2024-2025学年上海市长宁区高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市长宁区高三（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“x=4”是“x≥3”成立的( )条件．
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要
2.要得到函数y=sin(2x+π3)的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )
A. 向左平移π3个单位B. 向左平移π6个单位C. 向右平移π3个单位D. 向右平移π6个单位
3.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=Wlg2(1+SN)，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；SN为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．
当SN=99，W=2000Hz时，最大数据传输速率记为C1；当SN=9999，W=3000Hz时，最大数据传输速率记为C2，则C2C1为( )
A. 1B. 52C. 154D. 3
4.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是线段B1C(含端点)上的一动点，则：
①OE⊥BD1；
②OE//面A1C1D；
③三棱锥A1−BDE的体积不是定值；
④OE与A1C1所成的最大角为90°．
上述命题中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合A={1,4}，B={a−5,7}.若A∩B={4}，则实数a的值是______．
6.函数y= x2−x−6的定义域是______．
7.设复数z=3−i，则复数i⋅z在复平面内对应的点的坐标是______．
8.双曲线x29−y216=1的渐近线方程是_____________．
9.已知OA=a，OB=b，|OA|=1，|OB|=1，∠AOB=π3，则|a−b|= ______．
10.在(x+2x)5的二项展开式中，x3的系数是______(用数字作答)．
11.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=n2,n≤4,5n−4,n>4,则a5= ______．
12.已知不等式m≤|x−5|+|x−3|对一切恒成立，则实数m的取值范围为______．
13.已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是a，第75百分位数为b，则lg4+lga+(11000)32b= ______．
14.已知tan(α+β)=4，tan(α−β)=−3，则tan2β= ______．
15.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x3+2x+a，则f(−2)= ______．
16.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1，a3，a7成等比数列，设bn=ancsπan2{bn}的前2024项和______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在△ABC中， 3acsB=bsinA．
(Ⅰ)求∠B；
(Ⅱ)若b=2，c=2a，求△ABC的面积．
18.(本小题14分)
设f(x)=x3−12x2−2x+5
(1)求函数f(x)的单调递增，递减区间；
(2)当x∈[−1,2]时，f(x)19.(本小题14分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC= 5，AC=AA1=2．
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值．
20.(本小题18分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2 3．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)过点P(−2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当|MN|=2时，求k的值．
21.(本小题18分)
已知函数y=f(x)的定义域为D，导函数为y=f′(x)，若对任意的x∈D，均有f(x)(1)试判断f(x)=sinx是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由；
(2)若函数g(x)=ax+a−1，x∈(0,π)为其定义域上的“M一类函数”，求实数a的取值范围．
(3)已知函数ℎ(x)=sinx+ax+a−2,x∈[0,π2]为其定义域上的“M一类函数”，求实数a的最大整数值．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.C
5.9
6.(−∞,−2]∪[3,+∞)
7.(1,3)
8.y=±43x
9.1
10.10
11.5
12.(−∞,2]
13.1110
14.−711
15.−19
16.1012
17.解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理，
因为 3acsB=bsinA，
所以 3sinAcsB=sinBsinA，
因为sinA≠0，
所以 3csB=sinB，
所以tanB= 3，
因为0所以B=π3，
(Ⅱ)因为b=2，c=2a，由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
可得4=a2+4a2−2a×2a×12⇒a2=43，
所以a=2 33，c=4 33，
所以S△ABC=12acsinB=12×2 33×4 33× 32=2 33．
18.解：(1)f′(x)=3x2−x−2，令f′(x)=0，解得x=1或−23，
令f′(x)>0，解得x∈(−∞,−23)，(1,+∞)，
令f′(x)<0，解得x∈(−23,1)，
f(x)的单调递增为(−∞,−23)，(1,+∞)，递减区间为(−23,1)．
(2))∵f(−1)=512，f(−23)=52227，f(1)=312，f(2)=7；
即f(x)max=7，
要使x∈[−1,2]时，f(x)∴m>7，
故实数m的取值范围为(7,+∞)．
19.解：(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AC．
又D，E分别为AC，A1C1的中点，则DE/​/AA1，
所以AC⊥DE，
因为AB=BC，D为AC中点，所以AC⊥BD，
又BD∩DE=D，DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，
所以AC⊥平面BDE．
(2)由(1)知AC⊥DE，AC⊥BD，DE/​/AA1．
又AA1⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC．
因为BD⊂平面ABC，所以DE⊥BD，
所以DA，DB，DE两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系D−xyz，

则E(0,0,2)，D(0,0,0)，B(0,2,0)，A(1,0,0)，
所以DE=(0,0,2),AB=(−1,2,0),AE=(−1,0,2)，
设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AB=0,m⋅AE=0,即−x+2y=0,−x+2z=0.
令y=1，则x=2，z=1，
于是m=(2,1,1)．
设直线DE与平面ABE所成角为α，
则sinα=|cs〈m,DE〉|=|m⋅DE||m||DE|= 66，
所以直线DE与平面ABE所成角的正弦值为 66．
20.解：(Ⅰ)由题意得，
b=12c=2 3，∴b=1，c= 3，a=2，
∴椭圆E的方程为x24+y2=1．
(Ⅱ)设过点P(−2,1)的直线为y−1=k(x+2)，B(x1,y1)，C(x2,y2)，
联立得y−1=k(x+2)x24+y21=1，即(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0，
∵直线与椭圆相交，∴Δ=[(16k2+8k)]2−4(1+4k2)(16k2+16k)>0，∴k<0，
由韦达定理得x1+x2=−16k2+8k1+4k2，x1⋅x2=16k2+16k1+4k2，
∵kAB=y1−1x1，∴直线AB为y=y1−1x1x+1，
令y=0，则x=x11−y1，∴M(x11−y1,0)，同理N(x21−y2,0)，
∴|MN|=|x11−y1−x21−y2|=|x1−k(x1+2)−x2−k(x2+2)|=|1k(x2x2+2−x1x1+2)|
=|1k⋅2(x2−x1)(x2+2)(x1+2)|=|1k⋅2 (x1+x2)2−4x1x2(x1x2+2(x1+x2)+4|
=|2k (−16k2+8k1+4k2)2−4(16k2+16k)1+4k216k2+16k1+4k2−2(16k2+8k)1+4k2+4|=2，
∴|2k⋅ −64k4|=2，∴| −kk|=12，
∴k=−4．
21.解：(1)函数f(x)=sinx不是其定义域上的“M一类函数”．
理由如下：
f(x)=sinx的定义域为R，f′(x)=csx，存在x=π3，使得f(π3)>f′(π3)，
故f(x)=sinx不是其定义域上的“M一类函数”
(2)g(x)=ax+a−1，所以g′(x)=a．
若函数g(x)=ax+a−1在x∈(0,π)上为“M一类函数”，
则ax+a−1即a<1x在x∈(0,π)上恒成立．
因为y=1x在x∈(0,π)上的值域为(1π,+∞)，
所以a≤1π，
所以实数a的取值范围为(−∞,1π]；
(3)ℎ′(x)=csx+a，
依题意有sinx+ax+a−2即ax<2+csx−sinx对任意的x∈[0,π2]恒成立，
当x=0时，a⋅0<3，即a∈R；
当x∈(0,π2]时，a<2+csx−sinxx，
令p(x)=2+csx−sinxx，则p′(x)=−(sinx+csx)x+sinx−csx−2x2，
令q(x)=−(sinx+csx)x+sinx−csx−2，则q′(x)=x(sinx−csx)，
易知x∈(0,π4]时，q′(x)≤0；x∈(π4,π2]时，q′(x)>0，
即q(x)在(0,π4]上是减函数，在(π4,π2]上是增函数，
而q(0)=−3<0,q(π4)=− 2π4−2<0,q(π2)=−π2−1<0，
即x∈(0,π2]时，q(x)<0，于是p′(x)<0，则p(x)在x∈(0,π2]上是减函数，
故p(x)min=p(π2)=2π，从而a<2π．
综上，满足条件的实数a的取值范围是a<2π，于是a的最大整数值为0．