福建省莆田第九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份福建省莆田第九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知命题，则是， 下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. RD.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】或，
，
所以.
故选：D.
2. 已知命题，则是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用量词命题的否定方法即可得解.
【详解】因为量词命题的否定方法为：改量词，否结论，
又，
所以为.
故选：D.
3. 中文"函数"一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是"凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数"，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同一函数的对应法则和定义域相同判断各项函数是否为同一函数即可.
【详解】A：，显然与的对应法则不同，不符；
B：与的对应法则和定义域都相同，符合；
C：的定义域为，显然与的定义域不同，不符；
D：的定义域为，显然与的定义域不同，不符.
故选：B
4. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可.
【详解】对A，该函数的定义域为，故A错误；
对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确；
对C，当时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误；
对D，该函数的值域不是为，故D错误.
故选：B.
5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论和时，从而求出不等式恒成立时实数的取值范围.
【详解】当时，，解得，不合题意；
当时，，解得.
故选：.
6. 函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得，利用函数的单调性可得，解可得x的取值范围，即可得答案．
【详解】因为函数在上单调递减，且为奇函数，
若，则，
由可得：，
解得：.
故选：D.
7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. (－∞，1]B. (1，5)C. [1，5)D. [1，4]
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的单调性可求解．
【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数，
则，解得．
故选：D．
8. 已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，由已知不等式和等式可求得的奇偶性和单调性，将所求不等式化为，由单调性可得自变量大小关系，进而解得结果.
【详解】不妨令，则由得：，
令，则在上单调递增；
，，
为定义在R上的奇函数，在R上单调递增；
由得：，即，
，解得：，即不等式的解集为.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小題6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数在定义域上是奇函数且在区间单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由奇函数的定义可知都为奇函数，分析单调性可得答案.
【详解】选项A，，，
定义域关于原点对称，且，则是奇函数，
且该反比例函数在单调递减，故A正确；
选项B，，当时，与都单调递增，
则在单调递增，故B错误；
选项C，，由图象可知该函数为奇函数，
且在单调递减，故C正确；
选项D，，由，
知，，不满足在区间单调递减，故D错误.
故选：AC.
10. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 若是一次函数，满足，则
C. 函数的图象与轴最多有一个交点
D. 函数在上单调递减函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域即可判断A；利用待定系数法即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据反比例函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A，因为函数的定义域为，则，
所以函数的定义域为，故A正确；
对于B，设，
则，
所以，解得或，
所以或，故B错误；
对于C，根据函数的定义可得函数的图象与轴最多有一个交点，故C正确；
对于D，函数在上是单调递减函数，故D错误.
故选：AC.
11. 已知定义在R上函数满足，当时，，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在R上单调递减D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.
【详解】A选项，中，
令中，令得，
令得，即，A正确；
B选项，中，令得，解得，
中，令得，
故奇函数，B正确；
C选项，中，令，且，
故，即，
当时，，故，
即，故在R上单调递增，C错误；
D选项， 由A知，，
又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据分段函数解析式直接求解即可.
【详解】.
故答案为：
13. 已知点在一次函数y=mx+n的图象上，其中，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取等条件.
【详解】由点在一次函数y=mx+n的图象上，
可得，又，
则，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
14. ，用表示fx,gx较小者，记为，若，则的单调递减区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数新定义及一次、二次函数的图象，数形结合确定的单调递减区间.
【详解】根据已知函数解析式，可得如下示意图，为实线部分图象，
由图知，的单调递减区间为.
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）将写成分段函数的形式，并作出函数的图象；
（2）写出其单调区间（不用证明）.
【答案】（1），图象见解析；
（2）增区间，减区间
【解析】
【分析】（1）按的正负分类讨论去掉绝对值号，得到分段函数的形式；
（2）观察图象得到函数的单调性及单调区间.
小问1详解】
当时，，当时，，
故.
图象如下图:
【小问2详解】
由图可知：的单调递增区间：；
单调递减区间：.
16. 已知全集，集合，
（1）若，求
（2）若“”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】当时，可得，则或x>7}，然后求交集即可；
由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“x∈Q”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可．
【小问1详解】
当时，，或x>7}，
因为，所以；
【小问2详解】
若“”是“x∈Q”的充分不必要条件，即，
当时，，此时，满足，
当时，则，解得：，且和不能同时成立，
综上所述：实数a的取值范围为
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式.
【答案】（1）；
（2）单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质求得，结合对应函数值求得，即得解析式；
（2）应用单调性定义，作差法证明函数单调性；
（3）根据函数的奇偶性、单调性解不等式即可.
【小问1详解】
由题设，即，故，
由，故；
【小问2详解】
函数在上的单调递增，证明如下：
令，则，
而，故，
故函数在上的单调递增.
【小问3详解】
由题设得，则，
故解集为.
18. 某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）．
（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
【答案】（1）这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；
（2）当运转3年时，这批机器的年平均利润最大
【解析】
【分析】（1）配方得到最值，得到答案；
（2）设出年平均利润为，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【小问1详解】
，
因为，且，所以当时，取得最大值，
故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；
【小问2详解】
设年平均利润为，
因为，且，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大.
19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.
（1）函数①②，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由；
（2）已知函数.
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值.
【答案】（1）①是，②不是，理由见解析；
（2）①；②或．
【解析】
【分析】（1）求出两个函数在上的最大值和最小值后判断；
（2）①分类讨论确定函数在上的最大值和最小值，由差为1得出值；②分类讨论求出函数在上的最大值和最小值，由差为1得值．
【小问1详解】
在上的最大值为3，最小值为2，最大值与最小值的差为1，是在上的“美好函数”；
在上递增，最大值为4，最小值是1，最大值与最小值的差为3，不是在上的“美好函数”；
【小问2详解】
①，
(i)时，在上递增，时，，时，，所以；
(ii)时，在上递减，时，，时，，所以得，
综上，；
②当时，函数为，
(i)当时，函数在上单调递增，
，解得；
(ii)当即时，函数在上单调递减，
，解得；
(iii)当时，函数在上递减，在上递增，
因此，
若，则，由得或，均舍去；
若，则，由，得，均舍去，
综上，或．
【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上最值问题，一是需要根据二次项系数的正负分类讨论，二是要根据对称轴与所给区间的关系分类讨论：对称轴在区间的左侧，区间上，区间的右侧，对于对称轴在区间时，还要根据区间的端点离对称轴的远近分类才能正确地得出函数的最大值与最小值．