2024-2025学年浙江省湖州、衢州、丽水等地市高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省湖州、衢州、丽水等地市高三（上）期中数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B={x|x2∈A}，则A∩B=( )
A. {1}B. {1,2}C. {1,2,4}D. {1,2,3,4,5,6}
2.若z=1−i，则|z2+z−|=( )
A. 2B. 1C. 2D. 10
3.双曲线的另一种定义：动点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它与定直线l：x=a2c的距离的比是常数ca(01
10.现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子(主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子).记A1(i=1,2,3)表示第i号箱子有奖品，Bj(j=2,3)表示主持人打开第j号箱子.则下列说法正确的是( )
A. P(B3|A2)=12
B. P(A1|B3)=13
C. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大
D. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变
11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，Q是线段AB的中点，P是线段BC1上的动点(含端点)，则下列命题正确的是( )
A. 三棱锥P−A1QC的体积为定值
B. 在直三棱柱ABC−A1B1C1内部能够放入一个表面积为4π的球
C. 直线PQ与AC所成角的正切值的最小值是 22
D. A1P+PQ的最小值为 10+2 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(1−2x)n(n∈N∗)的展开式中，x的系数为−10，则n= ______．
13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过左焦点F作直线l与圆M：x2+y2=c24相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|=3|EF|，则椭圆离心率为______．
14.若f(x)=(x−2)3+2(x−2)+2，已知数列{an}中，首项a1=120，an=a1+a22+a33+⋯+ann，n∈N∗，则i=179f(ai)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在三棱锥P−ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥平面ABC，点E是PB的中点，点F在线段CE上，且CF：EF=2：1，G为三角形ABC的重心．
(1)求证：GF//平面PAB；
(2)当PC的长为何值时，二面角E−AC−B的大小为60°．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C对应的的三边分别是a，b，c，且 2a−bc= 2csB．
(1)求角C的值；
(2)若c=1，2tanA=3tanB，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知数列{an}的首项是1，其前n项和是Sn，且an+1=an+2n+1，n∈N∗．
(1)求a2，a3的值及数列{an}的通项公式；
(2)若存在实数λ，使得关于n的不等式λ+Sn≤25n，n∈N∗有解，求实数λ取到最大值时n的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln2x−1x−1+ax(a∈R)．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)若00)，
则可得A( 3,0,0),B(0,1,0),C(0,−1,0),P(0,−1,a)，所以E(0,0,a2)，
所以AC=(− 3,−1,0),CE=(0,1,a2)，
设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则AC⊥nCE⊥n，则AC⋅n=− 3x−y=0CE⋅n=y+a2z=0，
令z=6，可得y=−3a,x= 3a，
即可取n=( 3a,−3a,6)，
易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)，
所以cs=n⋅m|n||m|=6 12a2+36=12，
解得a=3或a=−3(舍)，
即当PC的长为3时，二面角E−AC−B的大小为60°．
16.解：(1)根据题意，有 2a−bc= 2csB，
由正弦定理可得 2sinA−sinBsinC= 2csB，
整理可得 2sinA−sinB= 2csBsinC，
即 2sin(B+C)−sinB= 2csBsinC，
整理可得 2sinBcsC=sinB，
又B∈(0,π)，sinB≠0，所以csC= 22，
又C∈(0,π)，因此C=π4；
(2)由A+B+C=π，
可得tanC=tan(π−B−A)=−tan(B+A)=−tanA+tanB1−tanAtanB=1，
又2tanA=3tanB，则有−32tanB+tanB1−32tan2B=1，
解得tanB=2或tanB=−13，
当tanB=−13时，tanA=−12，又A∈(0,π)，
所以两角均为钝角，不合题意；
因此tanB=2，tanA=3，
又tanB=sinBcsB=2，可得sinB=2 55，
同理sinA=3 1010，
由正弦定理可得asinA=csinC，
可得a= 2sinA=3 2010，
同理b= 2sinB=2 105
因此△ABC的面积为S=12absinC=35．
17.解：(1)数列{an}的首项是1，其前n项和是Sn，且an+1=an+2n+1，n∈N∗，
可得a2=1+3=4，a3=4+5=9．
又an+1−an=2n+1，
当n≥2时，an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(an−an−1)
=1+3+5+...+(2n−1)=12n(1+2n−1)=n2，
上式对n=1也成立，
则an=n2，n∈N∗；
(2)由(1)可知Sn=n(n+1)(2n+1)6，
∴λ+n(n+1)(2n+1)6≤25n，∴λ≤25n−n(n+1)(2n+1)6=150n−n(n+1)(2n+1)6，
令f(n)=150n−n(n+1)(2n+1)6=−2n3−3n2+149n6=−n33−n22+1496n，
f′(n)=−n2−n+1496，当n≤4时，f′(n)>0，当n=5时，f′(n)4，
所以2ln2=ln4