ex+1－2ex+1＝1－2ex+1，且函数y＝ex＋1在R上为增函数，所以函数f（x）＝ex－1ex+1在R上为增函数.
若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则f（a）＝－f（2b－2）＝f（2－2b），所以a＝2－2b，即a＋2b＝2，
所以2a＋1b＝12（a＋2b）（2a＋1b）＝12（4＋ab＋4ba）≥12（4＋2ab·4ba）＝4，当且仅当a=1，b＝12时，等号成立，故2a＋1b的最小值为4.
学生用书·练习帮P267
1.[北京高考]已知函数f（x）＝3x－（13）x，则 f（x）（ A ）
A.是奇函数，且在R上是增函数
B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数
D.是偶函数，且在R上是减函数
解析 因为f（x）＝3x－（13）x，且定义域为R，所以f（－x）＝3－x－（13）－x＝（13）x－3x＝－[3x－（13）x]＝－f（x），即函数f（x）是奇函数.又y＝3x在R上是增函数，y＝（13）x在R上是减函数，所以f（x）＝3x－（13）x在R上是增函数.故选A.
2.[2024吉林省实验中学模拟]若a＝1.44 2，b＝1.2 3，c＝3 2，则（ B ）
A.a＞b＞cB.c＞a＞b
C.c＞b＞aD.a＞c＞b
解析 1.44＜3，故1.44 2＜3 2，即c＞ 2＝（1.22）2＝1.222＞1.2 3，即a＞b.故c＞a＞b.故选B.
3.[2024山东青岛模拟]函数f（x）＝ax2＋2x＋1与g（x）＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为（ B ）
AB
CD
解析 对于A，抛物线开口向下，所以a＜0，不妨取a＝－1，此时g（x）＝1x，符合；对于B，抛物线开口向上，所以a＞0，此时g（x）＝xa在（0，＋∞）上单调递增，不符合；对于C，抛物线开口向上，所以a＞0，不妨取a＝12，此时g（x）＝x，符合；对于D，抛物线开口向上，所以a＞0，不妨取a＝2，则g（x）＝x2，符合.故选B.
4.设函数f（x）＝（12）x－7，x<0，x，x≥0，若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（ C ）
A.（－∞，－3） B.（1，＋∞）
C.（－3，1）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）
解析 当a＜0时，不等式f（a）＜1可化为（12）a－7＜1，即（12）a＜8，即（12）a＜
（12）－3，因为0＜12＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f（a）＜1可化为a＜1，即0≤a＜1.故a的取值范围是（－3，1）.故选C.
5.[2024安徽江淮十校联考]已知幂函数f（x）＝（m2－5m＋5）xm－2是R上的偶函数，且函数g（x）＝f（x）－（2a－6）x在区间[1，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－∞，4）B.（－∞，4]
C.[6，＋∞）D.（－∞，4]∪[6，＋∞）
解析 因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋5）xm－2是R上的偶函数，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4.当m＝1时，f（x）＝x－1，该函数是定义域为{x｜x≠0}的奇函数，不符合题意；当m＝4时，f（x）＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意，所以f（x）＝x2，则g（x）＝x2－（2a－6）x，其图象的对称轴为x＝a－3，因为g（x）在区间[1，3]上单调递增，则a－3≤1，解得a≤4.故选B.
6.[多选]设函数f（x）＝2x ，对于任意的x1，x2（x1≠x2），下列结论中正确的是（ ACD ）
A.f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）
B.f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）
C.f（x1）－f（x2）x1－x2＞0
D.f（x1＋x22）＜f（x1）＋f（x2）2
解析 2x1＋x2＝2x1·2x2，所以A正确；2x1·x2≠2x1＋2x2，所以B不正确；函数f（x）＝2x在R上是增函数，若x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），则f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，若x1＜x2，则
f（x1）＜f（x2），则 f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，所以C正确；f（x1＋x22）＜f（x1）＋f（x2）2说明x＝x1＋x22时的函数值小于点（x1，f（x1））与（x2，f（x2））的中点的纵坐标，通过f（x）＝
2x的图象可知，满足条件，所以D正确.
7.已知幂函数f（x）＝xp2－2p－3（p∈N*）的图象关于y轴对称，且f（x）在（0，＋∞）上单调递减，实数a满足（a2－1）p3＜（3a＋3）p3，则a的取值范围是 （－1，4） .
解析 ∵幂函数f（x）＝xp2－2p－3（p∈N*）在（0，＋∞）上单调递减，∴p2－2p－3＜0，解得－1＜p＜3.∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.当p＝1时，f（x）＝x－4为偶函数，满足条件.当p＝2时，f（x）＝x－3为奇函数，不满足条件.则p＝1.不等式（a2－1）p3＜（3a＋3）p3，即（a2－1）13＜（3a＋3）13，∵y＝x13在R上为增函数，∴a2－1＜3a＋3，解得－1＜a＜4.
8.[2024河南南阳模拟]已知函数f（x）＝｜3x－1｜，a＜b＜c，且f（a）＞f（b）＞
f（c），则下列结论中一定成立的是（ D ）
A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b≥0，c＞0
C.3－a＜3cD.3a＋3c＜2
解析 作出f（x）的图象，如图所示.因为a＜b＜c，且f（a）＞f（b）＞
f（c），所以a＜b＜0，且存在b'＞0，使f（b）＝f（b'），则b＜c＜b'，即b＜0＜c＜b'或b＜c＜0＜b'，故排除A，B；取a＝－1，c＝0，可排除C；当c＞0时，f（a）＝1－3a＞f（c）＝3c－1，所以3a＋3c＜2，当c≤0时，3a＜1，3c≤1，则3a＋3c＜2，故D一定成立.
9.[2024广东省深圳市人大附中模拟]已知α∈（π4,π2）,a＝（cs α）sin α，b＝
（sin α）cs α，c＝（cs α）cs α，则（ A ）
A.b＞c＞aB.c＞b＞a
C.c＞a＞bD.a＞b＞c
解析 已知α∈（π4，π2），则0＜cs α＜sin α＜1，因为y＝（cs α）x是减函数，所以c＝（cs α）cs α＞（cs α）sin α＝a；因为幂函数y＝xcs α在（0，1）上是单调递增的，所以c＝（cs α）cs α＜（sin α）cs α＝b，故b＞c＞a.故选A.
10.[2024广西南宁三中模拟]设函数f（x）＝－2x＋2－x（x>0),－x3（x≤0),若a＝ln 2，b＝30.2，c＝lg0.32，则（ D ）
A.f（a）＞f（b）＞f（c）B.f（b）＞f（a）＞f（c）
C.f（a）＞f（c）＞f（b）D.f（c）＞f（a）＞f（b）
解析 ∵函数f（x）＝－2x＋2－x（x>0),－x3（x≤0),
∴当x＞0时，由y＝2－x和y＝－2x在定义域上单调递减，得f（x）＝－2x＋2－x在（0，
＋∞）上单调递减，当x≤0时，f（x）＝－x3单调递减，
又－20＋2－0＝－03＝0，∴函数f（x）＝－2x＋2－x（x>0),－x3（x≤0）在R上单调递减，∵0＜a＝
ln 2＜1，b＝30.2＞30＝1，c＝lg0.32＜0，∴c＜a＜b，∴f（c）＞f（a）＞f（b）.故选D.
11.[多选/2023湖南益阳一中检测改编]已知函数f（x）＝2x－12x+1，则下列说法正确的是 （ AC ）
A.f（x）为奇函数B.f（x）为减函数
C.f（x）有且只有一个零点D.f（x）的值域为[－1，1]
解析 ∵函数f（x）＝2x－12x+1，x∈R，∴f（－x）＝2－x－12－x+1＝－2x－12x+1＝－f（x），∴f（x）为奇函数，故A正确；∵f（x）＝2x－12x+1＝1－22x+1，且y＝2x＋1在R上单调递增，∴f（x）＝1－22x+1在R上为增函数，故B错误；令f（x）＝0，则2x－1＝0，得到x＝0，∴f（x）有且只有一个零点，故C正确；∵f（x）在R上为增函数，令y＝2x－12x+1，则2x＝1+y1－y，∵2x＞0，∴1+y1－y＞0，即（1＋y）（y－1）＜0，解得－1＜y＜1，∴f（x）∈（－1，1），故D错误.故选AC.
12.[情境创新/2024重庆统考]数学家柯布和经济学家保罗·道格拉斯共同提出一个生产函数理想模型：Q＝AKαL1－α，其中Q表示收益（产值），K表示资本投入，L表示劳动投入；A为一个正值常数，可以解释为技术的作用；α∈（0，1），表示资本投入在产值中占有的份额，1－α表示劳动投入在产值中占有的份额.经过实际数据的检验，形成更一般的关系：Q＝AKα1Lα2，α1∈（0，1），α2∈（0，1），则（ A ）
A.若α1＝0.6，α2＝0.5，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍
B.若α1＝0.5，α2＝0.5，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍
C.若α1＝0.4，α2＝0.6，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍
D.若α1＝0.5，α2＝0.6，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍
解析 若α1＝0.6，α2＝0.5，则收益Q1＝AK0.6L0.5，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝
A（2K）0.6（2L）0.5＝＝21.1Q1，收益为原来的21.1倍，即收益增加多于一倍，故A正确；
若α1＝0.5，α2＝0.5，则收益Q1＝AK0.5L0.5，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.5
·（2L）0.5＝2AK0.5L0.5＝2Q1，收益为原来的2倍，故B错误；
若α1＝0.4，α2＝0.6，则收益Q1＝AK0.4L0.6，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.4
·（2L）0.6＝2AK0.4L0.6＝2Q1，收益为原来的2倍，故C错误；
若α1＝0.5，α2＝0.6，则收益Q1＝AK0.5L0.6，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.5
·（2L）0.6＝＝21.1Q1，收益为原来的21.1倍，收益增加多于一倍，故D错误.故选A.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.
2.通过对有理数指数幂amn（a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0）、实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
3.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
4.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
幂函数的图象与性质
该讲命题热点为指数函数的图象应用、性质判断，比较大小（常运用指、对、幂函数的性质或中间值比较大小，有时需要构造函数，借助函数单调性比较大小）.题型以选择题为主，难度中等.2025年高考备考时，应重点关注指数函数的图象与性质的灵活运用.
指数幂的运算
指数函数的图象及应用
2019浙江T6
指数函数的性质及应用
2023新高考卷ⅠT4；2023全国卷甲T11；2023天津T3；2020全国卷ⅡT12；2020天津T6；2019全国卷ⅠT3
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
定义域
R
R
R
② {x｜x≥0}
③ {x｜x≠0}
值域
R
④ {y｜y≥0}
R
{y｜y≥0}
⑤ {y｜y≠0}
奇偶性
奇函数
⑥ 偶函数
奇函数
非奇非偶函数
⑦ 奇函数
单调性
在R上单
调递增
在（－∞，0）上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增
⑧ 在R上
单调递增
⑨ 在（0，＋∞）上单调递增
⑩ 在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减
图象
过定点
⑪ （1，1）
函数
y＝ax（a＞1）
y＝ax（0＜a＜1）
图象
性质
函数的定义域为R；值域为⑲ （0，＋∞） .
函数图象过定点⑳ （0，1） ，即当x＝0时，y＝1.
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.
函数在R上单调递㉑ 增 .
函数在R上单调递㉒ 减 .
运算
顺序
①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最后加减；③底数是负数的先确定符号.
运算基
本原则
①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数.
数形
结合
指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解.
变换
作图
对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.
单调
性法
不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底.
取中间
值法
不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是1）比较大小，然后得出大小关系.
数形结
合法
根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小.