福建省厦门市海沧实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省厦门市海沧实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案是中心对称图形的是( )
A. 中国火箭B. 中国探火
C. 航天神舟D. 中国行星探测
2.方程x(x−1)=0的根是( )
A. x=0B. x=1
C. x1=0，x2=1D. x1=1，x2=−1
3.⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A. 点A在⊙O上B. 点A在⊙O内C. 点A在⊙O外D. 无法确定
4.若x=1是一元二次方程x2−2mx+3=0的解，则m的值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
5.把抛物线y=−2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为( )
A. y=−2(x+3)2+2B. y=−2(x−3)2+2
C. y=−2(x+3)2−2D. y=−2(x−3)2−2
6.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的直径为10cm，OE=3cm，则AB长为( )
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 8cm
7.对于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法正确的是( )
A. 开口向下B. 对称轴是直线x=−1
C. 顶点坐标(−1,−2)D. 与x轴有交点
8.某人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程( )
A. x+(1+x)=121B. 2(1+x)=121
C. 1+x+x2=121D. 1+x+x(1+x)=121
9.把关于x的一元二次方程x2−8x+c=0配方，得(x+m)2=11，则c+m的值为( )
A. 1B. 3C. 5D. 10
10.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线y=ax2−3x+1上的两点，其对称轴是直线x=x0，若|x1−x0|>|x2−x0|时，总有y1>y2，同一坐标系中有M(−2,−3)，N(4,3)，且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是( )
A. a≤−52B. −52二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在平面直角坐标系中，点A(3,n)与B(m,2)关于原点对称，则m+n=______.
12.已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为−3和−1，则p=______.
13.如图，C，D在圆上，AB是直径，若∠D=64∘，则∠BAC=______.
14.二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为______.
15.在“一圈两场三改”活动中，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形场地上修建三条同样宽且互相垂直的小路，剩余的空地上种植草坪.根据规划，小路分成的六块草坪总面积为570m2(如图所示).求小路的宽为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意所列方程是______.
16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下，过A(−1,0)，B(m,0)两点，且11，则y1三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：2x2+3x−4=0.
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−1x−1)÷x−2x2−1，其中x=3.
19.(本小题8分)
芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个.试解决下列问题：
(1)求前三季度生产量的平均增长率；
(2)按照(1)中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点.若∠ACD=35∘，求∠DAE的度数.
21.(本小题8分)
已知二次函数的顶点坐标为(−1,4)，且图象经过点(0,3).
(1)求这个函数解析式；
(2)在直角坐标系，画出它的图象.
22.(本小题10分)
如图，△ABC绕点A逆时针旋转120∘得到△ADE，点C的对应点为E.
(1)尺规作图，画出旋转后的△ADE.(保留痕迹，不写作法)
(2)设直线BC与DE相交于P，求∠CPD的大小.
23.(本小题10分)
新定义：如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−2,0)，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”.
(1)试判断二次函数y=−3x2−3x+6的图象是否为“定点抛物线”；
(2)若定点抛物线y=x2+(m+1)x+2−k与直线y=x只有一个公共点，求m的值；
(3)若一次函数y=(2−n)x+4−2n的图象与定点抛物线y=−x2−x+2的交点的横坐标分别为x1和x2，且x1<324.(本小题12分)
下面是小慧同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现.题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化.在数学学习中注意归纳总结一些数学方法，对积累解题经验，提高解题能力有重要的促进作用.
【探究发现】
问题1：如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA=5，PB=12，PC=13.你能求出∠APB的度数吗？
探究思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60∘，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而可求线段PP′，∠APP′，∠APB；
【类比探究】
问题2：如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC=1，PB=2，PA=3，则可求∠CPB；
【深入探究】
问题3：如图4，⊙O是Rt△ABC的外接圆，CD平分∠ACB交⊙O于点D，探究线段AC，BC，CD的之间的数量关系.
探究思路：如图5，连接AD，BD，则四边形ACBD是圆的内接四边形.由于圆内接四边形对角互补，并且由CD平分∠ACB易得AD=BD，所以我们也可以利用旋转变换解决这个问题.具体解答过程如下：任务：
(1)填空：图2中线段PP′=______；
(2)如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC=1，PB=2，PA=3，则∠CPB=______；
(3)请写出问题3的探究结论及完整的证明过程.
25.(本小题14分)
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)和点B(位于x轴的正半轴)，与y轴交于点C.
(1)b=______(用含c的代数式表示)；
(2)若△ABC的面积为6，点P，Q为二次函数y=x2+bx+c图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且0①求该二次函数的表达式；
②若∠APQ=2∠PAO，则2OM+ON是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A.
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形得出结论即可．
本题主要考查的是中心对称，熟练掌握中心对称的概念是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵x(x−1)=0，
∴x=0或x−1=0，
∴x1=0，x2=1.
故选：C.
根据解一元二次方程的因式分解法，让每个因式为0进行求解即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练运用因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B.
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d4.【答案】D
【解析】解：把x=1代入x2−2mx+3=0得：1−2m+3=0，
解得：m=2，
故选：D.
把x=1代入x2−2mx+3=0进行计算即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5.【答案】C
【解析】解：由上加下减，左加右减的法则可知，抛物线y=−2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，得y=−2(x+3)2−2.
故选：C.
按“上加下减，左加右减”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：连接OA，如图所示，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OA=5cm，
∵OE⊥AB于E，
∴AE=12AB，
在Rt△AOE中，OE=3cm，
∴AE= OA2−OE2= 52−32=4(cm)，
∴AB=2×4=8(cm)，
故选：D.
根据垂径定理求出AE=12AB，根据勾股定理求出AE=4cm，据此即可得解．
此题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由y=(x−1)2−2，可知，a=1>0，则抛物线的开口向上，
∴A选项不正确，
抛物线的对称轴为x=1，
∴B选项不正确，
抛物线的顶点坐标为(1,−2)，
∴C选项不正确，
令y=0，则(x−1)2−2=0，
∴x−1=± 2，
∴x1=1+ 2,x2=1− 2，
∴抛物线与x轴的交点为：(1+ 2,0),(1− 2,0)，
∴D选项正确，符合题意；
故选：D.
根据二次函数的性质对A进行判断；由抛物线顶点式可对B，C进行判断；令y=0，则(x−1)2−2=0，可求出方程的根，对D进行判断．
本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意可知：第一轮传染后的感染人数为：(1+x)人，
第二轮传染后的感染人数为：x(1+x)人，
故可列方程为：1+x+x(1+x)=121，
故选：D.
先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出方程即可，
本题考查根据实际问题列出一元二次方程，能够找到等量关系是解决本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：x2−8x+c=0，
x2−8x=−c，
x2−8x+42=42−c，
(x−4)2=16−c，
∵(x+m)2=11，
∴m=−4，16−c=11，
解得c=5，
∴c+m=5−4=1.
故选：A.
利用配方法把方程x2−8x+c=0化为(x−4)2=16−c，则根据题意得到m=−4，16−c=11，再求出c，然后计算c+m的值．
本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：设直线MN的解析式为y=kx+b(k≠0)，
则−2k+b=−34k+b=3，解得：k=1b=−1，
∴直线MN的解析式为y=x−1，
∵A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线y=ax2−3x+1上的两点，其对称轴是直线x=x0，若|x1−x0|>|x2−x0|时，总有y1>y2，
∴a>0，
∵抛物线y=ax2−3x+1与线段MN有两个不相同的交点，
∴x=4时，y≥3，且抛物线与直线MN有交点，
∴16a−12+1≥3，解得：a≥78；
令x−1=ax2−3x+1，整理得：ax2−4x+2=0，
∵Δ=16−8a>0，
∴a<2，
∴78≤a<2.
故选：C.
先利用待定系数法求出MN的解析式，根据二次函数的性质得出x=4时，y≥3，且−−32a≤4，进一步利用Δ>0求解即可．
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象上的点的特征等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】−5
【解析】解：∵点A(3,n)与B(m,2)关于原点对称，
∴m=−3，n=−2，
则m+n=−3−2=−5.
故答案为：−5.
直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
12.【答案】4
【解析】解：由题意可知：−3+(−1)=−p，
解得：p=4；
故答案为：4.
由根与系数的关系得−3+(−1)=−p，即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系：x1+x2=−bax1⋅x2=ca是解题的关键．
13.【答案】26∘
【解析】解：连接BC，
∵∠D=64∘，
∴∠B=∠D=64∘，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠BAC=90∘−∠B=90∘−64∘=26∘，
故答案为：26∘.
连接BC，根据圆周角定理得出∠B=∠D，∠ACB=90∘，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
14.【答案】−1
【解析】解：把点(−2,7)(−1,2)，(0,−1)代入y=bx+c，得：
a−b+c=2c=−14a−2b+c=7，
解得：a=1b=−2c=−1，
∴二次函数的解析式为y=x2−2x−1，
当x=2时，y=m=22−2×2−1=−1.
故答案为：−1.
利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解．
本题主要考查了求二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键．
15.【答案】(32−2x)(20−x)=570
【解析】解：设道路的宽为x m，则草坪的长为(32−2x)m，宽为(20−x)m，
根据题意得：(32−2x)(20−x)=570.
故答案为：(32−2x)(20−x)=570.
将六小块草坪合在一起可得出一个长方形，设道路的宽为x m，则草坪的长为(32−2x)m，宽为(20−x)m，根据矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】②④
【解析】解：∵对称轴x=−1+m2>0，
∴对称轴在y轴右侧，
∴−b2a>0，
∵a<0，
∴b>0，
故①错误；
当m=32时，对称轴x=−b2a=14，
∴b=−a2，
当x=−1时，a−b+c=0，
∴3a2+c=0，
∴3a+2c=0，故②正确；
由题意，抛物线的对称轴直线x=h，0∵点M(x1,y1)，N(x2,y2)在抛物线上，x11，
∴点M到对称轴的距离<点 N到对称轴的距离，
∴y1>y2，故③错误；
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−m)，
方程a(x+1)(x−m)=1，
整理得，ax2+a(1−m)x−am−1=0，
Δ=[a(1−m)]2−4a(−am−1)
=a2(m+1)2+4a，
∵1∴Δ>0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：②④．
①错误．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；
②正确．3a+2c=0；
③错误．由题意，抛物线的对称轴直线x=h，01，推出点M到对称轴的距离<点 N到对称轴的距离，推出y1>y2；
④正确，证明判别式>0即可．
本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：∵a=2，b=3，c=−4，
∵△=b2−4ac=9+32=41，
∴x=−3± 414，
∴x1=−3+ 414, x2=−3− 414.
【解析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=x−1−1x−1⋅(x+1)(x−1)x−2
=x+1，
当x=3时，原式=3+1=4.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】解：(1)设前三季度生产量的平均增长率为x，
∵开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个，
∴100(1+x)2=144，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(舍去)，
答：前三季度生产量的平均增长率为20%；
(2)第四季度的芯片生产量为144×(1+20%)=172.8万个，
∵172.8<175，
∴该目标不能实现．
【解析】(1)根据平均增长率问题列方程求解即可；
(2)根据增长率求出第四季度的芯片生产量再比较作答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确的列方程求解是解题的关键．
20.【答案】解：∵D为弧AC的中点，
∴AD=CD，AC=2AD，
∴∠B=2∠ACD.
又∵∠ACD=35∘，
∴∠B=70∘.
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70∘，
∴∠BCD=70∘+35∘=105∘.
由题意可知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD=180∘−∠BCD=75∘，
∴∠DAE=180∘−75∘=105∘.
【解析】先求解∠B=70∘，可得∠BCD=70∘+35∘=105∘，再利用圆的内接四边形的性质可得答案．
本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握其性质是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4，
把点(0,3)坐标代入y=a(x+1)2+4中得：a+4=3，
∴a=−1，
∴y=−(x+1)2+4=−x2−2x+3，
∴这个函数解析式为y=−x2−2x+3；
(2)列表如下：
描点、连线得到函数图象如下：

【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4，再把点(0,3)坐标代入求得a的值，即可求解；
(2)先列表，顶点除外，在对称轴两侧对称地各取两个自变量值，求出其函数值，再描点、连线即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，描点法画二次函数图象．熟练利用五点法画二次函数图象是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，分别以点A，B为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点M；分别以点A，M为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点D；分别以点A，C为圆心，AC为半径画弧，两弧相交于点N；分别以点A，N为圆心，AC为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、AD、DE，△ADE即为所求；
(2)∵∠EAC=120∘，∠AED=∠ACB，∠ACB+∠ACP=180∘，
∴∠AED+∠ACP=180∘，
∵∠EAC+∠AED+∠ACP+∠CPD=360∘，
∴120∘+180∘+∠CPD=360∘，
∴∠CPD=60∘.
【解析】(1)分别以点A，B为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点M；分别以点A，M为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点D；分别以点A，C为圆心，AC为半径画弧，两弧相交于点N；分别以点A，N为圆心，AC为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、AD、DE，△ADE即为所求；
(2)先根据旋转性质得∠EAC=120∘，∠AED=∠ACB，再根据平角性质、四边形内角和即可求解．
本题考查的知识点是尺规作图画三角形、旋转性质、平角性质．四边形内角和，解题关键是熟练掌握尺规作图画三角形的方法．
23.【答案】解：(1)由题意，∵当x=−2时，对于二次函数y=−3x2−3x+6，
∴y=−3×4+6+6=0.
∴该二次函数过(−2,0).
∴二次函数y=−3x2−3x+6的图象是“定点抛物线”．
(2)由题意，∵定点抛物线y=x2+(m+1)x+2−k与直线y=x只有一个公共点，
∴可得方程x=x2+(m+1)x+2−k，即x2+mx+2−k=0满足Δ=m2−4(2−k)=0.
又y=x2+(m+1)x+2−k为定点抛物线，
∴4−2(m+1)+2−k=0，则k=4−2m.
∴m2−4(−2+2m)=0.
∴m=4±2 2.
(3)令−x2−x+2=(2−n)x+4−2n，
则(x+2)(x−1)=(n−2)(x+2)，
∴(x+2)(x−1−n+2)=(x+2)(x−n+1)=0.
∴交点的横坐标为−2和n−1.
∵x1<3∴n−1>3.
∴n>4.
【解析】(1)依据题意，由当x=−2时，对于二次函数y=−3x2−3x+6，可得y=−3×4+6+6=0，进而可以判断得解；
(2)依据题意，由定点抛物线y=x2+(m+1)x+2−k与直线y=x只有一个公共点，可得方程x=x2+(m+1)x+2−k，即x2+mx+2−k=0满足Δ=m2−4(2−k)=0，
又y=x2+(m+1)x+2−k为定点抛物线，从而4−2(m+1)+2−k=0，则k=4−2m，故m2−4(−2+2m)=0，进而计算可以得解；
(3)依据题意，令−x2−x+2=(2−n)x+4−2n，则(x+2)(x−1)=(n−2)(x+2)，从而(x+2)(x−n+1)=0，可得交点的横坐标为−2和n−1，结合x1<33，最后计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
24.【答案】12 135∘
【解析】(1)解：∵将△BPC绕点B逆时针旋转，得到△BP′A，
∴BP=BP′=12，PC=P′A=13，∠PBP′=60∘，
∴△BPP′是等边三角形，
∴BP=PP′=12，
故答案为：12；
(2)解：将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90∘，使AB与BC重合，连接PP′，
则∠PBP′=90∘，BP′=BP=2，P′C=PA=3；
由勾股定理得：PP′2=22+22=8；
∵PC2=12=1，P′C2=32=9，
∴P′C2=PP′2+PC2，
∴∠P′PC=90∘，
又∵∠BPP′=45∘，
∴∠BP′C=135∘，
∴∠CPB=∠BPP′+∠P′PC=135∘，
故答案为：135∘；
(3) 2CD=AC+BC；
证明：延长CA到点E，使得AE=BC，连接DE.如图：
∵四边形ACBD是圆的内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD=180∘，
∵∠CAD+∠EAD=180∘，
∴∠CBD=∠EAD，
∵CD是角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45∘，DA=DB，
∴△ADE≌△CDB(SAS)，
∴AE=BC，DE=DC，∠ADE=∠CDB，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠EDC=90∘，
∴EC= 2DC，即CA+AE= 2CD=AC+BC.
(1)由旋转的性质可得BP=BP′=12，PC=P′A=13，∠PBP′=60∘，可证△BPP′是等边三角形，可得BP=PP′=12，∠BPP′=60∘；
(2)将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90∘，使AB与BC重合；则∠PBP′=90∘，BP′=BP=2，P′C=PA=3，根据勾股定理得PP′2=22+22=8，再由P′C2=32=9，PC2=12=1可知P′C2=PP′2+PC2，可求∠P′PC=90∘，即可求∠CPB=135∘；
(3)延长CA到点E，使得AE=BC，连接DE.构造△ADE≌△CDB，即可得出BC+AC=EC，再证△CDE是等腰直角三角形，即可得出EC和CD的关系，即AC、CD、BC的关系．
本题属于圆的综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
25.【答案】c+1
【解析】解：(1)将点A(−1,0)代入y=x2+bx+c得1−b+c=0，
∴b=c+1，
故答案为：c+1；
(2)①∵二次函数y=x2+bx+c与y轴交于点C.
∴C(0,c)，
∵b=c+1，
∴y=x2+bx+c=x2+(c+1)x+c=(x+1)(x+c)，
令y=0，则x=−1或−c，
∴B(−c,0)，
∵A(−1,0)，
∴AB=−c+1，
∵△ABC的面积为6，
∴S△ABC=12AB⋅OC=12(−c+1)⋅(−c)=12c2−12c=6，
解得c=−3或4(舍去)，
∴b=c+1=−3+1=−2，
∴该二次函数的表达式为y=x2−2x−3；
②过点P作PH⊥x轴于点H，设直线PQ交x轴于点D，
设P(m,m2−2m−3)，Q(n,n2−2n−3)，直线PQ的解析式为y=kx+a，
∴3mk+a=m2−2m−3nk+a=n2−2n−3，解得k=m+n−2a=−3−mn，
∴直线PQ的解析式为y=(m+n−2)x−3−mn，
∵∠APQ=2∠PAO，∠APQ=∠PAO+∠ADP，
∴∠BAP=∠ADP，
∴PA=PD，
∵PH⊥x轴，
∴AH=DH，H(m,0)，
∵A(−1,0)，
∴D(2m+1,0)，
∵D在直线PQ上，
∴(m+n−2)(2m+1)−3−mn=0，
∴n=5−2m，
∴N(5−2m,4m2−16m+12)，
设直线AP的解析式为y=px+q，
∴−p+q=0mp+q=m2−2m−3，解得k=m−3b=m−3，
∴直线AP的解析式为y=(m−3)x+m−3，
∴M(0,m−3)，
∴OM=3−m，
同理得N(0,2−2m)，ON=2m−2，
∴2OM+ON=2(3−m)+2m−2=4.
∴2OM+ON是定值，该定值为4.
(1)将点A(−1,0)代入y=x2+bx+c，即可得b=c+1；
(2)①求出C(0,c)，根据S△ABC=12AB⋅OC=6，可得c=−3，即可得该二次函数的表达式；
②过点P作PH⊥x轴于点H，设直线PQ交x轴于点D，设P(m,m2−2m−3)，Q(n,n2−2n−3)，利用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=(m+n−2)x−3−mn，由∠APQ=2∠PAO，可得∠BAP=∠ADP，求出D(2m+1,0)，由D在直线PQ上得n=5−2m，则N(5−2m,4m2−16m+12)，利用待定系数法求出AP，AQ的解析式，可得M(0,m−3)，N(0,2−2m)，则OM=3−m，ON=2m−2，可得2OM+ON=4.
本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，待定系数法，一次函数图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、待定系数法求函数的解析式是解题的关键．x
−2
−1
0
1
2
3
4
y
7
2
−1
−2
m
2
7
x
……
−3
−2
−1
0
1
……
y=−x2−2x+3
……
0
3
4
3
0
……