备战2025年高考数学精品教案第一章集合、常用逻辑用语与不等式第2讲常用逻辑用语（Word版附解析）

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学生用书P004
1.充分条件、必要条件与充要条件
常用结论
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}.
（1）若p是q的充分条件，则A⊆B；若p是q的必要条件，则A⊇B.
（2）若p是q的充分不必要条件，则A⫋B；若p是q的必要不充分条件，则A⫌B.
（3）若p是q的充要条件，则A＝B.
2.全称量词与存在量词
（1）全称量词与存在量词
（2）全称量词命题与存在量词命题
注意 1.¬p（x）表示p（x）不成立.
2.含有一个量词的命题的否定规律是：改写量词，否定结论.对于省略了量词的命题，则需要根据命题的含义加上量词，再改写.
3.命题p与¬p（p的否定）真假相反.
1.下列说法不正确的是（ D ）
A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件
B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题
C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B
D.命题“∃x∈R，sin2x2＋cs2x2＝12”是真命题
2.“x是整数”是“2x＋1是整数”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若x是整数，则2x＋1是整数；当x＝12时，2x＋1是整数，但x不是整数，所以“x是整数”是“2x＋1是整数”的充分不必要条件.故选A.
3.已知命题p：所有的三角函数都是周期函数，则¬p为 有些三角函数不是周期函数 .
学生用书P005
命题点1 充分条件与必要条件
角度1 充分条件与必要条件的判断
例1 （1）[2023天津高考]“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（ B ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析 因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”， “a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.
（2）[2023全国卷甲]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cs β＝0，则（ B ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析 甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cs2β，等价于sin α＝±cs β，所以由甲不能推导出sin α＋cs β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cs β＝0，得sin α＝－cs β，两边同时平方可得sin2α＝cs2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.
角度2 充分条件、必要条件中的含参问题
例2 （1）若x＞0，则x＋2 025x≥a恒成立的一个充分条件是（ B ）
A.a＞80B.a＜80C.a＞100D.a＜100
解析 当x＞0时，x＋2 025x≥22 025，当且仅当x＝2 025时，“＝”成立，因为x＋2 025x≥a（x＞0）恒成立，所以a≤22 025，80＜22 025＜100，结合各选项知x＋2 025x≥a恒成立的一个充分条件为a＜80.（注意区分“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”）
故选B.
（2）已知p：｜1－x－13｜≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 [9，＋∞） .
解析 由｜1－x－13｜≤2，得－2≤x≤10，故p对应的集合为N＝{x｜－2≤x≤10}.由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），得1－m≤x≤1＋m，故q对应的集合为M＝{x｜1－m≤x≤1＋m，m＞0}.
因为q是p的必要不充分条件，所以N⫋M，所以m>0，1－m≤－2，1+m≥10，（1－m＝－2与1＋m＝10不会同时成立）
解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞）.
方法技巧
1.充分条件与必要条件的判断方法
（1）定义法：根据“若p，则q”及“若q，则p”的真假进行判断，适用于定义、定理等判断性问题.
（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断.
2.已知充分、必要条件求参数取值范围的方法
把充分、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解.
注意 （1）条件的等价变形；（2）区间端点值的检验.
训练1 （1）[2024湖北部分重点中学联考]设m∈R，a＝（m，1），b＝（4，m），c＝（1，－2），则b⊥c是a∥b的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若b⊥c，则4－2m＝0，得m＝2，即b⊥c⇔m＝2；若a∥b，则m2＝4，得m＝±2，即a∥b⇔m＝±2.因为m＝2是m＝±2的充分不必要条件，所以b⊥c是a∥b的充分不必要条件，故选A.
（2）[多选/2023沈阳市三检]已知空间中的两条直线m，n和两个平面α，β，则α⊥β的充分条件是（ ACD ）
A.m⊥α，m∥βB.m⊂α，n⊂β，m⊥n
C.m⊂α，m∥n，n⊥βD.m⊥n，m⊥α，n⊥β
解析 对A，因为m∥β，所以在平面β内存在直线l，使得m∥l，又m⊥α，所以l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，所以选项A符合题意；
对B，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则平面α，β不一定垂直，例如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，且AB⊥B1C1，但平面ABCD与平面A1B1C1D1不垂直，所以选项B不符合题意；
对C，因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β，所以选项C符合题意；
对D，因为m⊥α，n⊥β，所以直线m，n对应的方向向量分别为平面α，β的法向量，又m⊥n，所以平面α，β的法向量垂直，所以α⊥β，所以选项D符合题意.
综上，选ACD.
命题点2 全称量词与存在量词
角度1 全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断
例3 （1）[2023辽宁名校联考]已知命题p：∃x＜－1，2x－x－1＜0，则¬p为（ B ）
A.∀x≥－1，2x－x－1≥0B.∀x＜－1，2x－x－1≥0
C.∃x＜－1，2x－x－1≥0D.∃x≥－1，2x－x－1≥0
解析 因为命题p：∃x＜－1，2x－x－1＜0，则¬p：∀x＜－1，2x－x－1≥0.故选B.
（2）[2023湖北模拟]下列命题为真命题的是（ C ）
A.∀x∈R，x2－｜x｜＋1≤0B.∀x∈R，－1≤1csx≤1
C.∃x∈R，（ln x）2≤0D.∃x∈R，sin x＝3
解析 因为x2－｜x｜＋1＝（｜x｜－12）2＋34＞0恒成立，所以∀x∈R，x2－｜x｜＋1≤0是假命题；当x＝π3时，1csx＝2，所以∀x∈R，－1≤1csx≤1是假命题；当x＝1时，ln x＝0，所以∃x∈R，（ln x）2≤0是真命题；因为－1≤sin x≤1，所以∃x∈R，sin x＝3是假命题.故选C.
角度2 已知全称（存在）量词命题的真假求参数的取值范围
例4 （1）若命题“∀x＞0，ln x－12x2－a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是（ D ）
A.（－∞，e]B.（－∞，1]
C.（－∞，12]D.（－∞，－12]
解析 命题“∀x＞0，ln x－12x2－a＜0”为假命题，则命题“∃x＞0，ln x－12x2－a≥0”为真命题.由ln x－12x2－a≥0，得a≤ln x－12x2.设g（x）＝ln x－12x2，则原问题可转化为a≤g（x）max，g'（x）＝1x－x＝1－x2x.令g'（x）＞0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，从而g（x）≤g（1）＝－12，故a≤－12.故选D.
（2）[2024江苏南通学业质量监测]设命题p：∃x∈R，ax2－x＋1≤0.写出一个实数a＝
0（答案不唯一） ，使得p为真命题.
解析 当a＝0时，－x＋1≤0有解；当a≠0时，a>0，Δ≥0或a＜0，所以a∈（0，14]∪
（－∞，0）.综上，a≤14，即a≤14中任取一个值都可以.
方法技巧
1.判定全称量词命题是真命题，需证明所有对象使命题成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个对象使命题成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
2.由命题真假求参数的范围，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式（组），再通过解方程或不等式（组）求解.
训练2 （1）[2023河北省盐山中学三模]已知命题p：∃x≥0，ln（x＋1）≥0且tan x＜1，则¬p为（ C ）
A.∀x＜0，ln（x＋1）＜0且tan x≥1
B.∀x＜0，ln（x＋1）＜0或tan x≥1
C.∀x≥0，ln（x＋1）＜0或tan x≥1
D.∀x≥0，ln（x＋1）＜0且tan x≥1
解析 由含有一个量词的命题的否定规律易知C正确.
（2）若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为（ C ）
A.[－1，4]B.[0，53]
C.[－1，0]∪[53，4]D.[－1，0）∪（53，4]
解析 命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题，则其否定为真命题，（命题与命题的否定真假相反）
即“∀a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0”为真命题.令g（a）＝ax2－（2a－1）x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋3，a∈[－1，3]，则g（a）≥0恒成立，所以g（－1）≥0，g（3）≥0，即－x2+3x+4≥0，3x2－5x≥0，得－1≤x≤4，x≥53或x≤0，所以实数x的取值范围为[－1，0]∪[53，4].故选C.
（3）[多选/2024重庆市合川区模拟]已知命题p：∃x∈R，x2＋1＜2x；命题q：若mx2－mx－1≠0恒成立，则－4＜m＜0.则（ BC ）
A.p的否定是假命题B.q的否定是真命题
C.p与q都是假命题D.p与q都是真命题
解析 对于命题p：因为x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以x2＋1≥2x，即不存在x，使x2＋1＜2x，故命题p是假命题，则命题p的否定是真命题.对于命题q：若mx2－mx－1≠0恒成立，则当m＝0时，－1≠0，原不等式恒成立；当m≠0时，Δ＝m2＋4m＜0，得－4＜m＜0.综合得－4＜m≤0，故命题q是假命题，则命题q的否定是真命题.综上所述，选项A错误、B正确、C正确、D错误.故选BC.
学生用书P007
突破双变量“存在性”或“任意性”问题
角度1 双变量“存在性”或“任意性”的等式问题
例5 [2023江苏省宿迁市模拟]定义域为R的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），[f（x）]4－（4＋x2)[f（x)]2＋4x2＝0对任意的实数x都成立，且值域为[0，2].设函数g（x）＝2x－m－2，x≤2，－m+2，x>2，若对任意的x1∈（－4，－1），都存在x2＞－1，使 g（x2）＝f（x1）成立，则实数m的取值范围为（ A ）
A.[－5，0]B.[－2，0]
C.（－1，0）D.（0，1]
解析 由[f（x）]4－（4＋x2）[f（x）]2＋4x2＝0，
得{[f（x）]2－4}{[f（x）]2－x2}＝0，解得f（x）＝±x或f（x）＝±2.
因为f（x）为偶函数，且值域为[0，2]，
所以f（x）＝2，x≤－2，｜x｜,－2