辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知正方体的棱长为1,则直线与所成角的正弦值为( )
A.0B.C.D.
2．在空间直角坐标系中,已知,若共面,则的值为( )
A.B.0C.1D.2
3．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
4．圆和圆的公切线有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
5．已知x,且,则的最大值为( )
A.1B.C.D.5
6．若椭圆的离心率为,则( )
A.1B.4C.1或4D.以上都不对
7．已知,是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点,若是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A.B.C.D.
8．曲线所围成图形的面积为( )
A.2B.C.4D.
二、多项选择题
9．已知x,y,且,则的值可能是( )
A.1B.2C.3D.4
10．在空间直角坐标系Oxyz中,已知,点,点,且P,O不重合,P,A不重合,则( )
A.若,则x,y,z满足:
B.若,则x,y,z满足:
C.若,则x,y,z满足:
D.若,则x,y,z满足:
11．现有圆锥顶点为P,底面所在平面为,母线PM与底面直径MN的长度都是2.点A是PM的中点,平面经过点A与所成二面角（锐角）为.已知平面与该圆锥侧面的交线是某椭圆（或其一部分）,则该椭圆长轴的长可能是( )
A.B.1C.D.2
三、填空题
12．直线l经过点且与直线垂直,则直线l的方程是________.
13．已知点,点B,C是直线与圆的交点,则经过点A,B,C的圆的方程是________.
14．已知点M在椭圆上,点、,则的取值范围是________.
四、解答题
15．已知椭圆C的长轴端点是和,离心率是.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若点P在椭圆C上,求点P到点的距离的取值范围.
16．如图,正四棱锥中,,侧棱与底面所成的角为.
（1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值;
（2）在线段上是否存在一点,使得?若存在,确定点E的位置;若不存在说明理由.
17．如图,在三棱柱中,点O是棱AC的中点.侧面底面ABC,底面ABC是等边三角形,,.
（1）求证:平面ABC;
（2）求平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值.
18．已知点与点关于直线对称.
（1）求点P的坐标m,n（用,表示）;
（2）若点在曲线上,求点所在曲线的方程.
19．在平面直角坐标系中,已知点,,点P满足.记P的轨迹为C.
（1）求C的方程;
（2）已知点,设点M,N在C上,点M,N与点A不重合,且直线MN不与x轴垂直,记,分别为直线AM,AN的斜率.
（ⅰ）对于给定的数值入（且,若,证明:直线MN经过定点;
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q,求点Q的轨迹方程.
参考答案
1．答案：D
解析：在正方体中,可得,,
所以四边形是平行四边形,所以,
所以是异面直线直线与所成的角,
又易得是等边三角形,所以,
所以,所以直线与所成角的正弦值为.
故选:D.
2．答案：A
解析：由空间向量共面定理可得存在实数x,y,使得,
即,所以,解得.
故选:A
3．答案：A
解析：由直线得
故直线的斜率为,又倾斜角范围为,
所以倾斜角为.
故选:A.
4．答案：B
解析：由题意得,圆,即以为圆心,为半径的圆,
圆,即以为圆心,为半径的圆,
则,
故,
因此两圆相交,则有2条公切线.
故选:B.
5．答案：D
解析：令,,,
则,其中,
因为,则,
所以的最大值为5.
故选:D
6．答案：C
解析：当焦点在x轴上时,,解得;
当焦点在y轴上时,,解得.
故选:C
7．答案：A
解析：是正三角形,,
,,
.
故选:A.
8．答案：A
解析：由可得,即,所以,
又,即,
当且时,则方程为,即,所以,
当且时,则方程为,即,
当时,则,所以方程为,即,
画出如图所示图像,其中弓形与弓形相等,
由割补法可知,围成图形的面积为.
故选:A
9．答案：CD
解析：因,则表示以原点为球心,半径为1的球表面上的点.
则表示到距离的平方.
类比点到圆上距离的范围,可得,
,
结合,可得,则,.
故,则只有CD满足条件.
故选:CD
10．答案：BCD
解析：A由题,,因,则A错误;
B因,则,故B正确;
C因,则,故C正确;
D因,则.
即,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：ABC
解析：如图,做出过点A的轴截面,
由已知条件可知,平面与轴截面相交得到的线段最短为,最长为,当平面与圆锥面所截得的椭圆的长轴落在平面内时,长轴长或.根据已知的几何关系可以计算出,.当与圆锥所截得的椭圆的长轴不在图中所作的轴截面内时,长轴长度满足:.
对于A选项,长轴长度可以为;
对于B选项,,长轴长度可以为;
对于C选项,,长轴长度可以为;
对于D选项,,长轴长度不可能为2.
故选:ABC
12．答案：
解析：直线的斜率为,所以直线l的斜率为,
所以l的方程为:,即.
故答案为:
13．答案：
解析：因点B,C是直线与圆的交点,
则设过B,C的圆的方程为:,代入,
则,则过过点A,B,C的圆的方程是:
.
故答案为:
14．答案：
解析：由椭圆与椭圆有相同的短轴,
由椭圆与椭圆有相同的长轴,
又椭圆与椭圆有相同的焦点,,
即点、,
由椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部,
椭圆在椭圆上及其内部,
当点P在上时,,
因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部,
所以,当点在短轴的端点时取等号,
当点P在上时,,
因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部,
所以,当点P在长轴的端点时取等号,
所以的取值范围是.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得:,解得:.
故椭圆C的方程为:
（2）设是椭圆上的任意一点,所以,
所以,其中.
所以.
故点P到点的距离的取值范围是.
16．答案：（1）
（2）在线段上存在点E,点E满足,使得.
解析：（1）设O为底面的中心,以点O为原点,,,分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
由题意知,,,.
设,其中,则,向量是平面的法向量.
由题意得,,解得.
设平面的法向量为.
因为,,
所以,即,令,则,
则.
则,
故侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值为.
（2）由（1）知,,
设,则.
因为,
若,则.
即,解得,
故在线段上存在点E,点E满足,使得
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连结OB.
在中,,,所以,且.
又因为,所以平面.
从而.
又因为平面平面ABC,AC是平面与平面ABC的交线,
所以平面ABC
（2）在中,,,所以.
设.以点O为原点,,,分别为x轴y轴z轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.
有,,,,,,.
设平面的法向量为,平面的法向量为.
由题意得:.
则取平面的法向量为,平面的法向量为.
则.
故平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值是
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）依题意,,解得.
（2）依题意,,所以.
整理得:（其中）,
所以点所在曲线的方程为.
19．答案：（1）
（2）（ⅰ）证明见解析,
（ⅱ）点Q的轨迹方程为直线（除去点）
解析：（1）设,由得,
整理得,所以C的方程为.
（2）设直线MN的方程为:,其中.
点M,N满足:
所以,满足:,即.
从而,.
（ⅰ）证明:因为
,
所以,整理得,其中（即直线MN不经过点）.
所以直线MN的方程为:,且直线MN不经过点.
所以直线MN过定点.
（ⅱ）由得（其中）,
所以点Q的轨迹方程为直线（除去点）.