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2024-2025学年广东省佛山市南海区桂城中学高二（上）期中数学试卷（含答案）
展开这是一份2024-2025学年广东省佛山市南海区桂城中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|y=2x−1}，集合B={y|y=x2}，则集合A∩B=( )
A. (1,1)B. {(1,1)}C. {1}D. [0,+∞)
2.设a为实数，则“a≥1a2”是“a2≥1a”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)=x2,x≥0−x,x<0，则f[f(−2)]=( )
A. 2B. −4C. 4D. 16
4.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(4−x)，当−2≤x<0时，f(x)=1x，则f(72)=( )
A. −2B. −27C. 27D. 2
5.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，满足f(2)=1且对于定义域内任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立，那么f(2)+f(4)的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.定义在R上的函数f(x)满足：f(x+2)是偶函数，且函数y=f(x)的图象与函数y=1(x−2)2的图象共有n个交点：(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，则x1+x2+…+xn=( )
A. 0B. nC. 2nD. 4n
7.若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间(2,+∞)上是单调函数，则实数ba的取值范围是( )
A. (−4,+∞)B. [−4,+∞)C. (−∞,−4]D. (−∞,−4)
8.定义在[−1,1]上的函数f(x)满足下列两个条件：①对任意的x∈[−1,1]，都有f(−x)−f(x)=0.②对任意的m，n∈[0,1]，且m≠n，都有f(m)−f(n)m−n<0，则不等式f(1−3x)≤f(x−1)的解集是( )
A. [0,23]B. [12,2]∪{0}C. [0,2]D. [12,23]∪{0}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−3或x≥4}，则下列说法正确的是( )
A. a>0
B. 不等式bx+c<0的解集为{x|x>−12}
C. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}
D. a+b+c>0
10.已知x，y是正数，且2x+y=1，下列叙述正确的是( )
A. xy最大值为18B. 4x2+y2的最小值为12
C. x(x+y)最大值为14D. x+2y2xy最小值为4
11.已知函数y=f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(x−1)，则下列说法正确的是( )
A. 函数y=f(x)有2个零点
B. 当x<0时，f(x)=−x(x+1)
C. 不等式f(x)<0的解集是(0,1)
D. ∀x1，x2∈[−1,1]，都有|f(x1)−f(x2)|≤12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数f(x)=(a2−3a−3)xa在(0,+∞)为增函数，则实数a的值为______．
13.设函数f(x)=x2024−1|x|+5，则不等式f(x−1)<5的解集为______．
14.若函数f(x)=(x2−2x)(x2+ax+b)的图象关于x=−2对称，则f′(x)的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|x2−4x−5≤0}，B={x|a−1
(2)若A∩B≠⌀，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产.生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产x千台，需另投入成本R(x)(单位：万元)，R(x)=12x2+450x(1≤≤60)510x+36000x−10−3000(60
(2)当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？
17.(本小题15分)
若f(x)为R上的奇函数，且x≤0时，f(x)=x2−2x．
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)判断函数f(x)在(−∞,0]上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于x的不等式f(ax−a)+f(−x−2)>0．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax2+2x+3(a∈R)．
(1)当a=−1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)解不等式f(x)>0．
19.(本小题17分)
函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且对一切x>0，y>0，都有f(xy)=f(x)−f(y)，当x>1时，有f(x)>0．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(4)=2，解不等式f(x−6)−f(1x)≤4．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.D
5.C
6.C
7.B
8.D
9.ABC
10.AB
11.BCD
12.4
13.(0,1)∪(1,2)
14.−36
15.解：(1)集合A={x|x2−4x−5≤0}={x|−1≤x≤5}，
∵A∩B=B，
∴B⊆A，
当B=⌀时，a−1≥2a−1，解得a≤0，
当B≠⌀时，a−1<2a−1a−1≥−12a−1≤5，解得0
(2)∵A∩B≠⌀，
∴a−1<2a−1a−1<52a−1>−1，解得0
16.解：(1)由题意得空调销售收入为0.5×1000x=500x(万)，
则P(x)=500x−(12x2+450x)−1000(1≤x≤60)500x−(510x+36000x−10−3000)−1000(60
当1≤x≤60时，P(x)=−12(x−50)2+250，
∴当x=50时，P(x)取得最大值250；
当60
∴当x=70时，P(x)取得最大值700，
综上所述，当年产量为70000台时，年利润最大，最大为700万元．
17.解：(1)∵x≤0时，f(x)=x2−2x．
若x>0，则−x<0，
∴f(−x)=x2+2x，
∵f(x)是奇函数，
∴f(−x)=x2+2x=−f(x)，
即f(x)=−x2−2x，(x>0)．
即f(x)=x2−2x,x≤0−x2−2x,x>0．
(2)设x1
=(x1−x2)(x1+x2)−2(x1−x2)=(x1−x2)(x1+x2−2)，
∵x1
∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
即f(x)在(−∞,0]上单调递减．
(3)∵f(x)是R上的奇函数，且在(−∞,0]上单调递减，
∴f(x)在R上单调递减，
由f(ax−a)+f(−x−2)>0得f(ax−a)>−f(−x−2)=f(x+2)，
即ax−a
若a=1，则a−1=0，此时不等式恒成立，解集为R，
若a>1，则a−1>0，此时x< a+2a−1，
即a<1时，不等式的解集为( a+2a−1,+∞)；a=1时，不等式的解集R；a>1时，不等式的解集为(−∞, a+2a−1).
18.解：(1)当a=−1时，f(x)=−x2+2x+3，
f(x)>0即−x2+2x+3>0，可化为x2−2x−3<0，
方程x2−2x−3=0的根为：x1=−1，x2=3，
所以，不等式的解为：−1
①当a=0时，不等式化为2x+3>0，解得x>−32．
②当a>0时，抛物线开口向上，此时△=4−12a，
(i)△<0，即a>13时，方程ax2+2x+3=0无解，不等式解为：R．
(ii)△=0，即a=13时，方程ax2+2x+3=0有唯一解，x=−3，不等式解为：x≠−3．
(iii)△>0，即0
③a<0时，抛物线开口向下，此时△=4−12a，
显然△>0，方程ax2+2x+3=0有两解，x1=−1− 1−3aa，x2=−1+ 1−3aa，且x1>x2．
不等式解为−1+ 1−3aa
当a<0时，不等式解集为{x|−1+ 1−3aa
当0
当a=13时，不等式解集为{x|x≠−3}；
当a>13时，不等式解集为R．
19.解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)−f(1)=0，
所以f(1)=0．
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1
∵x2>x1>0，
∴x2x1>1，故f(x2x1)>0，
∴f(x2)−f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数．
(3)因为f(4)=2，所以f(164)=f(16)−f(4)，
则f(16)=2f(4)=4，
f(x−6)−f(1x)≤4，
得f(x2−6x)
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