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备战2025年高考数学精品教案第二章函数第1讲函数的概念及其表示(Word版附解析)
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学生用书P018
1.函数的概念及表示
注意 (1)与x轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点;(2)解决函数问题时,优先考虑定义域.
常用结论
求函数的定义域时常用的结论
(1)分式型1f(x)要满足f(x)≠0;(2)偶次根式型2nf(x)(n∈N*)要满足f(x)≥0;(3)[f(x)]0要满足f(x)≠0;(4)对数型lgaf(x)(a>0,且a≠1)要满足
f(x)>0;(5)正切型tan f(x)要满足f(x)≠π2+kπ,k∈Z.
2.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
注意 (1)分段函数虽由几个部分构成,但它表示的是一个函数;(2)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域是各段函数值域的并集.
1.下列f(x)与g(x)表示同一个函数的是( B )
A.f(x)=x2-1 与g(x)=x-1·x+1 B.f(x)=x与g(x)=x3+xx2+1
C.f(x)=x与g(x)=(x)2D.f(x)=x2 与g(x)=3x3
2.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( D )
A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=1x
3.[教材改编]已知函数f(x)=x2-1,x≤1,1x-1,x>1,则f(f(-2))=( B )
A.8B.12C.-34D.-109
解析 因为f(x)=x2-1,x≤1,1x-1,x>1,所以f(-2)=(-2)2-1=3,所以
f(f(-2))=f(3)=13-1=12,故选B.
4.已知函数f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5},则函数f(x)的值域为 {-1,1,3,5,7} .
学生用书P019
命题点1 求函数的定义域
例1 (1)[2022北京高考]函数f(x)=1x+1-x的定义域是 (-∞,0)∪(0,1] .
解析 因为f(x)=1x+1-x,所以x≠0,1-x≥0,解得x∈(-∞,0)∪(0,1].
(2)若函数f(1-2x)的定义域为[-1,2],则函数f(x)的定义域为 [-3,3] .
解析 因为函数f(1-2x)的定义域为[-1,2],所以-1≤x≤2,所以-3≤1-2x≤3.所以函数f(x)的定义域为[-3,3].
命题拓展
若函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数f(1-2x)的定义域为 [-12,1] .
解析 由-1≤1-2x≤2,得-12≤x≤1,所以函数f(1-2x)的定义域为[-12,1].
方法技巧
1.求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式,构造使解析式有意义的不等式(组),求解不等式(组)即可;对实际问题,既要使函数解析式有意义,又要使实际问题有意义.
2.求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
注意 无论函数的形式如何,定义域均是指其中的自变量x的取值集合.
训练1 (1)[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则函数y=f(2x+1)x+1的定义域是( A )
A.[-32,-1)∪(-1,1]
B.[-3,-1)∪(-1,7]
C.(-1,7]
D.[-32,-1)
解析 因为函数y=f(x)的定义域是[-2,3],所以-2≤2x+1≤3,且x+1≠0,解得x∈[-32,-1)∪(-1,1].故选A.
(2) [2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f(x)=3x-2+(x-4)0的定义域为 [23,4)∪(4,+∞) .
解析 要使函数f(x)=3x-2+(x-4)0有意义,则有3x-2≥0,x-4≠0,解得x≥23且x≠4,
所以函数f(x)=3x-2+(x-4)0的定义域为[23,4)∪(4,+∞).
命题点2 求函数的解析式
例2 (1)[2024河南省内乡高中模拟]已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=16x-25,则f(x)= 4x-5或-4x+253 .
解析 设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-25,∴k2=16,kb+b=-25,∴k=4,b=-5或k=-4,b=253,∴f(x)=4x-5或f(x)=-4x+253.
(2)已知f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x-1,则f(x)= 2x-1x-13 .
解析 已知2f(x)+f(1x)=3x-1 ①,
以1x代替①中的x(x≠0),得2f(1x)+f(x)=3x-1 ②,
①×2-②,得3f(x)=6x-3x-1,故f(x)=2x-1x-13.
方法技巧
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法:若已知函数类型(如一次函数、二次函数等),则可用待定系数法求解.
(2)换元法:若已知复合函数f(g(x))的解析式求解函数f(x)的解析式,可令
g(x)=t,解出x,然后代入f(g(x))中即可求得f(t),从而求得f(x).此时要注意新元的取值范围.
(3)配凑法:配凑法是将函数f(g(x))的解析式配凑成关于g(x)的形式,进而求出函数f(x)的解析式.
(4)构造方程组法(消元法):若已知f(x)与f(1x),f(-x)等的表达式,则可通过赋值(如令x为1x,-x等)构造出另一个等式,通过解方程组求出f(x).
注意 求函数解析式时,若定义域不是R,一定要注明函数定义域.
训练2 (1)已知f(x2+1x2)=x4+1x4,则f(x)的解析式为 f(x)=x2-2,x∈[2,
+∞).
解析 因为f(x2+1x2)=(x2+1x2)2-2,所以f(x)=x2-2,x∈[2,+∞).
(2)[2024安徽淮南模拟]已知f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,则f(x)= x2-2x+1 .
解析 因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则有a(x+1)2+
b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2x2-4x+4,即2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4,所以2a=2,2b=-4,2a+2c=4,所以a=1,b=-2,c=1,所以f(x)=x2-2x+1.
(3)[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知f(x)满足3f(x)+2f(1-x)=4x,则
f(x)的解析式为 f(x)=4x-85 .
解析 3f(x)+2f(1-x)=4x ①,用1-x代替①中的x可得3f(1-x)+2f(x)=
4(1-x) ②,由3×①-2×②可得f(x)=4x-85.
命题点3 分段函数
角度1 分段函数的求值(求参)问题
例3 (1)[山东高考]设f(x)=x,0
解析 作出f(x)的图象,如图所示,因为a<a+1,所以要使f(a)=f(a+1),则有a=2(a+1-1),0<a<1,所以解得a=14,所以f(1a)=f(4)=6.
(2)[2022浙江高考]已知函数f(x)=-x2+2,x≤1,x+1x-1,x>1,则f(f(12))= 3728 ;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是 3+3 .
解析 由题意知f(12)=-(12)2+2=74,则f(f(12))=f(74)=74+174-1=74+47-1=3728.
作出函数f(x)的大致图象,如图所示,
结合图象,令-x2+2=1,解得x=±1;令x+1x-1=3,解得x=2±3,又x>1,所以x=2+3.
所以(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.
角度2 分段函数的解不等式问题
例4 [全国卷Ⅰ]设函数f(x)=2-x,x≤0,1,x>0,则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是( D )
A.(-∞,-1]B.(0,+∞)
C.(-1,0)D.(-∞,0)
解析 解法一 当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥
f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使
f(x+1)<f(2x),则需x+1<0,2x<0,2x<x+1或x+1≥0,2x<0,所以x<0,故选D.
解法二 当x=-12时,f(x+1)=f(12)=1,f(2x)=f(-1)=2-(-1)=2,满足
f(x+1)<f(2x),排除A,B;当x=-1时,f(x+1)=f(0)=20=1,f(2x)=
f(-2)=22=4,满足f(x+1)<f(2x),排除C.故选D.
方法技巧
1.解分段函数的求值问题的思路:一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式求解,当出现f(f(a))形式时,一般由内向外逐层求值.
2.解分段函数的解不等式问题的思路:(1)若图象易画,可画出函数图象,数形结合求解;(2)根据分段函数的不同段分类讨论,最后取各段结果的并集.
注意 解得值或范围后,要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.
训练3 (1)[2024河南郑州外国语模拟]已知实数a<0,函数f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥1,若f(1-a)=f(1+a),则a的值为( A )
A.-34B.-32C.-35D.-1
解析 因为a<0,所以1-a>1,1+a<1.因为f(1-a)=f(1+a),所以-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-34.故选A.
(2)[2024四川达州外国语模拟]已知函数f(x)=ex-1,x≤2,2f(x-2),x>2,则f(7)= 8 .
解析 由题意得f(7)=2f(5)=2×2f(3)=4×2f(1)=8e1-1=8.
(3)[2023江苏南通模拟]已知函数f(x)=max{1-x,2x},其中max{a,b}表示a,b中的较大者.则不等式f(x)>4的解集为 (-∞,-3)∪(2,+∞) .
解析 作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知f(x)=1-x,x≤0,2x,x>0.当x≤0时,由1-x>4,得x<-3.当x>0时,由2x>4,得x>2,所以f(x)>4的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).
1.[命题点1/2023黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学模拟]函数 f(x)=2x1-x+-lg3(1-2x)的定义域是( A )
A.[0,12)B.(-∞,12)
C.(-∞,12]D.(-∞,1)
解析 由题意得1-x>0,-lg3(1-2x)≥0,1-2x>0,解得0≤x<12,所以函数f(x)的定义域是[0,12),故选A.
2.[命题点2]定义在(-1,1)上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则
f(x)= 23lg(x+1)+13lg(1-x),x∈(-1,1) .
解析 当x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1) ①.
以-x代替x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1) ②.
由①②消去f(-x)得,f(x)=23lg(x+1)+13lg(1-x),x∈(-1,1).
3.[命题点3角度1]设函数f(x)=2-x,x≤1,x2,x>1,则满足2f(f(a))=f(a)的a的取值范围是( D )
A.(-∞,0]B.[0,2]
C.[2,+∞)D.(-∞,0]∪[2,+∞)
解析 作出f(x)的图象(图略),可得f(x)的最小值为12,令t=f(a),则t≥12,考虑f(t)=t2的解,作出y=f(t)与y=t2在[12,+∞)上的图象,如图1中实线所示,由图可知,当t≥1时,f(t)=t2,故t≥1.
下面考虑f(a)≥1的解集,作出y=f(a)与y=1的图象如图2所示,由图可得a≤0或a≥2.故选D.
图1图2
4.[命题点3角度2/2023山东济南模拟]已知函数f(x)=-x2+2mx-m2,x≤m,x-m,x>m,若
f(a2-4)>f(3a),则实数a的取值范围是( B )
A.(-1,4)B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-4,1)D.(-∞,-4)∪(1,+∞)
解析 由题意知f(x)=-(x-m)2,x≤m,x-m,x>m,易知函数f(x)在(m,+∞),
(-∞,m]上单调递增,且m-m=-(m-m)2,所以函数f(x)在R上单调递增.则由
f(a2-4)>f(3a),得a2-4>3a,解得a>4或a<-1,所以实数a的取值范围是
(-∞,-1)∪(4,+∞),故选B.
学生用书·练习帮P264
1.函数f(x)=3x-1+1ln(2-x)的定义域为( C )
A.[13,1)∪(1,+∞)B.[13,2)
C.[13,1)∪(1,2)D.(0,2)
解析 要使函数f(x)=3x-1+1ln(2-x)有意义,则3x-1≥0,2-x>0,2-x≠1,解得x≥13,x<2,x≠1,故函数的定义域为[13,1)∪(1,2).故选C.
2.下列各组函数表示相同函数的是( C )
A.f(x)=x2和g(x)=(x)2
B.f(x)=1和g(x)=x0
C.f(x)=|x|和g(x)=x,x≥0,-x,x<0
D.f(x)=eln x和g(x)=lg 10x
解析 对于选项A, f(x)=x2=|x|的定义域为R,g(x)=(x)2=x的定义域为[0,+∞),两个函数的定义域不相同,不是相同函数;对于选项B,f(x)=1的定义域为R,g(x)=x0=1的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不是相同函数;对于选项C,f(x)=|x|=x,x≥0,-x,x<0,函数f(x),g(x)的定义域都是R,且对应法则相同,是相同函数;对于选项D,f(x)=eln x的定义域为(0,+∞),g(x)=
lg 10x的定义域为R,两个函数的定义域不相同,不是相同函数.故选C.
3.[2023重庆模拟]已知函数f(x+1)=x+2x,则f(x)的解析式为( C )
A.f(x)=x2-1
B.f(x)=x2-1,x∈(1,+∞)
C.f(x)=x2-1,x∈[1,+∞)
D.f(x)=x2-1,x∈[0,+∞)
解析 解法一(配凑法) f(x+1)=x+2x=(x+1)2-1,令t=x+1(t≥1),则f(t)=t2-1,t∈[1,+∞),所以f(x)=x2-1,x∈[1,+∞),故选C.
解法二(换元法) 令t=x+1(t≥1),则x=t-1(t≥1),f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,t∈[1,+∞),所以f(x)=x2-1,x∈[1,+∞),故选C.
4.已知函数f(x)= lnx,x≥1,0,0≤x<1,x,x<0,若f(2a-1)-1≤0,则实数a的取值范围是( D )
A.[e+12,+∞)B.(-∞,-12]∪[0, e+12]
C.[0, e+12]D.(-∞, e+12]
解析 因为f(2a-1)-1≤0,所以f(2a-1)≤1.作出函数y=f(x)及y=1的图象,如图所示,设两函数图象交于点P,则由图可知,2a-1≤xP=e,所以a≤e+12,即a的取值范围是(-∞,e+12],故选D.
5.[2024广东名校联考]已知函数f(x)的定义域是[0,4],则函数y=f(x-1)x-2的定义域是 (2,5] .
解析 由题意知0≤x-1≤4,x-2>0,解得2<x≤5,即y=f(x-1)x-2的定义域为(2,5].
6.[2024山东省部分学校阶段监测]已知函数f(x)=3x,x≤0,lg4x,x>0,则f(f(116))=19.
解析 因为f(x)=3x,x≤0,lg4x,x>0,所以f(116)=lg4116=-2,f(-2)=3-2=19,所以
f(f(116))=19.
7.[2024惠州市一调]已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+2,则f(x)的解析式可以是 f(x)=2x(答案不唯一) .(写出满足条件的一个解析式即可)
解析 由f(x+1)=f(x)+2知,函数f(x)的图象上移2个单位长度后得到的图象,与左移1个单位长度后得到的图象重合,f(x)=2x+k(其中k可取任意实数)满足要求.本题为开放题,答案可为f(x)=2x,f(x)=2x+1等.
8.[2024浙江名校联考]已知函数f(x)=(12)x,x∈(-∞,1),lg4x,x∈(1,+∞),则f(x)>1的解集为 (-∞,0)∪(4,+∞) .
解析 由题意可得,f(0)=(12)0=1,结合指数函数y=(12)x在定义域内单调递减可知,当x<1时,f(x)>1的解集为(-∞,0);f(4)=lg44=1,结合对数函数y=lg4x在定义域内单调递增可知,当x>1时,f(x)>1的解集为(4,+∞).所以不等式
f(x)>1的解集为(-∞,0)∪(4,+∞).
9.[2023福建漳州联考]已知函数f(x)=lg2x,x>0,x2+4x+1,x≤0,若实数a满足f(f(a))=1,则实数a的所有取值的和为( C )
A.1B.1716-5
C.-1516-5D.-2
解析 作出y=f(x)及y=1的部分图象,如图所示,易得y=f(x)与y=1的图象有三个交点,设这三个交点分别为A,B,C,则易得xA=-4,xB=0,xC=2.
令f(a)=-4,则由图可得lg2a=-4,解得a=2-4=116;
令f(a)=0,则由图可得a2+4a+1=0或lg2a=0,解得a=-2-3或a=-2+3或a=1;
令f(a)=2,则由图可得a2+4a+1=2(a≤0)或lg2a=2,解得a=-2-5或a=22=4.
所以实数a的所有取值的和为116+(-2-3)+(-2+3)+1+(-2-5)+4=
-1516-5,
故选C.
10.[2023西北工业大学附属中学模拟]设函数f(x)=x,0
解析 根据题意作出函数f(x)的图象,如图所示.由f(x)的定义域知,a>0,所以ea>1.易知y=ex的图象与y=x的图象无交点,所以ea≠a,所以要使f(a)=f(ea),则0<a<1<ea,所以a=eln ea,变形可得a=ea,解得a=1e,则f(1a)=f(e)=eln e=e.
11.[情境创新]德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一.函数f(x)=1,x为有理数,0,x为无理数被称为狄利克雷函数,则关于函数f(x),下列说法正确的是( D )
A.f(x)的定义域为{0,1}
B.f(x)的值域为[0,1]
C.∃x∈R,f(f(x))=0
D.对于任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立
解析 由题意知f(x)的定义域为R,值域为{0,1},故A,B错误;因为f(x)=0或
f(x)=1,所以当f(x)=0时,f(f(x))=f(0)=1,当f(x)=1时,f(f(x))=f(1)=1,故C错误;对于任意一个非零有理数T,若x为有理数,则x+T也为有理数,则f(x)=f(x+T)=1,若x为无理数,则x+T也为无理数,则f(x+T)=f(x)=0,综上可得,对于任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立,故D正确.故选D.
12.[探索创新/多选/2024江西名校联考]若存在M,使得f(x)≥M对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有下界,其中M为函数f(x)的一个下界,若存在N,使得f(x)≤N对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有上界,其中N为函数f(x)的一个上界,如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界,则下列说法正确的是( ABD )
A.2是y=x+1x(x∈(2,+∞))的一个下界
B.y=lnxx有上界无下界
C.y=xex有上界无下界
D.y=csxx2+1有界
解析 对选项A,y=x+1x在(2,+∞)上单调递增,故y>2+12=52≥2,A正确;
对选项B,y=lnxx,则y'=1-lnxx2,当x∈(0,e)时,y'>0,函数单调递增,当x∈(e,
+∞)时,y'<0,函数单调递减,故函数在x=e时有最大值为1e,无最小值,即y≤1e恒成立,B正确;
对选项C,当x趋近于+∞时,y=xex趋近于+∞,C错误;
对选项D,y=csxx2+1,则|y|=|csx|x2+1≤1x2+1≤1,即-1≤y≤1恒成立,D正确.故选ABD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.了解简单的分段函数,并能简单应用.
求函数的定义域
2022北京T11
本讲是函数部分的基础,命题热点为分段函数的求值、含参和解不等式问题,题型以选择题、填空题为主,难度中等偏易.在2025年高考的备考中,要掌握函数的三要素和以分段函数为载体的有关应用.
求函数的解析式
分段函数
2022浙江T14;2021浙江T12
函数的
定义
一般地,设A,B是① 非空的实数集 ,如果对于集合A中的② 任意 一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有③ 唯一确定 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
三要素
④ 定义域 ,⑤ 对应关系 ,⑥ 值域 .
定义域
自变量x的取值范围A.
值域
函数值的集合{f(x)|x∈A},是集合B的⑦ 子集 .
相等函数
⑧ 定义域 相同,⑨ 对应关系 完全一致.
函数的表示法
⑩ 解析法 ,⑪ 列表法 ,⑫ 图象法 .
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