2024-2025学年浙江省“A9 协作体”高二第一学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省“A9 协作体”高二第一学期期中联考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x+y−3=0的倾斜角是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.向量a=(x,1,2)，b=(1,−y,8)，若a//b，则( )
A. x=−14，y=14B. x=14，y=−4
C. x=14，y=4D. x=−14，y=−4
3.若点P(1,m)在圆C:x2+y2−2x+2y+1=0内，则m的取值范围是( )
A. (−∞,−2)B. [−2,0]C. (0,2)D. (−2,0)
4.若直线ax+(a−3)y+3=0与直线x+ay−3=0垂直，则a的值是( )
A. 2B. 0C. 0或2D. 2或−2
5.已知椭圆x24+y29=1的下焦点是F1，上焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在x轴上，那么|PF2|:|PF1|=( )
A. 2:7B. 1:7C. 1:2D. 3:4
6.已知平面上两定点A，B，则满足|PA||PB|=k(常数k>0且k≠1)的动点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在△PAB中，AB=4，PA=2PB，则△PAB面积的最大值是( )
A. 4B. 83C. 323D. 163
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A、B两点，其中B为上顶点，且3AF1=2F1B，则椭圆C的离心率e=( )
A. 2 55B. 55C. 25D. 105
8.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市A、B、C，其中A在C正西60km处，B在C正东100km处，台风中心在C城市西偏南30∘方向200km处，且以每小时40km的速度沿东偏北30∘方向直线移动，距台风中心10 34km内的地区必须保持一级警戒，则从A地解除一级警戒到B地进入一级警戒所需时间(单位：小时)在以下哪个区间内( )
A. (1,32)B. (32,2)C. (2,3)D. (12,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 空间向量a=(1,−1,−2)与b=(−2,2,4)垂直
B. 已知空间向量a=(1,2,0)，b=(−1,0,3)，则b在a方向上的投影向量的模为 55
C. 已知向量a=(2,x,4)，b=(−1,2,1)，c=(0,1,1)，若{a,b,c}可作为一组基底，则x可取1
D. 若a=(2,−1,1)和b=(1,1,2)分别是直线l1和直线l2的方向向量，则两直线所成夹角为π6
10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，短轴长为2，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
A. 过点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为8
B. 存在点P，使得PF1的长度为4
C. 椭圆上存在4个不同的点P，使得PF1⊥PF2
D. △PF1F2内切圆半径的最大值为2 3−3
11.在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有( )
A. 曲线x2+y2=|x|+|y|恰好经过9个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
B. 曲线x2+y2=|x|−|y|夹在直线y= 2−12和直线y=1− 22之间
C. 曲线x2+y2=3|x|+3|y|所围成区域面积是x2+y2=|x|+|y|所围成区域面积的9倍
D. 曲线x2+y2=4|x|+|y|上任意两点距离都不超过2 15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l:mx+(m+1)y+2=0(m∈R)经过的定点坐标为 ．
13.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是60∘，则线段A1C的长度为 ．
14.若点P1(x1,y1)在椭圆x24+y2=1上，点P2(x2,y2)在直线x+2y−4=0上，则|x2−x1|+2|y2−y1|的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点C在直线l:x−y+2=0上运动，点A为(0,−2)，点B为(2,0)．
(1)求直线AB的方程;
(2)△ABC的面积是否为定值?若是，求出该值.若不是，说明理由．
16.(本小题15分)
在平面直角坐标系xy中，已知圆C:x2+y2−4x+m=0(m∈R)及点A(−1,0)和B(1,0)
(1)若斜率为1的直线l过点B，且与圆C相交，截得的弦长为 2，求圆C的半径r;
(2)已知点P在圆C上，且∠APB=90°，若点P存在两个位置，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，AB/​/CD，AD⊥AB，且AB=2CD=2AD=2，平面ABCD⊥平面BCFE，四边形BCFE为正方形．
(1)求证：BF⊥AE．
(2)若点P在线段DF上，且点P到平面ACF距离为 23，求平面PAC与平面PAB夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右焦点分别为F1，F2，点(0, 3)在椭圆上，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，当直线BD的斜率为0时，|BD|+|AC|=7．
(1)求椭圆的方程;
(2)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1⋅PF2的取值范围;
(3)求四边形ABCD的面积的最小值．
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系O−xyz中，任何一个平面都能用方程Ax+By+Cz+D=0表示.(其中A，B，C，D∈R且A2+B2+C2≠0)，且空间向量n=(A,B,C)为该平面的一个法向量.有四个平面α1:x+z−2=0，α2:y+z−2=0，α3:x+y+z−2=0，α4:x+y+mz−2=0(m≠1,m≠2,m∈R)
(1)若平面α3与平面α4互相垂直，求实数m的值;
(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=|Ax0+By0+Cz0+D| A2+B2+C2;
(3)若四个平面α1，α2，α3，α4围成的四面体的外接球体积为4 3π，求该四面体的体积．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.A
6.D
7.B
8.A
9.BC
10.ACD
11.ABC
12.(2,−2)
13. 2
14.4−2 2
15.解：(1)由A(0,−2)，B(2,0)得kAB=−2−00−2=1，
由点斜式方程y−(−2)=x−0，化简得x−y−2=0；
(2)△ABC的面积为定值；
由于kAB=1=k1，故AB//l，
又点C在直线l:x−y+2=0上运动，故点C到直线AB的距离为定值，即为两平行直线的距离dC=dl−AB=|2−(−2)| 12+(−1)2=2 2．
AB= 22+(−2)2=2 2，
SΔABC=12AB⋅dC=12×2 2×2 2=4
16.解：(1)圆C:x2+y2−4x+m=0可化为(x−2)2+y2=4−m，
圆心为(2,0)，半径r= 4−m，
直线l的方程为x−y−1=0，圆心到直线距离为d=1 2．
由弦长公式l=2 r2−d2=2 r2−12= 2，得r=1；
(2)因为∠APB=90°，
所以点P在以AB为直径的圆上，
不妨记为圆O:x2+y2=1，
从而圆C与圆O有两个交点，
又圆心距|OC|=2，
只需满足|r−1|<2故−517.(1)证明：如图，连接CE，AC，∵AC2=AD2+CD2=2，
∴AC= 2，又BC= 2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又∵平面ABCD⊥平面BCFE，且平面ABCD∩平面BCFE=BC，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BCFE，而BF⊂平面BCFE，∴AC⊥BF，
而四边形BCFE为正方形，则BF⊥CE，且AC∩CE=C，AC，CE⊂平面ACE，
∴BF⊥平面ACE，
∵AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE．
(2)解：∵平面ABCD⊥平面BCFE，且平面ABCD∩平面BCFE=BC，CF⊥BC，CF⊂平面BCFE，
∴CF⊥平面ABCD，又CF⊂平面ACF，
故平面ACF⊥平面ABCD，
从而点D到平面ACF的距离为点D到直线AC的距离，且为 22，
又点P在线段DF上，且点P到平面ACF距离为 23，故点P为线段DF的三等分点(靠近D点)，
如图，取AB中点M，以C为原点，CD所在直线为x轴，CM所在直线为y轴，CF所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(−1,1,0)，D(1,0,0)，F(0,0, 2)，P(23,0, 23)，
又AB=(−2,0,0)，PA=(13,1,− 23)，
设平面PAB的法向量m=(x1,y1,z1)，则m·AB=−2x1=0m⋅PA=13x1+y1− 23z1=0,
不妨令y1= 2，可得m=(0, 2,3)，
同理，可求平面PAC的一个法向量n=(1,−1,− 2)，
设平面PAC与平面PAB夹角为θ，则csθ=n⋅m|n||m|=2 2211，
所以平面PAC与平面PAB夹角的余弦值为2 2211．
18.解：(1)当直线BD的斜率为0时，直线AC垂直于x轴，
∴|BD|=2a，|AC|=2b2a，即|BD|+|AC|=2a+2b2a=7，
(0, 3)在椭圆上，所以b= 3，结合a>b>0
解得：a=2，b= 3，所以椭圆方程为x24+y23=1;
(2)所以F1(−1,0)，F2(1,0)，设P(x,y)，则PF1⋅PF2=x2+y2−1=x2+3(1−x24)−1=x24+2，
因为x∈[−2,2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1⋅PF2有最小值2，
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1⋅PF2有最大值3，
所以PF1⋅PF2的取值范围为[2,3]；
(3)(i)当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k(x+1)，代入椭圆方程x24+y23=1，
并化简得(4k2+3)x2+8k2x+4k2−12=0.设B(x1,y1)，D(x2,y2)，
则x1+x2=−8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3，
|BD|= 1+k2|x1−x2|= (1+k2)(x1+x2)2−4x1x2=12(k2+1)4k2+3;
因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为−1k，所以，|AC|=12(1k2+1)4×1k2+3=12(k2+1)3k2+4．
四边形ABCD的面积S=12|BD||AC|=72(k2+1)2(4k2+3)(3k2+4)≥72(k2+1)24k2+3+3k2+422=28849，
当k2=1时，上式取等号．
(ii)当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积6．
综上，四边形ABCD的面积的最小值为28849．
19.解：(1)平面α 3的法向量n1=(1,1,1)，平面α 4的法向量n2=(1,1,m)，
所以n1⋅n2=1×1+1×1+1×m=0，故m=−2．
(2)证明：不妨设C≠0，在平面Ax+By+Cz+D=0内取一点Q(0,0,−DC)，
则向量QP=(x0,y0,z0+DC)，
取平面Ax+By+Cz+D=0的一个法向量n=(A,B,C)，
则点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
d=|QP⋅n||n|=|Ax0+By0+Cz0+D| A2+B2+C2．
(3)由x+z−2=0y+z−2=0x+y+z−2=0解得交点E(0,0,2)，
同理，可得其它交点F(0,2,0)，G(2,0,0)，H(2m−2m−2,2m−2m−2,−2m−2)，
又四面体H−EFG外接球体积为4 3π，故外接球半径R= 3，
设球心O1为(a,b,c)，则O1E=O1F=O1G= 3，
即有a2+b2+(c−2)2=3a2+(b−2)2+c2=3(a−2)2+b2+c2=3得O1(1,1,1)或O1(13,13,13)，
当球心坐标为O1(1,1,1)时，O1H2=(mm−2)2+(mm−2)2+(−mm−2)2=3，得m=1(舍去)，
当球心坐标为O1(13,13,13)时，O1H2=(5m−43m−6)2+(5m−43m−6)2+(−m−43m−6)2=3，
得m=1(舍去)或m=−52，故H(149,149,49)，
H(149,149,49)到平面EFG即α 3:x+y+z−2=0的距离为
ℎ=|Ax0+By0+Cz0+D| A2+B2+C2=|149+149+49−2| 12+12+12=14 327，
又，故．