山东省泰安第一中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷(含答案)

这是一份山东省泰安第一中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被4整除的整数都是偶数
B.所有能被4整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被4整除的整数是偶数
D.存在一个能被4整除的整数不是偶数
2．已知集合，，则的子集个数为( )
A.8B.16C.32D.64
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A.，B.，
C.，D.，
4．已知，，，则a、b、c的大小关系为( )
A.B.
C.D.
5．已知函数的定义域为.则函数的定义域是( )
A.B.C.D.
6．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
7．已知函数的定义域为，且恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．已知函数(且)，若有最小值，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.是的必要不充分条件；
B.已知是的充分不必要条件，则实数m的取值范围为；
C.若集合有且仅有一个元素，则实数；
D.已知，，则的取值范围是.
10．已知，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
11．定义域为R的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是( )
A.
B.为偶函数
C.若，则关于中心对称
D.若，则
三、填空题
12．已知函数(且)，则必过的定点P的坐标为__________.
13．已知命题p:，，命题q:，，若命题p、q一真一假，则实数m的取值范围为_________.
四、双空题
14．已知函数的图象关于坐标原点中心对称的充要条件是函数为奇函数，将其推广：函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.根据以上结论回答下面的问题：
已知函数，则函数的图象的对称中心为__________；关于x的不等式的解集为__________.
五、解答题
15．化简求值：
（1）
（2）.
16．已知，.
（1）若，，求，；
（2）若，求m的取值范围.
17．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2024年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年每产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，且知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
（1）记2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），求的函数解析式；
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
18．已知函数为定义在R上的偶函数，当时，.
（1）求当时的解析式；
（2）用单调性定义判断函数在区间上的单调性；
（3）解关于x的不等式，其中且.
19．定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
（1）已知函数.
①若函数为奇函数，求实数m的值；
②若，函数在区间上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范围，若不存在请说明理由.
（2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，且只否定结论，所以"所有能被4整除的整数都是偶数"的否定是"存在一个能被4整除的整数不是偶数".
故选:D.
2．答案：B
解析：由题意得,当时,或5,此时或7;
当时,或5,此时或9;
当时,或5,此时或11;
所以,所以有16个子集.
3．答案：A
解析：对于选项A:,所以两个函数是同一个函数，故选项A正确；
对于选项B:定义域为，解得:或,
定义域为，解得:，
定义域不同不是同一函数，故选项B不正确；
对于选项C：定义域为R，定义域为，
定义域不同不是同一函数，故选项C不正确；
对于选项D:定义域为R，定义域为，
定义域不同不是同一函数，故选项D不正确；故选:A.
4．答案：C
解析：
5．答案：D
解析：因为函数的定义域为,
对于函数,则,解得,
即函数的定义域是.
故选：D.
6．答案：A
解析：设,
因为函数图象过点,
则,即,解得,
则的定义域是R,在上递增越来越慢.
故选:A.
7．答案：B
解析：由题意得的解集为,
所以,且,1是方程的两根,所以,,
所以
因为恒成立,所以,当时,
,所以,所以.
故选B.
8．答案：D
解析：
9．答案：ABD
解析：
10．答案：ACD
解析：
11．答案：BCD
解析：对于A，令，则，因为不恒为0，所以，所以A错误；
对于B，由选项A可知，
令，则,
所以，即，所以为偶函数，所以B正确；
对于C，若，令，则,即，所以关于中心对称，所以C正确，
对于D，令，则，
因为为偶函数，，所以，
因为任意，，
所以，
所以，
所以
因为关于中心对称，所以，
所以，所以，所以D正确.
故选：BCD
12．答案：
解析：本题考查指数函数的性质.函数(且),
令,得,,所以函数必过定点.
13．答案：或
解析：由命题p:,为真命题，得，解得，由命题q:,为真命题，得，解得，因为命题p、q一真一假，所以p真q假，或p假q真，
当p真q假时，，得，
当p假q真时，，得，
综上，或.
故答案为:或.
14．答案：；
解析：设函数的对称中心为，则为奇函数，所以，所以,
即
整理可得
所以恒成立，则，
即，所以，
所以函数的对称中心为，
设,则的对称中心为，即为奇函数，
且在R上单调递增，在R上单调递增，则在R上单调递增，所以在R上单调递增，
则不等式，即
所以，得,
所以不等式的解集为.
故答案为:；
15．答案：（1）4；
（2）8
解析：（1）原式.
（2）原式.
16．答案：（1），；
（2）
解析：（1），，
，.
（2），，，
故，且，则，即.
，则，
解得，即.
17．答案：（1）；
（2）当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元
解析：（1）由题意可得，，
所以，
即.
（2）当时，；
当时，，对称轴，；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.
18．答案：（1）时；
（2）函数在区间上单调递增；
（3）答案见解析
解析：（1）当时，，所以，
由为偶函数知，
所以时
（2）证明：任取且，
有
根据，可得，，，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增.
（3）由函数为偶函数知等价于
又函数在区间上单调递增，所以，所以|
即
（i）当时，不等式可化为为，解得：，原不等式解集为；
（ii）当时，令得，，，
原不等式解集为；
（iii）当时，令得，，，
原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
19．答案：（1）①；②；
（2）
解析：（1）①由）得
所以，化简得，所以.
②，
，在上递增，
，，，
，，所以
存在上界M，M的范围是.
（2）法一：由题意可知在上恒成立，
，，即，
在上恒成立，
.
设，，，
由，得.
在上单调递减，在上是单调递增，
在上，，.所以，实数a的取值范围是.
法二：可研究的最值，.