四川省2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试卷(含答案)

这是一份四川省2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.0
2．直线与之间的距离为( )
A.B.C.D.
3．圆与圆的公切线条数为( )
A.0B.1C.2D.3
4．过点作圆的切线，则切线的斜率为( )
A.-1或-7B.-1C.-2或-7D.-2
5．若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为( )
A.B.C.D.
6．在正方体中，Q为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．如图，E是棱长为1的正方体内部（含表面）一动点，则的最大值为( )
A.B.C.D.
8．如图，在直三棱柱中，为腰长为1的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是( )
A.点与点关于x轴对称
B.点与点关于z轴对称
C.点与点关于平面对称
D.坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分
10．已知直线在x轴上的截距大于0，直线与y轴交于点B，则( )
A.B.恒过定点
C.点B到直线的距离可能为3D.不存在a使得
11．已知平面内一动点M到坐标原点的距离为1，以M为圆心、1为半径的动圆与圆交于两点，则( )
A.存在唯一的圆M，使得两点重合
B.
C.若存在，则其不可能为等边三角形
D.的最大值为
三、填空题
12．已知空间向量满足，则_________.
13．已知圆P过三点，则圆P的面积为_________.
14．在正三棱锥中，平面，点P在底面内的投影为点是平面内以O为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线与所成角的余弦值最大为_________.
四、解答题
15．已知三点，点P在圆上运动.
(1)若直线与圆E有唯一公共点，求；
(2)求的最小值.
16．已知在中，分别在线段上，且.
(1)求边上的高所在直线的斜截式方程；
(2)若的面积为面积的，求直线的一般式方程.
17．如图，在四面体中，，且为的中点，点H是线段上的动点（含端点）.
(1)以为基底表示；
(2)求的最小值.
18．已知在空间直角坐标系中，点.
(1)证明：不共面；
(2)求点O到平面的距离；
(3)设S为平面上的一个动点，且，求的夹角取得最小值时，的值.
19．现定义：若圆A上一动点M，圆A外一定点N，满足的最大值为其最小值的两倍，则称N为圆A的“上进点”.若点G同时是圆A和圆B的“上进点”，则称G为圆“”的“牵连点”.已知圆.
(1)若点C为圆A的“上进点”，求点C的轨迹方程并说明轨迹的形状；
(2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”.
(i)求直线的方程；
(ii)若圆H是以线段为直径的圆，直线与H交于两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一点W，使得（和分别为直线和的斜率）恒成立？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：因为为一常数，
故直线l的倾斜角为.
故选A.
2．答案：D
解析：因为直线和平行，
由两条平行直线间的距离公式可得
故选D.
3．答案：C
解析：圆，则圆心，半径，
圆，
则圆心，半径3，
则，
由于，
即，
故圆与圆相交，其公切线条数为2.
故选C.
4．答案：A
解析：因为圆的圆心为，半径为，
易知过点的切线l斜率存在，
设l的方程为，
即，
则，
解得或.
故选A.
5．答案：B
解析：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
基本事件总数为个.其中事件“两次抛掷骰子的点数之积为奇数”包含的样本点有：，共9个，
故
故选B.
6．答案：D
解析：取的中点为P，连接，则，
又因为，
故平面，
由正方体性质易得平面，
显然两两垂直，
故以D为坐标原点，
所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，
所以为平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
故选D.
7．答案：C
解析：以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
则，
则，
，
当时取到最大值
故选C.
8．答案：A
解析：由题意，以C为坐标原点，所在的直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设A关于平面的对称点为，
则，
设平面的法向量，
则即
令，则，
所以，
所以A与到平面的距离，
即①，
又，所以②，
所以由①②得，
又由可得，
所以，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选A.
9．答案：AC
解析：点与点关于x轴对称，A正确；
点关于z轴的对称点是，B错误；
点与点关于平面对称，C正确；
坐标轴两两确定的平面把空间分为8个部分，D错误.
故选AC.
10．答案：BD
解析：对于A，把代入，得，
所以或，A错误；
对于B，将直线
改写为，
所以所以
所以恒过定点，B正确；
对于C，对于，令可得，
易得当时，
点B到直线的距离取得最大值，C错误；
对于D，因为直线恒过的定点也在直线上，
即至少有一个交点C，D正确
故选BD.
11．答案：BCD
解析：由于坐标原点与其中一点重合，不妨设坐标原点为A，
当动圆M与圆N内切或外切时，均有两点重合，A错误；
点M在以A为圆心、1为半径的圆上运动，
故，B正确；
由于，要使为等边三角形，
则，又因为，
所以不可能为等边三角形，C正确；
要使最大，即最大，
只需要取最大值即可，由，
当且仅当三点共线时等号成立，
此时，
故此时，D正确
故选BCD.
12．答案：4
解析：因为，
故，
解得.
13．答案：
解析：设圆P的方程为，
代入三点坐标可得
解得
所以圆P的方程为，
其标准方程为，
故其面积.
14．答案：
解析：正三棱锥中，
因为平面，
又平面，
因此，
故，
故，
则，
延长交于点D，
过点O作的平行线交于点E，
易知两两垂直，
以O为坐标原点，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
则，，
设直线与所成的角为，
则，
当或时，取最大值.
15．答案：(1)2
(2)56
解析：(1)由题意知，圆E的圆心为，半径，
故，
由题意可得直线与圆E相切，且唯一公共点为点P，
在中，由勾股定理可得.
(2)设，且，
故
，
而，当时，取得最小值56.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，
化为斜截式为.
(2)因为的面积为面积的分别在线段上，且，
所以为的中点，即，
又直线的斜率为，
所以直线的斜率也为-3.
所以直线的方程为，
即，
所以直线的一般式方程为.
17．答案：(1)答案见解析
(2)-1
解析：(1)由题意可得
所以.
(2)设.
因为
所以
故当时，取得最小值，
最小值为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)由题意假设存在，
使得成立，
则，
即，
可得此方程组无解，
所以假设不成立，故不共面.
(2)由题意可得，
设平面的法向量为，
所以
令，则，
故平面的一个法向量为，
故点O到平面的距离.
(3)设的夹角为，
则.
所以，
所以
.
19．答案：(1)理由见解析
(2)(i)
(ii)存在理由见解析
解析：(1)因为点C为圆A的“上进点”，
所以，
即，
所以C的轨迹方程为，
所以点C的轨迹是以为圆心、为半径的圆.
(2)(i)因为P为圆B的“上进点”，
则，所以，
即点P在圆上，
则点P是圆和的交点.
因为均为圆“”的“牵连点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得，故直线的方程为.
(ii)设的圆心为，
半径为，的圆心为，半径为3.
直线的方程为，与联立得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，
则，
所以圆H的方程为.
假设y轴上存在点满足题意，
设.
则，即，
整理得.
将，
代入上式可得，
整理得①，
联立
可得，
所以，
代入(1)并整理得，
此式对任意的k都成立，所以。
故y轴上存在点，使得恒成立。