2023-2024学年上海市育才中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市育才中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.A是定直线外的一定点，则过点A且与定直线相切的圆的圆心轨迹是( )
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线
2.“m=52”是“直线(m−1)x+(m−2)y−1=0与直线6x+(2m−3)y−3=0平行”的( )条件．
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要
3.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)，且直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则x1x2，y1y2，k1k2中有( )个值为定值．
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，那么( )
A. 曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0
B. 凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C上
C. 不在C上的点的坐标必不适合F(x,y)=0
D. 不在C上的点的坐标有些适合F(x,y)=0
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知直线l过点A(3,2)，B(−1,5)，则倾斜角大小为______．
6.已知直线l与直线2x+y−1=0具有相同的法向量，且经过点(3,4)，则直线l的一般式方程为______．
7.直线x=1与直线x−2y+3=0的夹角大小为______．
8.已知A(−2,2)，B(2,6)，则以AB为直径的圆的标准方程为______．
9.已知棱长为1的正四面体ABCD中，E为CD中点，则AB⋅BE= ______．
10.已知方程x2m+1+y23−m=1表示椭圆，则实数m的取值范围为______．
11.已知双曲线E与双曲线4x2−12y2=3具有相同的渐近线，且经过点A(3,2)，则双曲线E的方程为______．
12.a=(−1,0,1)，b=(−1,3,0)，则a在b方向上的数量投影为______．
13.已知抛物线y2=4x，直线l：y=x−1，则直线l被抛物线截得的弦长为______．
14.在空间直角坐标系中，点P坐标可记为(x,y,z)：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为(r,θ,z).如图所示，空间直角坐标(x,y,z)与柱面坐标(r,θ,z)之间的变换公式为：x=rcsθ，y=rsinθ，z=z.则在柱面坐标系中，点A(1,π2,2)与点B(2,θ,−1)两点距离的最小值为______．
15.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界)，其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为ℎ1、ℎ2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计)，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是______．
16.已知P是双曲线x29−y216=1右支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则tanα2tanβ2= ______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知圆C：x2+y2−4x−5=0．
(1)求直线y=2x被圆截得弦长；
(2)已知A(0, 5)为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆M的方程．
18.(本小题14分)
已知F1(−1,0)，F2(1,0)，点P(x,y)满足|PF1|+|PF2|=2 m(m>1)．
(1)求点P轨迹方程；
(2)记动点P轨迹为曲线C，直线y=x−1交曲线C于A、B两点，且以AB为直径的圆过F1，求m的值．
19.(本小题16分)
已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面边长为1，高为2，P为BC的中点，求：
(1)直线A1P与平面A1CD所成角大小；
(2)点P到平面ACD1的距离．
20.(本小题16分)
已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)中，离心率为 2，且经过点( 2,1)．
(1)求双曲线方程；
(2)若直线l：y=kx+1与双曲线左支有两个交点，求k的取值范围；
(3)过点M(1,13)是否能作直线m与双曲线交于P，Q两点，且使得M是PQ中点，若存在，求出直线m的方程，若不存在，请说明理由．
21.(本小题18分)
已知抛物线方程为x2=2py(p>0)，M为直线y=−2p上任意一点，过作M抛物线的切线，切点分别为A、B．
(1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
(2)已知当M坐标为(2,−2p)时，|AB|=4 10，求此时抛物线方程；
(3)已知点C满足OC=OA+OB(O为坐标原点)，是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上.若存在，求出所有适合题意的点M坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.C
5.π−arctan34
6.2x+y−10=0
7.π2−arctan12
8.x2+(y−4)2=8
9.−12
10.{m|−1|F1F2|=2，
所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为2 m的椭圆，
设点P的轨迹方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a= m，b2=a2−1=m−1，
因此，点P的轨迹方程为x2m+y2m−1=1．
(2)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=x−1x2m+y2m−1=1，可得(2m−1)x2−2mx+2m−m2=0，
Δ=4m2−4(2m−1)(2m−m2)=8m(m−1)2>0，
由韦达定理可得x1+x2=2m2m−1，x1x2=2m−m22m−1，
所以，F1A=(x1+1,y1)=(x1+1,x1−1)，同理可得F1B=(x2+1,x2−1)，
因为以AB为直径的圆过F1，则F1A⋅F1B=0，
即F1A⋅F1B=(x1+1)(x2+1)+(x1−1)(x2−1)=2x1x2+2=2(2m−m2)2m−1+2=0，
整理可得m2−4m+1=0，又因为m>1，解得m=2+ 3．
19.解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(12,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)．
(1)A1P=(−12,1,−2)，DC=(0,1,0)，DA1=(1,0,2)，
设平面A1CD的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
由m⋅DC=y1=0m⋅DA1=x1+2z1=0，取z1=1，得m=(−2,0,1)，
设直线A1P与平面A1CD所成角大小为θ，则sinθ=|cs|
=|m⋅A1P||m||A1P|=|1−2| 5× 14+1+4=2 105105，
∴直线A1P与平面A1CD所成角大小为arcsin2 105105；
(2)AC=(−1,1,0)，AD1=(−1,0,2)，
设平面ACD1的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
由n⋅AC=−x2+y2=0n⋅AD1=−x2+2z2=0，取z2=1，得n=(2,2,1)，
CP=(12,0,0)，则点P到平面ACD1的距离d=|n⋅CP||n|=13．
20.解：(1)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)中，离心率为 2，且经过点( 2,1)，
可得e=ca= 2，2a2−1b2=1，c2=a2+b2，解得a=b=1，
即双曲线的方程为x2−y2=1；
(2)联立y=kx−1x2−y2=1，消去y可得(1−k2)x2+2kx−2=0，
由直线l：y=kx+1与双曲线左支有两个交点，
可得1−k2≠0，Δ=4k2+8(1−k2)>0，−2k1−k20，
解得− 2