山东省德州市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省德州市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线l的方程为,则l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知直线与直线平行,则m的值为( )
A.-3B.-1C.2D.-3或2
3．已知双曲线,若点到E的渐近线距离为,则双曲线E的离心率为( )
A.B.C.2D.3
4．在四面体中,点D为的中点,点E在上,且,用向量,,表示,则( )
A.B.
C.D.
5．已知圆不经过坐标原点,且与圆相切,则的最大值为( )
A.1B.C.D.
6．已知菱形的边长为2,,现将沿折起,当时,二面角平面角的大小为( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆上存在两点M、N关于直线对称.若椭圆离心率为,则的中点坐标为( )
A.B.C.D.
8．已知四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等,其各个顶点都在球O的球面上,满足,,,则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知空间中四点,,,,则( )
A.B.
C.在上的投影数量为D.为锐角
10．已知直线,圆,为圆C上任意一点,则( )
A.直线l过定点
B.若圆C关于直线l对称,则
C.的最大值为
D.的最大值为3
11．在直三棱柱中,,,,,点M为线段的中点,N为线段上的动点,则( )
A.
B.存在点N使得垂直于平面
C.若平面,则
D.直线与平面所成角的最大值为
三、填空题
12．已知的三个顶点,,,则边上的高为______________.
13．在三棱锥中,已知,,点P到,的距离均为,那么点P到平面的距离为____________.
四、双空题
14．已知直线与抛物线交于A、B两点,且（O为坐标原点）,则____________;的面积为_____________.
五、解答题
15．在平面直角坐标系中,已知圆C过点,,且圆关于x轴对称.
(1)求圆C的标准方程;
(2)已知直线l经过点,与圆C交于A,B两点,若,求直线l的方程.
16．已知点F为抛物线的焦点,点在抛物线上,且.
(1)求抛物线的方程及m;
(2)斜率为2的直线l与抛物线的交点为A、B（A在第一象限内）,与x轴的交点为M（M、F不重合）,若,求的周长.
17．如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,.
(1)求证：;
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
18．已知双曲线过点,一条渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若点P为双曲线右支上一点,,求的最小值;
(3)过点的直线与双曲线的右支交于,两点,求证：为定值.
19．已知椭圆的中心为坐标原点,左、右焦点分别为,,椭圆上一点到焦点的最小距离为,直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方,点B在x轴下方）,当过时,的周长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)将平面沿x轴折叠,使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直.
①当B为椭圆的下顶点时,求折叠后直线与平面所成角的正弦值;
②求三棱锥体积的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意得,直线斜率为,
即,又,则.
故直线的倾斜角为.
故选：A.
2．答案：A
解析：由两直线平行得：,解得或.
当时,,,两直线重合,不合题意.
当时,,即,,两直线平行,符合题意.
故m的值为-3.
故选：A.
3．答案：B
解析：双曲线的渐近线方程为,即,
因为点到E的渐近线距离为,即,解得,
因此,该双曲线的离心率为.
故选：B.
4．答案：D
解析：如图,由题意得,
.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为与相切,
所以或,
所以或,
因为不经过原点,所以,
所以,
又因为,所以,
当且仅当时取等号,
所以的最大值为,
故选：C.
6．答案：B
解析：设,菱形满足,,
则和都为等边三角形,所以,,
又,则,,所以就是二面角的平面角,
由于,所以,所以是等边三角形,
所以,即二面角平面角大小为.
故选：B.
7．答案：C
解析：设点、,线段的中点为,则,
由题意,椭圆的离心率为,可得,
因为M、N关于直线对称,且直线的斜率为1,
则,
将点M、N的坐标代入椭圆方程可得,
上述两个等式作差可得,
可得,即,即,
即,①
又因为点在直线上,则,②
联立①②可得,故线段的中点为.
故选：C
8．答案：B
解析：因为四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等,
所以顶点P在底面的射影是底面四边形外接圆的圆心.
因为,所以为等腰三角形.因为,所以,
故为等边三角形,则.设底面四边形外接圆半径为r,
则根据正弦定理得,即,解得.
设线段的中点E,则,
那么由勾股定理可知,所以,
故是等边三角形的中心,则.
设球O的半径为R,根据题意可知球心O在射线上,
当球心O在线段上时,如图1所示,则,即,
解得,此时,不符合题意舍去.
当球心O在射线上且在平面的下方时,如图2所示,,
即,解得,此时符合题意,
故球O的半径,所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：A：因为,所以,故错误;
B：因为,,所以,所以,故正确;
C：因为,,所以,,
所以在上的投影数量为,故正确;
D：因为,,所以,
由坐标可知,不共线,所以锐角,故正确;
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：化为标准方程为,圆心为2,0,半径为1;
A：因为,令,可得,所以l过定点,故错误;
B：若圆C关于l对称,则l过圆心2,0,所以,解得,故正确;
C：表示连线的斜率,设,即,如下图,
当与相切时,此时k取最值,
所以,解得,所以k的最大值为,即的最大值为,故正确;
D：表示,因为,所以,故错误;
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：如图,以A为原点,以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
对于A,因为,,
所以,
则,即,故A正确;
对于B,由A知,,,
设,则,即,
所以,又平面,
则,无解,
所以不存在点N使得垂直于平面,故B错误;
对于C,由B知,设,可得,
又,,
设平面的一个法向量为,
则,令,得,
因为平面,所以,
则,解得,此时,故C正确;
对于D,由B知,设,可得,
所以,易知平面的一个法向量为,
设直线与平面所成角为,
则,
所以当时,取得最大值,
即直线与平面所成角的最大值为,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：,则直线的方程为,即,
则点到直线的距离为,
则边上的高为.
故答案为：.
13．答案：
解析：过P作AC,AB垂线,垂足为E,F,由题,则.
又,则,
又,,则.
则,又由勾股定理,可得.
取BC中点为D,连接PD,AD,由以上分析可知,.
因,,平面PAD,则平面PAD.
过P作AD垂线,垂足为G,则,又平面PAD,则.
因,,平面ABC,则平面ABC,
即PG为P到平面的距离.
在中,因,,则.
又在中,,,则;
又,则为以D为直角顶点的直角三角形,则
即D和G重合,则.
故答案为：.
14．答案：①1②
解析：设点、,联立可得,
,由韦达定理可得,,
所以,,解得,
所以,,,则,
直线交x轴于点,
所以,.
故答案为：1;.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由圆关于x轴对称可知圆心在x轴上,
设圆心,半径为r;
即可得,解得,半径,
所以圆C的标准方程为
(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为,显然不合题意;
当直线l的斜率存在时,设方程为;
易知圆心到直线的距离
又可解得或,
即直线l的方程为或.
16．答案：(1)抛物线方程为,
(2)
解析：(1)抛物线的焦点为,准线方程为,
由抛物线的定义可得,可得,
所以,抛物线的方程为,
将点P的坐标代入抛物线方程可得,解得.
(2)设点,则,因为直线l的斜率为2,则直线l的方程为,
设点、,则,
由,可得,则,可得,
联立,可得,,可得,
由韦达定理可得,,
所以,,可得,,
所以,,可得,
所以,,
,
所以,的周长为.
17．答案：(1)证明见解析;
(2)
解析：(1)在中,由余弦定理得,解得,
所以,故,
又,,,平面,
所以平面,又平面,
所以;
(2)以D为坐标原点,,分别为x,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,,
设平面的一个法向量为,
则,令,则,所以,
设平面的一个法向量为,
则,令,则,所以,
故,
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18．答案：(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由题意知双曲线过点,一条渐近线方程为,
则,解得,
故双曲线C的标准方程为;
(2)点P为双曲线右支上一点,设,,,
则
,
当,即时,最小值为,
当,即时,最小值为;
(3)当过点的直线斜率不存在时,方程为,
此时不妨取,,则;
当当过点的直线斜率存在时,设直线方程为,,,
不妨令,,
联立,得,
由于直线过双曲线的右焦点,必有,
直线与双曲线C的右支交于M,N两点,需满足或,
则,,
则
,
综合以上可知为定值.
19．答案：(1)
(2)①;②
解析：(1)由题意可得,解得,,
椭圆的标准方程为：.
(2)翻折后,如图：
①当B为椭圆的下顶点时,由题意知,直线,
联立方程组可得,解得或,
令原来y轴负半轴为z轴,则,,,,
,,,
设为平面的一个法向量,则,
令,所以,即,
设直线与平面夹角为,
则,
②联立方程组,整理得,
,,
设,,则,,,
,,
,
令函数,,
由二次函数的对称轴：,,
所以当时,的体积最大,此时.