2023-2024学年福建省福州三中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省福州三中高一（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足(1+i)z−=1−i，则z2024=( )
A. iB. −1C. 1D. −i
2.已知a，b是不共线的向量，且AB=a+b，AC=ma+2b，CD=3a+2b，若B，C，D三点共线，则m=( )
A. 12B. 32C. 52D. 72
3.已知l1，l2，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l1⊂α，l2⊂β，α∩β=l.设甲：l1/​/l，乙：l1//l2，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球D. 至少有一个黑球与至少有一个红球
5.已知圆锥的表面积为9π，它的侧面展开图是个半圆，则此圆锥的体积为( )
A. 3B. 3πC. 9D. 9π
6.某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为n1，n2，方差分别为s12，s22，则( )
A. n1>n2,s12>s22B. n1>n2,s12s22
7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))在区间(π3,5π6)上单调递减，f(π3)=−f(5π6)=1，则φ=( )
A. π3B. 4π9C. 11π18D. 7π9
8.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的下底面边长为2 3，侧棱与下底面所成角的大小为45°，则该正四棱台体积的取值范围是( )
A. (0, 6)B. (0,3 3)C. (0,4 6)D. (0,12 6)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.如图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则( )
A. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D. 2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为20379元
10.在一个有限样本空间中，事件A，B，C发生的概率满足P(A)=P(B)=P(C)=13，P(A∪B)=59，A与C互斥，则下列说法正确的是( )
A. P(AC−)=13B. A与B相互独立
C. P(ABC)=127D. P(A∪B∪C)≤89
11.如图，一张矩形白纸ABCD，AB=4，AD=4 2，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点N.现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，则下列命题正确的是( )
A. 当平面ABE//平面CDF时，AC//平面BFDE
B. 当A，C重合于点P时，PD⊥平面PFM
C. 当A，C重合于点P时，三棱锥P−DEF的外接球的表面积为24π
D. 当A，C重合于点P时，四棱锥P−BFDE的体积为8 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2，且(b−2a)⊥b，则|b|= ______．
13.某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为x1−,x2−和S12,S22.若x1−=x2−,S12=20,S22=30，则该校高一年级全体学生身高的方差为______．
14.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B−sin2C=sinCsinA，则bc的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
已知z是复数，z+2i和z1−i均为实数，z1=z+1m−mm−1i，其中i是虚数单位．
(1)求复数z的共轭复数z−；
(2)若复数z1在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcsC−c=2a．
(1)求B的大小；
(2)若a=3，且AC边上的中线长为 192，求△ABC的面积．
17.(本小题12分)
小明从一幅扑克牌中挑出J和K共8张牌(J和K各四个花色：红桃(红色)、方块(红色)、黑桃(黑色)、梅花(黑色)).现从这8张牌中依次取出2张，抽到一张红色J和一张红色K即为游戏获胜.现有三种游戏方式，如下表：
(1)分别求出在三种不同游戏方式下获胜的概率；
(2)若三种游戏方式小明各进行一次，第一次采取方式①，后两次采用方式②和方式③，那么方式②和方式③按照怎样的顺序进行游戏能使得三次游戏中仅连续两次获胜的概率最大？
18.(本小题14分)
已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示(每组区间均为左开右闭)．

尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造．
(1)若M=60，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数；
(2)若M∈(60,70]，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件．
现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H(M)(单位：元)的取值范围．
19.(本小题15分)
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形ABEF是等腰梯形，AB/​/EF，AF=1，平面ABCD⊥平面ABEF，三棱锥A−BCE的体积为 312．
(1)求点E到平面ABCD的距离；
(2)设G是棱CD上一点，若二面角G−AE−B的正切值是3，求CG．
20.(本小题14分)
点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上(点M与P，Q两点均不重合)，我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记(P,Q；M)=|AP|sin∠PAM|AQ|sin∠MAQ；若点M在线段PQ外，记(P,Q；M)=−|AP|sin∠PAM|AQ|sin∠MAQ．
(1)若M在正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB的延长线上，且AB=2BM=2，由A1对AB施以视角运算，求(A,B；M)的值；
(2)若M在正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB上，且AB=2，由A1对AB施以视角运算，得到(A,B；M)=12，求AMMB的值；
(3)若M1，M2，M3，⋯，Mn−1是△ABC的边BC的n(n≥2)等分点，由A对BC施以视角运算，证明：(B,C；Mk)×(B，C；Mn−k)=1(k=1，2，3，⋯，n−1)．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.C
5.B
6.C
7.C
8.C
9.AC
10.ABD
11.AC
12. 22
13.25.1
14.( 2, 3)
15.解：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，则z+2i=a+(b+2)i，
∵z+2i为实数，∴b+2=0，解得b=−2，
∴z1−i=a−2i1−i=(a−2i)(1+i)(1+i)(1−i)=a+22+a−22i为实数，
∴a−22=0，解得a=2，
∴z=2−2i，
∴z−=2+2i；
(2)由(1)可知，z1=z+1m−mm−1i=2+1m−(2+mm−1)i=2m+1m−3m−2m−1i，
∵复数z1在复平面内对应的点在第一象限，
∴2m+1m>0−3m−2m−1>0，解得23故实数m的取值范围为(23,1)．
16.解：(1)∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcsC−c=2a，
∴由余弦定理得2b⋅a2+b2−c22ab−c=2a，化简得a2+c2−b2=−ac，
∴csB=a2+c2−b22ac=−12，
∵B∈(0,π)，
∴B=2π3；
(2)由(1)可得b2=a2+c2+ac=c2+3c+9①，
又csC=a2+b2−c22ab②，
取AC的中点D，连接BD，
在△CBD中，csC=BC2+CD2−BD22BC⋅CD=a2+b24−19ab③，
由②③得2c2−b2=1④，
由①④得c2−3c−10=0，解得c=5或c=−2(舍去)，
∴c=5，
∴SΔABC=12acsinB=12×3×5× 32=15 34．
17.解：(1)设方式①的样本空间为Ω1，方式②的样本空间为Ω2，方式③的样本空间为Ω3，
此时n(Ω1)=8×8=64，n(Ω2)=8×7=56，n(Ω3)=4×4+4×4=32，
设事件A=“抽到一张红色J和一张红色K”，
则A={(红桃J，红桃K)，(红桃J，方块K)，(方块J，红桃K)，(方块J，方块K)，(红桃K，红桃J)，(红桃K，方块J)，(方块K，红桃J)，(方块K，方块J)}，
故p1=n(A)n(Ω1)=864=18，p2=n(A)n(Ω2)=856=17，p3=n(A)n(Ω3)=832=14；
(2)若按①②③顺序连续两次获胜的概率P1=18×17×(1−14)+(1−18)×17×17=5112，
若按①③②顺序连续两次获胜的概率P2=18×14×(1−17)+(1−18)×14×17=13224，
因为13224>5112，
所以按照①③②的顺序进行游戏能使得三次游戏中仅连续两次获胜的概率最大．
18.解：(1)一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.020+0.024+0.020+0.020)×10=0.84，
则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500×0.84=420，
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.024+0.016)×10=0.4，
则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500×0.40=200；
(2)一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为：
0.004×10+0.012×10+0.02×(M−60)=0.02M−1.04，
二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为：0.024×(70−M)+0.016×10=1.84−0.024M，
故H(M)=(0.02M−1.04)×0.02×5000+(1.84−0.024M)×0.01×5000=0.8M−12，
因为M∈(60,70]，
所以H(M)∈(36,44]．
19.解：(1)设点E到平面ABCD的距离为ℎ，
则VA−BCE=VE−ABC=13⋅ℎ⋅S△ABC，
因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以S△ABC=12，
又因为三棱锥A−BCE的体积为 312，
所以16ℎ= 312，解得ℎ= 32，
即点E到平面ABCD的距离为 32．
(2)如图，过E作EH⊥AB与AB的延长线交于H点，

因为平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，
EH⊂平面ABEF，所以EH⊥平面ABCD，
由(1)知，EH= 32，
又因为在等腰梯形ABEF中，BE=1，
所以由勾股定理可得，BH=12，
所以AH=32，
在直角三角形AHE中，由勾股定理得，AE= 3，
所以∠EAB=30°，
过G作GI⊥AB，垂足为I，作IO⊥AE，垂足为O，
因为平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，GI⊂平面ABCD，
所以GI⊥平面AEB，
又因为IO，AE⊂平面AEB，所以GI⊥IO，GI⊥AE，
又因为IO⊥AE，GI∩IO=I，所以AE⊥平面GIO，
又GO⊂平面GIO，所以AE⊥GO，
所以∠GOI为二面角G−AE−B的平面角，
所以tan∠GOI=GIIO=3，
设CG=x，因为GI⊥AB，所以GI//BC，
所以BI=CG=x，AI=1−x，
又因为IO⊥AE，∠EAB=30°，
所以OI=12(1−x)，
所以112(1−x)=3，解得x=13，
所以CG=13，
20.解：(1)如图1，

因为AB=2BM=2，所以AM=3,A1B=2 2,A1M= 13，
由正方体的定义可知AA1⊥AB，则∠A1AB=90°，
故sin∠AA1B= 22,cs∠AA1B= 22，
sin∠AA1M=3 1313,cs∠AA1M=2 1313，
因为∠BA1M=∠AA1M−∠AA1B，
所以sin∠BA1M=sin∠AA1Mcs∠AA1B−cs∠AA1Msin∠AA1B= 2626，
则(A,B；M)=−A1Asin∠AA1MA1Bsin∠MA1B=−2×3 13132 2× 2626=−3；
(2)如图2，设AM=a(0≤a≤2)，

则sin∠AA1M=a a2+4a2+4,cs∠AA1M=2 a2+4a2+4，
因为∠BA1M=∠AA1B−∠AA1M，
所以sinMA1B=sin(∠AA1B−∠AA1M)=2 2 a2+42(a2+4)− 2a a2+42(a2+4)=(2−a) 2(a2+4)2(a2+4)，
则(A,B；M)=A1Asin∠AA1MA1Bsin∠MA1B=2×a a2+4a2+42 2×(2−a) 2(a2+4)2(a2+4)=a2−a=12，解得a=23，
故AMMB=a2−a=12；
(3)证明：如图3，

因为M1，M2，M3，⋯，Mn−1是BC的n等分点，所以BMk=CMn−k
=knBC,BMn−k=CMk=n−knBC．
在△ABMk中，由正弦定理可得BMksin∠BAMk=ABsin∠AMkB，
则ABsin∠BAMk=BMksin∠AMkB.
在△ACMk中，同理可得ACsin∠CAMk=CMksin∠AMkC.
因为∠AMkB+∠AMkC=π，所以sin∠AMkB=sin∠AMkC，
则(B,C；Mk)=ABsin∠BAMkACsin∠CAMk=BMksin∠AMkBCMksin∠AMkC=BMkCMk=kn−k．
同理可得(B,C；Mn−k)=BMn−kCMn−k=n−kk．
故(B,C；Mk)×(B,C；Mn−k)=kn−k×n−kk=1(k=1,2,3,⋯,n−1)． 游戏方式
方式①
方式②
方式③
抽取规则
有放回依次抽取
不放回依次抽取
按颜色等比例分层抽样
获胜概率
p1
p2
p3