2024-2025学年江西省景德镇市高一（上）期中数学试卷（含答案）

展开

这是一份2024-2025学年江西省景德镇市高一（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,3,6,7}，B={2,3,4}，则A∩B=( )
A. {1,2}B. {2,4}C. {1,5}D. {2,3}
2.“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若a>b，c>d，下列不等式成立的是( )
A. a−bb+cC. a−c>b−dD. a−c4.已知0A. 13B. 12C. 34D. 23
5.若函数y=f(x)的定义域为M={x|−2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.函数f(x)=2x2+1 3−x+(2x−1)0的定义域为( )
A. (−∞,12)B. (12,+∞)C. (−∞,12)∪(12,3)D. (−∞,12)∪(12,3]
7.若函数f(x)=(m2−m−5)x1−m为幂函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，则m=( )
A. −2B. 3C. −2或3D. 2或−3
8.当0A. (0,8]B. (−∞,9]C. [6,8]D. [8,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合
B. 集合A={x|y=x2+1}与集合B={(x,y)|y=x2+1}是相同的集合
C. 由1，32，54，|−12|，0.5这些数组成的集合有4个元素
D. 在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点(x,y)组成的点集，可以表示成集合{(x,y)|xy<0，x，y∈R}
10.关于函数f(x)=x 4−x2|x−2|−2的性质描述，正确的有( )
A. f(x)为奇函数B. f(x)为偶函数
C. f(x)在(0,2)上是增函数D. f(x)的值域是[0,2]
11.柯西不等式(Caucℎy−ScℎwarzInequality)是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁⋅路易⋅柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数x和y，有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．
②等式条件：当且仅当ad−bc=0时，等号成立．
例：已知x+2y=2，由柯西不等式(x2+y2)(12+22)≥(x+2y)2，可得(x2+y2)min=45.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有( )
A. 若a2+b2=1，则(2a+3b)max= 13
B. 若0C. 若a+b=4，则( a+1+2 b+2)max=2 5
D. 若1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“∃x>0，x2−2x+1>0”的否定是______．
13.不等式(x+1)(x−3)2x+1≥0的解集为______．
14.已知f(x)是定义在[−1,1]上的增函数，且f(x−1)>f(1−3x)，则x的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+(m+1)x+m=0}．
(1)若集合B中有且只有一个元素，求实数m的值；
(2)若B⊆A，求实数m的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2x+1,x≤1x2−3,x>1．
(1)求f(−1)，f(f(12))；
(2)作出函数y=f(x)在[−2,2)区间内的图象．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=−x2+mx−m．
(1)若函数f(x)在[−1,0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(2)若当x>1时，f(x)<4恒成立，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
景德镇市，别称“瓷都”，设镇于东晋时期，始称“昌南”，后易名“新平”，作为世界著名的陶瓷圣地，拥有丰富的文化遗产和自然资源，为旅游业的发展提供了得天独厚的条件.近年来，随着人们对传统文化和手工艺的兴趣日益增加，景德镇的陶瓷文化和制作过程吸引了越来越多的游客.小李看到了旅游带来的商机，想在景德镇开民宿，他发现一处拥有40间房间的酒店正在转让，他有了想盘下来开民宿的想法.通过调研，该位置附近的其他相似的酒店每间定价150元时，每天都可租出全部所有的房间，若每间房价上涨10元，则会少租出一间.已知盘下这个酒店开民宿，小李投入成本需要252万元，小李准备依照调研的数据来预算盘下该酒店后的收支情况，按照每间房基础定价150元，若每间房上涨了10x(x∈N)元，每天收λ为y元．
(1)求出y和x之间的函数关系式．
(2)若小李想要一年(按照360天计算)收回成本，请问每间房价应该定为多少元？
(3)每间客房定价为多少时，利润最大？
19.(本小题17分)
已知f(x)的定义域为R，对∀x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1，当x>0时，f(x)>−1，且f(1)=1．
(1)求f(0)和f(−1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(3)若对于∀m∈[1,5]，∃x∈[−3,3]，使得2f(x)−f[t2+t−2−m(t+t−1)]≥3成立，求实数t的取值范围．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.C
5.B
6.C
7.A
8.B
9.CD
10.BC
11.AD
12.∀x>0，x2−2x+1≤1
13.[−1,−12)∪[3,+∞)
14.(12,23]
15.解：(1)B中有且只有一个元素，所以方程x2+(m+1)x+m=0有唯一实根，
从而Δ=(m+1)2−4m=(m−1)2=0，
所以m=1；
(2)由x2+3x+2=0，解得x=−1或x=−2，
所以A={−1,−2}，
由x2+(m+1)x+m=0，整理可得(x+1)(x+m)=0，
解得x=−1或x=−m，
因为B⊆A，
当m=1时，B={−1}，满足B⊆A，
当m=2时，B={−1,−2}同样满足B⊆A，
故m=1或m=2．
16.解：(1)∵−1≤1，
∴f(−1)=2×(−1)+1=−1；
∵12≤1，∴f(12)=2×12+1=2，
又∵2>1，∴f(f(12))=f(2)=22−3=1．
(2)函数f(x)=2x+1,x≤1x2−3,x>1在[−2,2)区间内的图象如下：

17.解：(1)函数f(x)=−x2+mx−m，二次函数f(x)的图象开口向下，且对称轴为x=m2，
要使函数f(x)在[−1,0]上单调递减，则m2≤−1，解得m≤−2，
故实数m的取值范围为(−∞,−2]；
(2)当x>1时，f(x)<4恒成立，即当x>1时，−x2+mx−m−4<0恒成立，转化为当x>1时，m∵x>1，即x−1>0，
∴x2+4x−1=(x−1)2+2(x−1)+5x−1=(x−1)+5x−1+2≥2 (x−1)⋅5x−1+2=2 5+2，当且仅当x−1=5x−1，即x= 5+1时等号成立，
∴m<2 5+2，
故实数m的取值范围为(−∞,2 5+2)；
(3)①当m2≤2，即m≤4时，则f(x)在[2,3]上递减，
若存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，即f(2)=3f(3)=2，
∴−4+2m−m=3−9+3m−m=2，此时m无解；
②当m2≥3，即m≥6时，则f(x)在[2,3]上递增，即f(2)=2f(3)=3，
∴−4+2m−m=2−9+3m−m=3，解得m=6；
③当2∴f(x)在x=m2处取得最大值，则f(m2)=−(m2)2+m⋅m2−m=3，解得m=−2或6(不合题意，舍去)，
综上所述，存在实数m=6，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．
18.解：(1)当0≤x<40且x∈N时，y=(150+10x)(40−x)=−10x2+250x+6000，
当x≥40时，y=0，
所以y=−10x2+250x+6000,(0≤x<40且x∈N)0,(x≥40且x∈N)；
(2)由题意分析可知：2520000−(150+10x)(40−x)×360≥0，
解得20≤x<40或0≤x≤5，
故350≤150+10x<550或150≤150+10x≤200，
即每间房价应该定为[350,550)∪[150，200]之间；
(3)设利润为w，
则w=(150+10x)(40−x)×360−2520000=−3600(x2−25x+100)，
故对称轴为x=−3600×252×(−3600)=12.5，
而x∈N，即x=13或12时，利润最大，
即房价为270或280时，利润最大，最大值为201600．
19.解：(1)令x=y=0代入f(x+y)=f(x)+f(y)+1，解得f(0)=−1；
再令x=1，y=−1，代入f(x+y)=f(x)+f(y)+1，得f(0)=f(1)+f(−1)+1=−1，
结合f(1)=1，则f(−1)=−3；
(2)f(x)在R上单调递增；
证明：设x1>x2且x1，x2∈R，则x1−x2>0，
令x+y=x1，y=x2，∴x=x1−y=x1−x2，
∴f(x1)=f(x1−x2)+f(x2)+1⇒f(x1)−f(x2)=f(x1−x2)+1
∵x1−x2>0，∴f(x1−x2)>−1⇒f(x1)−f(x2)=f(x1−x2)+1>0
∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在R上单调递增；
(3)由2f(x)−f[t2+t−2−m(t+t−1)]≥3
⇒f(x)+f(x)+1≥f[t2+t−2−m(t+t−1)]+4
⇒f(2x)≥f[t2+t−2−m(t+t−1)]+1+1+1+1，
又f(1)=1且f(x+y)=f(x)+f(y)+1，
故f(2x)≥f[t2+t−2−m(t+t−1)]+f(1)+1+f(1)+1
=f[t2+t−2−m(t+t−1)+1]+f(1)+1
=f[t2+t−2−m(t+t−1)+1+1]，
又因为函数f(x)在R上单调递增，所以问题等价于∀m∈[1,5]，∃x∈[−3,3]，
2x≥t2+t−2−m(t+t−1)+2成立，即满足6≥t2+t−2−(t+t−1)+26≥t2+t−2−5(t+t−1)+2，
令u=t+t−1，则6≥u2−u6≥u2−5u⇒−1≤u≤3，
即：−1≤t+t−1≤3，所以t+1t≤3……①t+1t≥−1……②，
不等式②的解显然为t>0，
所以①可化为t2−3t+1t≤0，即t2−3t+1≤0，解得3− 52≤t≤3+ 52，
则t∈[3− 52,3+ 52]．