2024-2025学年山东省青岛市四区（城阳、黄岛、即墨、胶州）高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市四区（城阳、黄岛、即墨、胶州）高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知数列{an}的通项公式为an=(−1)n⋅n，则该数列是( )
A. 摆动数列B. 递减数列C. 递增数列D. 常数数列
2.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n−1，则a1+a7=( )
A. 18B. 17C. 16D. 15
3.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，则A与B的关系为( )
A. 相互独立B. 互为对立C. 互斥D. 相等
4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，4，x，6，7，9，若该组数据的中位数与平均数相同，则该组数据的第60百分位数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a2和a6是方程x2−9x+10=0的两个根，则lga1+lga2+…+lga7=( )
A. 52B. 3C. 72D. 4
6.已知事件A，B互斥，A，B都不发生的概率为14，且P(A)=3P(B)，则P(A−)=( )
A. 13B. 23C. 716D. 916
7.已知{an}为等差数列，若a4+a6+a8=2π，则tan(a3+a9)的值为( )
A. 33B. 3C. − 33D. − 3
8.若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为( )
A. 73B. 133C. 173D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某地区组织高中创新作文大赛，从5000名考生的参赛成绩中随机选取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则( )
A. a的值为0.030B. 抽取的考生中成绩在区间[80,90)有15人
C. 5000名考生中约有10名成绩优秀D. 估计考生成绩的平均分小于中位数
10.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋯+nan=[n(n+1)2]2，则( )
A. 数列{ an}为等差数列B. an+an+2<2an+1
C. i=1n1ai<2D. 数列{(−1)nan}的前2n项和为2n2+n
11.连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p，第二次向上的点数为q，设A=[pq]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则( )
A. P(p>q)=12B. P(p+q=7)=16
C. 事件p+q=7与A=3互斥D. 事件q=1与A=0相互对立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列{an}中，a1=1，an+1=an+ln(1+1n)，则{an}的通项公式为______．
13.袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得1、0、−1分，则两次得分之和为0分的概率为______．
14.质点每次都在四边形ABCD的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在A点，则经过2次移动到达C点的概率为______，经过n次移动到达C点的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，{Snan}是公差为12的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=an⋅2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知空气质量指数(AQI)不超过100为“优良”等级，某市统计了40天的空气质量指数，并将数据整理如图表：
请根据以上信息，解答以下问题：
(1)直接写出m，n，t的值，并把频率分布直方图补充完整；
(2)估计该市这40天空气质量指数(AQI)的平均数；
(3)在选取的样本中，从空气质量指数(AQI)在区间[80,120)的两组指数中按分层抽样抽取6个，再从这6个中抽取2个，求这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率．
17.(本小题15分)
已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=an2+an．
(1)求证：数列{1an+1}为等比数列；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn<2．
18.(本小题17分)
甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为p，平局的概率为p2，其中0(1)若甲队先主场后客场，且p=12，
(i)求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
(ⅱ)求甲队获得冠军的概率；
(2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为p2，平局的概率为p2，点球大战甲队获胜的概率为p.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
19.(本小题17分)
已知数列{an}满足0≤a1(1)若n=3，a2=3，求a1和a3；
(2)若n=4，a2=3，求a4−a3；
(3)若{an}的最后一项为2024，求数列{an}的前n项和Sn．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.D
5.C
6.C
7.B
8.C
9.AD
10.ACD
11.BC
12.an=1+lnn
13.310
14.18 14+(−12)n+1
15.解：(1)由a1=1，{Snan}是公差为12的等差数列，可得Snan=1+12(n−1)=n+12，
当n=2时，a1+a2=32a2，解得a2=2，
由Sn=n+12an，当n≥2时，Sn−1=n2an−1，
两式相减可得an=Sn−Sn−1=n+12an−n2an−1，
化为(n−1)an=nan−1，
则ann=an−1n−1=，可得an=n，对n=1也成立，
则an=n，n∈N∗；
(2)bn=an⋅2an=n⋅2n，
数列{bn}的前n项和Tn=1×2+2×4+3×8+...+n⋅2n，
2Tn=1×4+2×8+3×16+...+n⋅2n+1，
两式相减可得−Tn=2+4+8+...+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，
化为Tn=(n−1)⋅2n+1+2．
16.解：(1)由题意n=40×0.25=10，m=40−(4+6+10+8+4)=8，t=840=0.20，补充直方图如下：

(2)由直方图得，该市这40天空气质量指数(AQ1)的平均数为：
10×0.10+30×0.15+50×0.20+70×0.25+90×0.20+110×0.10=62；
(3)由题意，[80,100)与[100,120)得频数之比为2：1，
所以区间[80,120)的两组指数中按分层抽样抽取6个，区间[80,100)中有4个，区间[100,120)中有2个，
“优良”等级为区间[80,100)中的4个数据记为1，2，3，4，区间[100,120)中的2个数据记为a，b，
从这6个抽取2个所有可能的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1,a)，
(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)(4,a)，(4,b)，(a,b)，共15种情况，
其中空气质量指数都是“优良”等级有6种，
故这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率为615=25．
17.证明：(1)由a1=1，an+1=an2+an，可得1an+1=1+2an，
即有1an+1+1=2(1an+1)，
则数列{1an+1}是首项和公比均为2的等比数列；
(2)由(1)可得1an+1=2n，即有an=12n−1，
当n=1时，S1=a1=1<2；
当n≥2时，12n−1<12n−1，
则Sn<1+12+14+...+12n−1=1−12n1−12=2(1−12n)<2．
综上可得，Sn<2．
18.解：(1)(i)记甲队通过点球大战获得冠军为事件A，
则事件A包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，
∴甲队通过点球大战获得冠军的概率为：
P(A)=[p(1−p)+(1−32p)⋅12p+12p⋅12p)]⋅p=32p2(1−p)，
∵p=12，
∴P(A)=32×14×12=316，
∴甲队通过点球大战获得冠军的概率为316．
(ii)记甲队获得冠军为事件B，
事件B包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，
∴甲队获得冠军的概率为：
P(B)=32p2(1−p)+p⋅12p+p⋅12p+12p⋅12p=114p2−32p3，
将p=12代入，得P(B)=114p2−32p3=114×14−32×18=12，
∴甲队获得冠军的概率为12．
(2)由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件C，
事件C包含甲队胜，甲队平同时点球胜，
∴P(C)=p2+12p⋅p=32p2，
∵0此时0P(B)−P(C)=114p2−32p3−32p2=54p2−32p3=14p2(5−6p)，
∵00，5−6p>0，
∴P(B)−P(C)=14p2(5−6p)>0，
∴“主客场比赛“比“单场比赛制”更有利于甲夺冠．
19.解：(1)由题知，an+an=2an>an，所以an+an∉{an}，故an−an=0∈{an}，
又0≤a1同理a2+a3∉{an}，故a3−a2∈{an}，又0所以a3−a2=a2=3，解得a3=6，
故得：a1=0，a3=6；
(2)由(1)知a1=0，a2+a3=a4或者a3−a2=a2，
当a2+a3=a4时，a4−a3=a2=3，
当a3−a2=a2时，a3=6，此时a4−a3=a2=3，或a4−a3=a3=6，
即a4=9，或a4=12，
经验证，当a4=12时，a4+a2∉{an}，a4−a2∉{an}，
此时数列{an}不合题意；故a4=9时符合要求，此时a4−a3的值为3；
(3)由(1)知a1=0，又因为0≤a1所以0≤an−an又因为an−i+an>an(i=1,2,…,n−1)，所以an−i+an∉{an}，an−an−i∈{an}，
所以an−an=a1，an−an−1=a2，…，an−a1=an，
所以Sn=a1+a2+…+an=(an−an)+(an−an−1)+…+(an−a1)=nan−Sn．
又因为{an}的最后一项为2024
所以Sn=n2an=1012n． 空气质量指数(AQI)
频数(天)
频率
0≤x<20
4
0.10
20≤x<40
6
0.15
40≤x<60
m
t
60≤x<80
n
0.25
80≤x<100
8
0.20
100≤x<120
4
0.10
合计
40
1.00