福建省三明市列东中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份福建省三明市列东中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分；考试时间：120分钟）
卷面要求：整洁，无涂改．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卡的相应位置）
1. 如图，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故选C．
2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC=AB，CB=OA，
∵点A，C坐标分别是（6，0），（0，3），
∴AB=3，OA=6，
∴点B坐标为（6，3），
故选：B．
【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标．
3. 在中，，，，则等于（ ）

A. 10B. 8C. 9D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行可得，问题即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴＝，
解得：，
故选：D．
4. 根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的根，看0在相对应的哪两个值之间，那么近似根就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可．
【详解】解：
∵当时，，当时，，
∴当时，一定有一个x对应的值使得，
∴一元二次方程的一个根的范围是，
故选：D．
5. 有一个从不透明的袋子中摸球的游戏，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（ ）
A. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球
B. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球
C. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球
D. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球
【答案】A
【解析】
【分析】根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球
【详解】解：观察树状图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则是随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球，
故选：A．
【点睛】此题考查列表法与树状图法求概率，解题关键于利用树状图进行解答．
6. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，，
，
故选：A
7. 如图，不能判定和相似的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可．
【详解】解：A.由知，且，所以可判断和相似，故选项A不符合题意；
B.∵，且，所以可判断和相似，故选项B不符合题意；
C.∵，且，所以可判断和相似，故选项C不符合题意；
D.由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意；
故选：D．
8. 如图，正方形的边长为6，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，连接．若，则的长为（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．由可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
9. 如图，在中，，点分别是的中点，顺次连接，在从逐渐增大到的过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A. 平行四边形→菱形→平行四边形
B. 平行四边形→矩形→平行四边形
C. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
D. 平行四边形→矩形→正方形→平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中位线．熟练掌握三角形的中位线性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，是解题的关键．
根据三角形中位线定理，得到，得到，得到四边形是平行四边形，当时，是矩形，，得到，得到是菱形；当时，或时，，∴，四边形是平行四边形，
【详解】连接，
∵E、F、G、H是的各边中点，
∴，
∴，
当时，
∵中，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，是矩形，
∴，
∴，
∴是菱形，
当时，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形形状的变化依次是：平行四边形→菱形→平行四边形．
故选：A．
10. 如图，在中，，点为边上的中点，以为顶点作一个的角交、边于、两点，连结，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（ ）
A. 的周长B. 的周长
C. 的周长D. 的周长
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关性质与判定是银题的关键，此题综合性较强，有一定难度，属中考压轴题．
取中点，连结，在上截取，连结，先证明，得，根据，得出，从而证得，即，得到，从而可证，得出，进而可证明，得到，即可得出
，即可得出结论．
【详解】解：取中点，连结，在上截取，连结，如图，
由，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
∴，
，
，
由相似可知：，，
，
，
，
即为周长的一半．
故选：B．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）
11. 若=，则的值为___________
【答案】
【解析】
【分析】先将代数式化简，再把已知的值代入计算即可求解．
【详解】解： ， ，
∴，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查代数式的化简求值，解题的关键是掌握代数式的加减乘除的计算法则．
12. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：
在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为．
故答案为：．
13. 关于的一元二次方程的两实数根分别为，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；
直接利用根与系数的关系求得即可．
【详解】解：根据根与系数的关系可知：，
故答案为：
14. 如图，菱形的对角线与BD相交于O点，，过点A作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了菱形性质，直角三角形的性质，熟掌握以上性质是解题的关键；根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
，
，
故答案为：3．
15. 如图在矩形ABCD 中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF 是对角线BD 的垂直平分线，则EF 的长为_______．
【答案】cm
【解析】
【详解】分析：EF是BD的垂直平分线，则OB＝OD，进而可以判定△BOF≌△DOE，得OE＝OF，在相似三角形△BOF和△BAD中，即可求FO的长，根据FO即可求EF的长．
详解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，
∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE，则OE＝OF，
∵∠OBF＝∠ABD，
∴△BOF∽△BAD
∴＝，
∵BD＝＝10cm，
∴BO＝5cm，
∴FO＝5×cm＝cm，
∴EF＝2FO＝cm．
故答案为：cm．
点睛：本题考查了垂直平分线的性质，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求BD的长是解题的关键．
16. 定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。
其中正确的有_________（填正确的序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②③进行判断；利用反例对④进行判断．
【详解】解：的倒方程为，把代入方程得，解得，所以①正确；
当时，一元二次方程的根的判别式，也为一元二次方程，此方程的的根的判别式△，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以②正确；
一元二次方程无解，则，即，一元二次方程的倒方程为的根的判别式，则它的倒方程也无解，所以③正确；
一元二次方程有两个不相等的实数根，则，当，时，为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以④错误．
故答案为：①②③
三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）运用配方法，直接开平方即可求解；
（2）运用提取公因式法，进行因式分解即可求解．
【小问1详解】
解：
移项得，
配方，等式两边同时加上得，，整理得，，
直接开方得，，
移项得，，
∴，．
【小问2详解】
解：
移项得，
提取公因式得，
∴或，
∴，．
【点睛】本题主要考查配方法，因式分解法解一元二次方程，掌握配方法，因式分解法是解题的关键．
18. 如图所示，矩形的对角线，相交于点，，．求证：四边形是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质和菱形的判定．在矩形中，可得，，，可得四边形是平行四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形．
【详解】证明：，，
四边形是平行四边形．
四边形是矩形，
，，
，
四边形是菱形．
19. 如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连结并延长到点，使，连结并延长到点，使，连结．量得的长为米，求池塘两端的距离．
【答案】米
【解析】
【分析】根据，，可得，，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（米），
∴池塘两端的距离为米．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，掌握其判定方法，性质的综合运用是解题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答的关键．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由方程总有两个不相等的实数根，可得出，解之即可得出，进而可得出当时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论k为何值，方程总有一个不变的根为．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴当时，这个方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：∵，即，
∴或，
∴，，
∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为．
21. 某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？
【答案】这种衬衫的销售价为70元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系式．设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为元，根据总利润＝一件利润×销售数量列方程解答．
【详解】解：设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为元，
，
整理，得，
解得：，．
为使顾客获得更多优惠，
所以，．
答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为70元．
22. 如图，是小华制作的一个可自由转动的转盘，其中标有数字“1”、“2”和“3”的两个扇形圆心角均为90°．转动转盘，当转盘的指针停止后，指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）求小华转动一次转盘后，得到数字2的概率；
（2）小华想利用自己设计的转盘，和同学小刚进行一场游戏，游戏规则为：他们两人各转动转盘一次，若两次所得数字之和为偶数，则小华胜；若两次所得数字之和为奇数，则小刚胜，请你用列表或画树状图的方法判断，这个游戏是否公平．
【答案】（1）得到数字2的概率为；
（2）这个游戏不公平．
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）将标有数字的扇形两等分可知转动转盘一次共有4种等可能结果，其中转出的数字是2的有1种结果，根据概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，再利用概率公式求解，比较即可求解．
【小问1详解】
解：标有数字3、2的扇形的圆心角均为，
将标有数字1的扇形两等分，
可知转动转盘一次共有4种等可能结果，
故小华转动转盘一次，得到数字的概率为：；
【小问2详解】
解：这个游戏不公平，
将标有数字1的扇形两等分，画树状图如下：
，
一共有16种等可能结果，两次转出数字之和为偶数的有10种，两次转出数字之和为偶数的有6种，
小华胜的概率为：；小刚胜的概率为：；
，
故这个游戏不公平．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上．
（1）用尺规作出正方形DECF；
（2）求正方形DECF的边长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，先作∠ACB的平分线，得到点D，再分别过点D作AC和BC的垂线，得到点E和点F，顺次连接即可；
（2）设正方形的边长为x，根据题意证明△AED∽△ACB，得到，求解即可.
【详解】解：（1）如图，
∴正方形DECF就是所求的；
（2）设正方形的边长为x，则AE=4－x，
在正方形DECF中，DE∥CF
∴∠AED=∠ACB，
∵∠A=∠A
∴△AED∽△ACB
∴
∴
∴x=
∴正方形DECF的边长为.
【点睛】本题考查了尺规作图，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法和相似三角形的应用.
24. 制作无盖盒子
任务一：如图，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为，容积为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请求出这块矩形纸板的长和宽；
任务二：图是一个高为的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图是其底面，在五边形中，，，，．
（2）试判断图中与的数量关系，并加以证明；
（3）图中的五棱柱盒子可按图所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少厘米？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，纸板厚度及剪切接缝处损耗均忽略不计）．
【答案】（1）矩形纸板的长为，宽为；（2），见解析；（3）矩形纸板的长至少为，矩形纸板的宽至少为
【解析】
【分析】此题考查几何变换综合题，解题关键在于作辅助线．
（1）设矩形纸板的宽为，则长为，根据题意列出方程，解之即可；
（2）延长、分别交直线于点、，先证明，再证明，得到即可解答；
（3）如图，连接，并向两个方向延长分别交矩形纸板的宽于点，，过点，分别作于点，于点，于点，则即为矩形纸板的长，即为矩形纸板的宽，根据解直角三角形的有关知识即可解答．
【详解】（1）解：设矩形纸板的宽为，则长为，
由题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
．
答：矩形纸板的长为，宽为．
（2）解：．证明如下：
如图，延长，分别交直线于点，，
，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，并向两个方向延长分别交矩形纸板的宽于点，，过点，分别作于点，于点，于点，
则即为矩形纸板的长，即为矩形纸板的宽，，
，
，
，
，
，，
，
设，则
解得：，
，，
，同理
，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
∴，
，
，
矩形纸板的长至少为，矩形纸板的宽至少为．
25. 如图1，在中，，点D为中点，于点E，连接，
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）如图2，过点C分别作于点F，于点G，求证：与互相平分．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明，再证明，根据相似三角形的性质即可得到答案；
（2）由得到,设则过点E作于点H，则，证明，即可证明；
（3）连接，过点E作于点H，则，设则根据（2）证明，由得到，证明，得到，证明，由得到，由勾股定理得到，则，即可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：在中，，点D为中点，
∴，，，
∵于点E，
∴，
∴，
∴，
∴
∴,
【小问2详解】
∵
∴,
设则
∴，
∴，
∴
∴
过点E作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，，
∵
∴
∴,
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
连接，过点E作于点H，则，
设则
由（2）可得，，，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∵于点G，
∴，
由（2）得,
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
…
…
…
…
试种数量
发芽的频率