湖北省部分重点中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省部分重点中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，，则( )
A.B.C.D.
2．已知i为虚数单位,若,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．已知角，满足，，则( )
A.B.C.D.
5．已知函数在区间上有极值，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为( )
A.55B.77C.91D.113
7．已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知函数，的定义域均为R，是奇函数，且，，则下列结论正确的是( )
A.为奇函数B.为奇函数
C.D.
二、多项选择题
9．已知正实数满足，则的可能取值为( )
A.8B.9C.10D.11
10．已知双曲线的左、右焦点分别为,.过的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,其中点在第一象限.的内心为,与轴的交点为,记的内切圆的半径为,的内切圆的半径为,则下列说法正确的有( )
A.若双曲线渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为2或
B.若,且,则双曲线的离心率为
C.若,则的取值范围是
D.若直线l的斜率为,,则双曲线的离心率为
11．在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为O，顶点P在底面的射影为Q，且中点为M，则下列说法正确的是( )
A.三棱锥的体积为3
B.二面角的余弦值为
C.球O的表面积为
D.若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为
三、填空题
12．已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，直线与准线相交于点B，则线段的长度为________.
13．已知直线与曲线相切，则实数a的值为________.
14．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为________.
四、解答题
15．已知数列为等比数列，数列满足，且.
(1)求数列的通项公式：
(2)数列满足，记数列的前n项和为，求.
16．如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
17．为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换。
(1)两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率：
(2)两人进行两次交换后，记X为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量X的分布列和数学期望.
18．已知椭圆的离心率为，其左顶点到点的距离为，不过原点O的直线l与椭圆C相交于不同的A，B两点，与直线交于点Q，且，直线l与x轴，y轴分别交于点M，N.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当的面积取最大值时，求的面积.
19．2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的䍜霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO）满分金牌。同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手。次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果R上的函数满足条件：①在闭区间上连续：②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：
(1)证明方程：在内至少有一个实根，其中a，b，c，；
(2)已知函数在区间内有零点，求m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得集合,
集合,
所以,
故选C
2．答案：B
解析：,则.
故选：B.
3．答案：C
解析：因为，，，
所以，得，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C
4．答案：A
解析：，，
，，
，
故选：A.
5．答案：B
解析：由题意得,
设,
则在上有根且不是重根,
即在上有解,设,
则
令,得或(舍去),
当时,单调递增,
当时,单调递减,
又,,
所以,
因为在上有解,
所以,又因为当时,
,
此时在上单调递增,没有极值,
所以,所以实数a的取值范围是
故选：B
6．答案：C
解析：
7．答案：A
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：CD
解析：由题意得,
因为,
所以,
所以
当且仅当,即时等号成立,
所以,
故选CD.
10．答案：ABD
解析：对于A,双曲线渐近线的夹角为,则或者故或.
对于B,设,则.
故,解得.又,故.
对于C,令圆切,,分别为点D,Q,T,则,,,
,令点,而,,
因此,解得,又,则点横坐标为,同理点横坐标为,
即直线的方程为,
设直线AB的倾斜角为,那么,
在中,
在中,,渐近线的斜率为.
因为A,B均在右支上,故,,.
如图所求,.
对于D,,故,而.
故,,,
由余弦定理可知,故.
故选:ABD.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：由点在抛物线上,可得,
即,又,
所以直线AF的方程为,
与准线方程联立可得,
所以
13．答案：
解析：设切点为,
则,
所以,且,
所以,所以
所以,解得,
所以,
14．答案：
解析：
15．答案：(1)答案见解析
(2)135
解析：(1)因为为等比数列，
所以，
即，
化简得.
因为，得.
因此，
易知为等比数列
(2)由(1)知，.
，
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵，
∴，
化简得.
由余弦定理得，，
得；
(2)设，，
在中，
由得，
解得.①
在中，.②
由①、②得，.
∴，，从而.
∵二面角为直二面角，，
平面平面，平面，
∴平面
建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，
∴，，.
设平面的法向量，
则有，
即
令，解得.
∴，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：(1)
(2)2
解析：(1)若两人交换的是玩具车，则概率为，
若两人交换的是玩偶，则概率也为，
故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.
(2)X可取的值为0、1、2、3、4，
一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，
有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后
，
，
故随机变量X的分布列为：
∴.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设椭圆C左顶点为D，则D坐标为.
由，解得.
因为椭圆C的离心率为，得.
所以椭圆C的标准方程为：；
(2)设A坐标为，B坐标为，由于A和B为椭圆C上两点，
∴两式相减，
得，
整理得.（*）
设Q坐标为，
由得Q为线段的中点，
∴，.
由Q在线段所在直线上，
且P坐标为，则有，
即.
由（*）得，
故.
设直线l方程为，
联立直线l与椭圆C的方程，
得，
整理得.
由，得且.
因为直线l与椭圆C相交于A和B两点，
所以，.
∴，
点P到直线l的距离为，
∴，且.
记，.
由，及且得
即当时，取最大值.
此时直线l方程为，与坐标轴交点为
∴.
19．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)设，
设，
∴在上连续，在上可导.
又，
由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立，
∴.
故方程在内至少有一个实根.
(2)∵在区间内有零点，
不妨设该零点为，则，.
由于，
易知在和上连续，且在和上可导.
又，由罗尔中值定理可得，
至少存在一个，使；
至少存在一个，使得.
∴方程
在上至少有两个不等实根和.
设，
则.
∵，∴.
①当，即时，
，
故在上单调递增；
方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去
②当，即时，
，
故在上单调递减.
方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去
③当时，
由得，
∴时，有，单调递减；
时，有，单调递增.
∴在上的最小值.
注意到，
则有.
∵方程在上至少有两个不等实根，
∴，
解得.
结合，
且，
，
故m的取值范围为.
X
0
1
2
3
4
P