福建省莆田第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份福建省莆田第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了 命题“，”的否定是， 已知集合，，则， 已知，则下列判断正确的是， 若正实数，满足．则的最小值为， 函数的单调递减区间是， “学如逆水行舟，不进则退， 下列命题为假命题的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】写出该命题的否定即可.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：A
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将中的元素代入即可得出，然后根据交集的运算，即可得出答案.
【详解】当或时，；
当时，.
所以，，
所以，.
故选：B.
3. 已知，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的图象与性质可以判断即，根据中间变量1，可以比较.
【详解】因为时，的图象永远在图象的上方，
所以，即，
又，，所以，
所以，
故选：A.
4. 若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A. 12B. 25C. 27D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
5. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案.
【详解】函数中，，解得，
又开口向下，对称轴方程为，
函数上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
6. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，）
A. 33B. 35C. 37D. 39
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．
【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，
列方程得，
解得，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”2倍．
故选：．
7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数在上单调递增，可知各段分别在对应自变量范围上单调递增，且在时满足，在分析函数的单调性时需分类讨论.
【详解】因为函数在上单调递增，
当，即时，需满足，解得，
所以；
当，即时，需满足，
即，解得，又，所以,
综上，实数的取值范围为.
故选：B
8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数的图象，由图象可知，方程只有个根，则方程有个根，数形结合可得出实数的取值范围.
详解】当时，，
由可得或，
由题意可知，关于的方程、共有五个根，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，方程只有个根，故方程有个根，则.
故选：B.
二､多项选择题：本题共3小题，每小題6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用一次函数和二次函数的性质，判断选项中函数的奇偶性和单调性.
【详解】对于A，函数是偶函数，在上单调递增，A选项正确；
对于B，函数是偶函数，在上解析式为，单调递增，B选项正确；
对于C，函数是奇函数，C选项错误；
对于D，函数是偶函数，在上单调递减，D选项错误；
故选：AB.
10. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：举例分析判断；对于BC：根据不等式的性质分析判断；对于D：根据不等式的性质结合作差法分析判断.
【详解】对于选项A：例如，则，故A为假命题；
对于选项B：若，则，即，故B为真命题；
对于选项C：若，则，可得，故C为假命题；
对于选项D：因为，则，所以，故D为假命题；
故选：ACD
11. 已知定义在上的函数，满足，且当x>1时，，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；令可得奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D.
【详解】对于A，在中，令得，因此， 再令得，则，故A错误；
对于B，令得，所以，是偶函数，故B正确；
对于C，设，则，，
所以，在上是增函数，
从而，故C正确；
对于D，是偶函数，则等价于，
又在上是增函数，所以，解得且，故D错误.
故选：BC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若幂函数是奇函数，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用函数为幂函数求出的值，再验证函数是否为奇函数即可.
【详解】是幂函数，
则有，解得或，
时，是奇函数；
时，是偶函数，不合题意，舍去，
所以.
故答案为：2.
13. 设y=f(x)是定义在R上的函数，满足，且；当时，，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用函数周期性求函数值．
【详解】函数满足f−x=fx，且f1+x=f1−x
则有，
故函数是周期为2的函数．
.
故答案为：3.
14. 若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得在区间上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解.
【详解】由得，
由题意知在区间上单调递增.
①时，在区间上单调递增，符合题意；
②时，在区间上单调递增，
若在区间上单调递增，则，即对恒成立，
所以成立，故，即；
③时，对恒成立，此时，
函数由，复合而成，在上单调递增且，
而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若在上单调递增，则，即.
综合①②③可知a的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了复合函数的增减性问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及结合复合函数单调性“同增异减”法则判断，从而求解.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若存在正实数m，使得""是""成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式，，再由集合交运算即可求解；
（2）解不等式，由题意得，列出不等式即可求解.
【小问1详解】
，即，解得，
所以，
当时，可得，即，解得，
所以，
所以.
【小问2详解】
，
所以，又，
解得，所以，
由题意得，
所以，解得，
所以的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）证明：函数是奇函数；
（2）用定义证明：函数在0,+∞上是增函数.
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可；
（2）根据增函数的定义证明即可.
【小问1详解】
由函数,可得其定义域为R，关于原点对称,
又由,
所以函数为定义域R上的奇函数.
【小问2详解】
当时,,
任取,且,
可得
因为,且，可得,
所以，即.
所以函数在上是增函数.
17. 某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气．已知每制备氦气所需的原料成本为百元．若氦气日产量不足，日均额外成本为（百元）；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．
（1）写出总成本（百元）关于日产量的关系式
（2）当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．
【答案】（1）
（2）当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元
【解析】
【分析】（1）根据生产天数要求，可确定的取值范围；计算可得日产量不足和大于等于时，氦气的平均成本，由此可得关系式；
（2）分别在、的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求得最小值，综合两种情况可得结论.
【小问1详解】
若每天生产氦气，则需生产天，，则；
若氦气日产量不足，则氦气的平均成本为百元；
若氦气日产量大于等于，则氦气的平均成本为百元；
.
【小问2详解】
当时，（当且仅当，即时取等号），
当时，取得最小值；
当时，，令，则，
，则当，即时，取得最小值；
综上所述：当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元.
18. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求；
（2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数是奇函数得出，，即可求出参数；
（2）先根据函数的单调性及奇函数列出方程，再结合指数函数的值域列出不等式组即可求参.
【小问1详解】
由是定义域为的奇函数，则，解得，
则，由于，解得，则，
经检验：，则满足题意.则.
【小问2详解】
由于，易得在定义域内单调递减.
则由恰有两个不同的实根.由于是定义域为的奇函数且单调递减，
则有两个不同根即可.则有两个不同根即可.
令与个数一一对应，转化为有两个不同正根即可.
满足，解得，即，
故的取值范围为.
19. 若函数y=fx对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题中定义，运用特例法进行判断即可；
（2）根据题中定义，结合指数函数的单调性、二次函数的性质进行求解即可；
（3）根据二次函数对称轴与所给的区间的位置关系，结合对钩函数、一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
对于函数的定义域R内存在，
则，故不是“依赖函数”.
【小问2详解】
因为在递增，故，即，
由，故，得，
从而，设
当时，函数单调递增，
故；
【小问3详解】
①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若故在上单调递增，
∴，解得或（舍）.
∴存在，使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，
得，由，可得，
又在单调递增，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据二次函数的对称轴与所给区间的位置分类进行求解.