安徽省“智学大联考·皖中名校联盟”2025届高三11月期中联考数学试卷（含答案）

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这是一份安徽省“智学大联考·皖中名校联盟”2025届高三11月期中联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R，集合A={x|x≥−1}，B={x|x2+2x−3<0}，则阴影部分表示的集合为( )
A. {x|−3≤x≤1}B. {x|−3C. {x|−3≤x< −1}D. {x|−32.若复数z(1−i)=1+2i，则|z|=( )
A. 1B. 102C. 104D. 10
3.已知平面向量a=(3,0),b=(1,−1)，则向量a+b在向量b上的投影向量为( )
A. −52,52B. (−5,5)C. 52,−52D. (5,−5)
4.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为00型，比如：当x→0时，ex−1x的极限即为00型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：limx→0ex−1x=limx→0ex−1′x′=limx→0ex1=1，则limx→1x2−1x3lnx=( )
A. 0B. 12C. 1D. 2
5.下列四个数中最大的是( )
A. ln3B. lnln3C. ln 32D. 1ln3
6.在平行四边形ABCD中，AE=13AB,AF=14AD，CE与BF相交于点G.若AB=a→，AD=b→，以a→，b→为基底，则AG=( )
A. 37a−17bB. 37a+17bC. −17a+37bD. 17a+37b
7.已知集合A={(x,y)|y=ln ||x|−1|}与集合B={(x,y)|y=sin π2x}，集合C=A∩B，则集合C的元素个数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
8.在平面直角坐标系xOy中，M为曲线y=lnxx上位于第一象限内的一点，N为M在x轴上的射影，则sin∠MON的最大值为( )
A. 1 e2+1B. 1 4e2+1C. 1eD. 12e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则( )
A. a+b>0
B. abc>0
C. 13a+b+2c>0
D. 不等式bx2−ax−c>0的解集为{x|−210.若a=(1+tan20∘)(1+tan21∘)，b=(1+tan24∘)(1+tan25∘)，则下列结论正确的有( )
A. a>bB. a11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是( )
A. PA⋅PC=2B. OA⋅OC的取值范围是[−4,0]
C. 当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值D. AC|⋅|BD的最大值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“∃x∈R，x2−2x+a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是．
13.已知函数f(x)=x2−m与函数g(x)=ln x+x在公共点处的切线相同，则实数m的值为______．
14.如图，E为线段AD的中点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，以BD为边作正三角形BFD，若AD=2，则四边形ABFD面积的最大值为__________；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用。喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气.能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量y(单位：mg/L)与时间x(x≥0)(单位：ℎ)间的关系为y=y0e−kx，其中y0，k为正常数，已知过滤2ℎ消除了20%的有害物质．
(1)过滤4ℎ后还剩百分之几的有害物质?
(2)要使有害物质减少80%，大约需要过滤多少时间(精确到1ℎ)?
参考数据：lg2≈0.3
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex[x2−(a+2)x+a+3]．
(1)讨论f(x)在区间R上的单调性；
(2)若f(x)在(0,3)上有两个极值点x1,x2 ，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知向量a=(2cs x,sin x+2sin θ)，b=(2sin x,−cs x+2cs θ) ．
(1)若a//b，求cs (x+θ)；
(2)若θ=π4，设函数f(x)=a⋅b,x∈[0,π]；
①求f(x)的值域；
②当f(x)取最小值时，求与a垂直的单位向量c的坐标．
18.(本小题17分)
已知在锐角▵ABC中，cs∠BAC=14，sin A=2sin 2C−sin (B−C)，D为BC边上一点，且CD=2DB ．
(1)证明b=2c；
(2)求cs∠BAD的值；
(3)求ADBC．
19.(本小题17分)
丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若x1，x2，⋯，xn为(a,b)上任意n个实数，满足f(x1+x2+⋯+xnn)≥f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n，当且仅当x1=x2=⋯=xn时等号成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.也可设可导函数f(x)在(a,b)上的导函数为f’(x)，f’(x)在(a,b)上的导函数为f″(x)，当f″(x)<0时，函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.若x1，x2，⋯，xn为(a,b)上任意n个实数，满足f(x1+x2+⋯+xnn)≤f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n，则称函数f(x)在(a,b)上为“凹函数”当且仅当x1=x2=⋯=xn时等号成立.也可设可导函数f(x)在(a,b)上的导函数为f’(x)，f’(x)在(a,b)上的导函数为f″(x)，当f″(x)>0时，函数f(x)在(a,b)上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式．
(1)证明函数f(x)=1csx，x∈(0,π2)为凹函数;
(2)在▵ABC中，求证：1cs A2+1cs B2+1cs C2≥23;
(3)设x1,x2,⋯,xn均为大于1的实数，求证：11+x1+11+x2+⋯+11+xn⩾nnx1x2⋯xn+1．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.D
5.C
6.B
7.A
8.B
9.BCD
10.BD
11.BC
12.(1,+∞)
13.0
14.534+2
15.解：(1)由y=y0e−kx可知，当x=0时，y=y0，当x=2时，y=(1−20%)y0，
则有y0e−2k=(1−20%)y0，解得k=−12ln0.8，所以y=y0 e(12ln 0.8)x=y00.8x2，
故当t=4时，y=y00.82=0．64y0，即过滤4ℎ后还剩64%的有害物质．
(2)要使有害物质减少80%，则y=15y0，y00.8x2=15y0，
因为y0>0，所以0.8x2=15，x2=lg0.815=lg15lg45=−lg5lg4−lg5=lg2−13lg2−1≈7，
所以x≈14，
故要使有害物质减少80%大约需要过滤14小时．
16.解：(1) f ′(x)=ex(x2−ax+1)，x∈R，
当Δ=a2−4≤0，即−2≤a≤2时，f ′(x)⩾0恒成立，则f(x)在R上单调递增；
当Δ=a2−4>0，即a< −2或a>2时，令f ′(x)>0，得xa+a2−42，
令f ′(x)<0，得a−a2−42综上所述：当−2≤a≤2时，f(x)单调递增区间是(−∞,+∞)，无单调递减区间;
当a< −2或a>2时，f(x)的单调递增区间是(−∞,a−a2−42)和(a+a2−42,+∞)单调减区间是(a−a2−42,a+a2−42)；
(2)因为f(x)在(0,3)有两个极值点x1，x2，
所以g(x)=x2−ax+1在(0,3)有两个不等零点x1，x2，
所以{Δ=a2−4>000g(3)=10−3a>0，解得2所以实数a的取值范围为(2,103).

17.解：(1)因为a=(2cs x,sin x+2sin θ)，b=(2sin x,−cs x+2cs θ)，且a//b，
则2cs x(−cs x+2cs θ)=2sin x(sin x+2sin θ)，
即22(cs xcs θ−sin xsin θ)=2(sin2x+cs2x)，
整理得2cs (x+θ)=1，所以cs (x+θ)=22．
(2)因为θ=π4，则a=(2cs x,sin x+1)，b=(2sin x,−cs x+1)，
可得f(x)=a⋅b=4sin xcs x+(sin x+1)(−cs x+1)
=3sin xcs x+(sin x−cs x)+1
=−32(sin x−cs x)2+(sin x−cs x)+52．
①设t=sin x−cs x=2sin (x−π4)，
因为x∈[0,π]，则x−π4∈[−π4,3π4]，
可得sin (x−π4)∈[−22,1]，t=2sin (x−π4)∈[−1,2]，
设g(t)=−32t2+t+52,t∈[−1,2]，
因为g(t)=−32t2+t+52的图象开口向上，对称轴为t=13，
由二次函数性质可得：g(t)max=g(13)=83，g(t)min=g(−1)=0 ，
所以f(x)的值域为0,83；
②当f(x)取最小值时，即t=−1,f(x)min=0，此时x=0，a=(2,1)，
设c=(x,y)，由题意可得2x+y=0x2+y2=1，解得x=55y=−255或x=−55y=255 ,
所以c=(55,−255)或−55,255．

18.解：(1)证明：因为sin A=2sin 2C−sin (B−C)，且A+B+C=π，
所以sin (B+C)=2sin 2C−sin (B−C)，
即sin Bcs C+cs Bsin C=2sin 2C−(sin Bcs C−cs Bsin C)，
所以2sin Bcs C=4sin Ccs C，
又因为▵ABC为锐角三角形，所以cs C≠0，
所以sin B=2sin C，
由正弦定理得b=2c;
(2)在▵ADB中，由正弦定理得csin∠ADB=BDsin∠BAD，
在▵ADC中，由正弦定理得bsin∠ADC=DCsin∠CAD，
因为∠ADB+∠ADC=π，
所以sin∠ADB=sin∠ADC，
所以csin∠BADBD=bsin∠CADDC ，
又因为CD=2DB，所以CD=2DB，因为b=2c，
所以sin∠BAD=sin∠CAD，
又因为∠BAC为锐角，所以∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
所以cs2∠BAD=cs∠BAC+12=58，
又因为∠BAD为锐角，所以cs∠BAD=104；
(3)因为CD=2DB，
所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，
即|AD→|2=49|AB→|2+49|AB→|⋅|AC→|⋅cs∠BAC+19|AC→|2，
则|AD|2=49c2+49c⋅2c⋅14+19⋅(2c)2=10c29，
故|AD|=103c ，
在▵ABC中，由余弦定理得cs∠BAC=|AB|2+|AC|2−|BC|22|AB|⋅|AC|=c2+4c2−|BC|22⋅c⋅2c=14，
解得|BC|=2c，
所以|AD||BC|=103c2c=106．

19.解：(1)f(x)=1cs x，x∈(0,π2)
∴f’(x)=sinxcs2 x，
∴f ′ ′(x)=cs3x+2sin2xcsxcs4x=1+sin2xcs3x，
∵x∈(0,π2)，
∴f’’(x)>0，
∴函数f(x)=1csx在x∈(0,π2)为凹函数．
(2)由(1)可知函数f(x)=1csx在x∈(0,π2)为凹函数，
所以由琴生不等式f(x1)+f(x2)+f(x3)3≥fx1+x2+x33，
可得1csA2+1cs B2+1cs C23⩾1csA2+B2+C23=233，
∴1cs A2+1cs B2+1cs C2≥23，当且仅当A=B=C时等号成立;
(3)证明：令xi=eti，由xi>1可得ti>0，
且ti=lnxi ，
构造函数f(t)=1et+1，t>0，
f’(t)=−etet+12，
f’’(t)=etet−1et+13>0，
∴f(t)为凹函数，
∴f(t1)+f(t2)+⋯+f(tn)n⩾ft1+t2+⋯+tnn
即11+et1+11+et2+⋯+11+etnn⩾11+et1+t2+⋯+tnn，
将xi=eti及ti=lnxi 分别带入左右式得：
11+x1+11+x2+⋯+11+xnn⩾11+eln⁡x1x2⋯xnn=11+eln(x1x2⋯xn)1n=11+(x1x2⋯xn)1n，
即11+x1+11+x2+⋯+11+xn⩾nnx1x2⋯xn+1.