2024-2025学年上海市闵行区六校联合教研高三（上）期中数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年上海市闵行区六校联合教研高三（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若实数a，b满足a>0>b，则下列不等式中正确的是( )
A. a−b<0B. a+b>0C. a2>b2D. 1a>1b
2.若幂函数f(x)=xa为奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，则满足条件的实数a的值是( )
A. −1B. 12C. 3D. 4
3.下列命题错误的是( )
A. (a+b2)2≥ab
B. 若a+b=1，且a>0，b>0，则1a+1b≥4
C. 若a>1，则a+1a−1≥2
D. 若|x−2|+|x+3|≥5，则当且仅当x∈(−∞,−3]∪[2,+∞)时，等号成立
4.数学必修二101页介绍了海伦−秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S= 14[a2c2−(a2+c2−b22)2]，其中a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.若1− 3csB 3sinB=1tanC，b=2，则△ABC面积S的最大值为( )
A. 3B. 5C. 2D. 2
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集I=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x|x>2}，则A∩B= ______．
6.函数y=x2+x在x=1处的导数是______．
7.已知k>0，函数y=sin(kx+π4)的最小正周期是π，则正数k的值为______．
8.函数y=2sin(x+π6)+1的单调递增区间是______．
9.设a是实数，若函数y=2x+a2x+1为奇函数，则a= ______．
10.设集合{x|x2+2x+a=0}有且只有两个子集，则a= ．
11.设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)=x−2，则f(−1)=______．
12.若“x2−3x+2<0”是“x13.若将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则φ= ______．
14.函数y=|x−1|+|x|，x∈[a,2]的最大值为3，则a的取值范围为．
15.已知定义在(−3,3)上的奇函数y=f(x)的导函数是f′(x)，当x≥0时，
y=f(x)的图像如图所示，则侧关于x的不等式f′(x)x>0的解集为______．
16.已知函数f(x)=x−8xx<0|x−a|x≥0，若对任意的x1∈[2,+∞)，都存在x2∈[−2,−1]，使得f(x1)⋅f(x2)≥a，则实数a的取值范围为______．
三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
(1)已知sinθ=45，θ为第二象限角，求cs(θ−π6)和cs(π2−2θ)的值；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A+C=2B，a+c=8，ac=15，求△ABC的面积和边b．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=2xx2+1，x∈(−1,1)．
(1)①判断函数f(x)的奇偶性，并用定义证明；
②判断函数f(x)的单调性，无需说明理由；
(2)若f(t2−1)<−f(t)恒成立，求t的取值范围．
19.(本小题18分)
已知关于x的不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)当x>0，y>0，且满足ax+by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围；
(3)关于x的不等式ax2−2(m+1)x+2bm≤0的解集中恰有5个正整数，求实数m的取值范围．
20.(本小题18分)
已知函数f(x)=( x+a)ex(a∈R)．
(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)若f(x)是增函数，求a的取值范围；
(Ⅲ)证明：f(x)有最小值，且最小值小于f(1)．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.A
5.{3,4,5}
6.3
7.2
8.[2kπ−2π3,2kπ+π3],(k∈Z)
9.−1
10.1
11.−1
12.2
13.2π3
14.[−1,2)
15.{x|016.(−∞,43]
17.解：(1)由于sinθ=45，θ为第二象限角，
可得csθ=− 1−sin2θ=−35，
所以可得cs(θ−π6)=csθcsπ6+sinθsinπ6=−35× 32+45×12=4−3 310，
又易知cs(π2−2θ)=sin2θ=2sinθcsθ=2×45×(−35)=−2425；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
由A+C=2B且A+B+C=π，可得B=π3，
所以△ABC的面积为S=12acsinB=12×15× 32=15 34，
由余弦定理csB=a2+c2−b22ac，可得b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−3ac=82−3×15=19，
可得b= 19．
18.解：(1)①根据题意，f(x)为(−1,1)上的奇函数，
证明如下：
函数f(x)=2xx2+1，x∈(−1,1).其定义域为(−1,1)，关于原点对称，
又f(−x)=−2x(−x)2+1=−2xx2+1=−f(x)，
则f(x)为奇函数；
②f(x)在(−1,1)上单调递增，
证明如下：
设−1则f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1=2x1(x22+1)−2x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=2(x2−x1)(x1x2−1)(x12+1)(x22+1)，
又由x1，x2∈(−1,1)，且x1则x2−x1>0，x1x2−1<0，x12+1>0，x22+1>0，
故f(x1)−f(x2)<0，则f(x)在(−1,1)上单调递增；
(2)由①知，f(x)为奇函数，
∴f(t2−1)<−f(t)等价于f(t2−1)<−f(t)=f(−t)，
由②知f(x)在x∈(−1,1)上单调递增，
∴t2−1<−t−1∴不等式的解集为：(−1,0)∪(0, 5−12)；
19.解：(1)依题意，a>0a−3+2=01×b=2，
解得a=1，b=2；
(2)由(1)可知，1x+2y=1，x>0，y>0，
则2x+y=(2x+y)(1x+2y)=4+4xy+yx≥4+2 4xy⋅yx=8，
当4xy=yx，即x=2，y=4时，等号成立，
所以2x+y的最小值为8，
不等式2x+y≥k2+k+2恒成立，即k2+k+2≤8，
解得−3≤k≤2，
即实数k的取值范围为[−3,2]；
(3)a=1，b=2，
不等式x2−2(m+1)x+4m≤0的解集中恰有5个正整数，
即(x−2)(x−2m)≤0的解集中恰有5个正整数，
即集合{x|2≤x≤2m}中恰有5个正整数，
所以6≤2m<7，解得：3≤m<72，
即实数m的取值范围为[3,72)．
20.解：(Ⅰ)当a=0时，f(x)= xex，
f′(x)=ex2 x+ xex(x>0)，
所以f′(1)=3e2，f(1)=e，
所以所求切线方程为y−e=3e2(x−1)，即3ex−2y−e=0．
(Ⅱ)f′(x)=ex2 x+( x+a)ex=2x+2a x+12 xex，(x>0)，
因为函数f(x)是增函数，
所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，
则2x+2a x+1≥0在(0,+∞)上恒成立，
所以a≥−( x+12 x)在区间(0,+∞)上恒成立，
因为 x+12 x≥ 2，当且仅当x=12时， x+12 x= 2，
所以[−( x+12 x)]max=− 2，
所以a⩾− 2，
所以a的取值范围为[− 2,+∞)．
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知，当a≥− 2时，f(x)是增函数，f(x)的最小值为f(0)当a<− 2时，由f′(x)=0得2x+2a x+1=0，该方程有两个正实数根，
设为x1，x2且x1所以在(0,x1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(x1,x2)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(x2,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)的极小值为f(x2)，f(x)的最小值为f(0)和f(x2)中的较小者，记为f(x0)，
当x2≠1时，f(x2)所以f(x0)当x2=1时，f′(1)=0，
所以a=−32，
f(0)−f(1)=e−32<0，即f(0)所以f(x0)=f(0)综上所述，f(x0)