2024-2025学年江西省南昌市江西师大附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省南昌市江西师大附中高二（上）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线3x−(a−2)y−2=0与直线x+ay+8=0互相垂直，则a=( )
A. 1B. −3C. −1或3D. −3或1
2.已知椭圆C：x2m+y2=1，则“m=2”是“椭圆C的离心率为 22”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，
点N为BC中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12cD. 23a+23b−12c
4.点F1，F2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2=90°，则椭圆C方程可以是( )
A. x225+y29=1B. x225+y216=1C. x26+y29=1D. x216+y29=1
5.若2x−1= (x−2)2+y2，则x2+y2的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.若实数x，y满足(x−2)2+y2=1，则下列结论错误的是( )
A. 2x+y≤4+ 5B. (x−2)y≤12C. yx≤ 33D. 2x−y≤5
7.已知F1，F2分别是双曲线E：x24−y212=1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|=( )
A. 4B. 2C. 3D. 1
8.从椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点P(x0,y0)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则直线AB称作点P关于椭圆C的极线，其方程为x0xa2+y0yb2=1.现有如图所示的两个椭圆C1，C2，离心率分别为e1，e2，C2内含于C1，椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线为l，若原点O到直线l的距离为1，则e12−e22的最大值为( )
A. 12B. 13C. 15D. 14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于曲线E：mx2+ny2=1，下列说法正确的是( )
A. 若曲线E表示两条直线，则m=0，n>0或n=0，m>0
B. 若曲线E表示圆，则m=n>0
C. 若曲线E表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n>0
D. 若曲线E表示双曲线，则mn0)在C上，则|MF1|=2 2
C. 点Q在椭圆x26+y22=1上，若F1Q⊥F2Q，则Q∈C
D. 过F2作x轴的垂线交C于A，B两点，则|AB|b>0)上的左右顶点，设点P为椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，若椭圆离心率为 32，则k1⋅k2为______．
14.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在正方形CC1D1D及其内部上运动，若tan∠PAD=2tan∠PBC，则点P的轨迹的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆O：x2+y2=4．
(1)若线段AB端点B的坐标是(4,2)，端点A在圆O上运动，求线段AB的中点D的轨迹方程；
(2)若EF，GH为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1, 2)，求四边形EGFH的面积S的最大值．
16.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A−CD−P为直二面角．
(1)求证：PB⊥PD；
(2)当PC=PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径是 a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F( 2,0)，其短轴的一个端点到点F的距离为 3．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A，B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求AP⋅BP的取值范围．
18.(本小题17分)
已知O为坐标原点，圆O：x2+y2=1，直线l：y=x+m(0≤m|EF|=2 3，
所以点P的轨迹是以E，F为焦点，且长轴长2a=4的椭圆，
焦距2c=|EF|=2 3，
此时b2=a2−c2=1，
则轨迹C方程为x24+y2=1；
(2)证明：(i)不妨设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，T(4,m)，
由题可知A(−2,0)，B(2,0)，

则kAP=y1x1+2，kAQ=kAT=m−04−(−2)=m6，
因为kBP=kBT=y1x1−2=m2，
所以m=2y1x1−2，
所以kAP⋅kAQ=y1x1+2⋅m6=y1x1+2⋅y13(x1−2)=y123(x12−4)，①
因为点P在椭圆上，
所以x124+y12=1，②
联立①②，解得kAP⋅kAQ=−112，
故kAP⋅kAQ为定值；
(ii)证明：不妨设直线PQ的方程为x=ty+n，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x=ty+nx24+y2=1，消去x并整理得(t2+4)y2+2tny+n2−4=0，
由韦达定理得y1+y2=−2tnt2+4y1y2=n2−4t2+4，
由(i)知kAP⋅kAQ=−112，
即y1x1+2⋅y2x2+2=y1y2(ty1+n+2)(ty2+n+2)=−112，
整理得n2−44n2+16n+16=−112，
解得n=1或n=−2(舍去)，
所以直线PQ的方程为x=ty+1，
故直线PQ经过定点(1,0)．