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2024-2025学年甘肃省庆阳市高三（上）第一次模拟数学试卷（含答案）
展开这是一份2024-2025学年甘肃省庆阳市高三（上）第一次模拟数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={5,6,9,10,14}，B={6,9,12,15,16}，则A∩B中元素的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知复数z=−5−2i，则z2的实部为( )
A. 20B. 21C. −21D. −20
3.若双曲线x29−y211=1的右支上一点P到右焦点的距离为9，则P到左焦点的距离为( )
A. 3B. 12C. 15D. 3或15
4.已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2 3，则该圆台的体积为( )
A. 6 3πB. 14 33πC. 7 3πD. 283π
5.函数f(x)=lg 10−2x2的值域为( )
A. (−∞,1]B. (0,1]C. (0,12]D. (−∞,12]
6.在平行四边形ABCD中，AB=2AE，BF=2BC，则EF=( )
A. 2AB+12ADB. 12AB+12ADC. 12AB+2ADD. 2AB+2AD
7.若锐角θ满足sinθcsθ+cs2θ=35，则tan3θ=( )
A. 17B. −43C. 211D. −211
8.已知函数f(x)的定义域为R，f(f(x+y))=f(x)+f(y)，f(1)=1，则下列结论错误的是( )
A. f(0)=0B. f(x)是奇函数
C. f(2024)=2024D. f(x)的图象关于点(12,0)对称
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆M：x2+y226=1，则( )
A. M的焦点在x轴上B. M的焦距为10
C. M的离心率为5 2626D. M的长轴长是短轴长的5倍
10.设函数f(x)=2sin(2nx−π3)(n∈N∗)的最小正零点为an，则( )
A. f(x)的图象过定点(0,− 3)B. f(x)的最小正周期为π2n+1
C. {an}是等比数列D. {an}的前10项和为341π1024
11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB= 6，则( )
A. 在四面体ABCD1中，点A的曲率为11π12
B. 在四面体ABCD1中，点D1的曲率大于7π6
C. 四面体ABCD1外接球的表面积为12π
D. 四面体ABCD1内切球半径的倒数为 6+4 3+3 26
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为______；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为______．
13.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为______分钟．
14.若过圆C：x2+(y−2)2=r2(r>0)外一点P(2,−2)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且|AB|=8 55，则r= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，AB=5，AC=4 3，A=π6．
(1)求BC的长；
(2)设D为AC边上一点，且BD=3，求sin∠BDA．
16.(本小题15分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E，F位于平面ABCD的两侧．
(1)证明：平面BDF⊥平面AECF．
(2)若CF=2，AE=3，AD=4，求平面ABF与平面AECF夹角(锐角)的余弦值．
17.(本小题15分)
贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏(按个计算)的质量M(单位：克)服从正态分布Nμ,σ2，且P96≤M≤106=0.7,P94≤M≤96=0.1.从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量(单位：克)为101,102,100,103,99,98,100,99,97,101，这10个贵妃杏的平均质量恰等于μ克．
(1)求μ．
(2)求P100
18.(本小题17分)
已知动点P在抛物线C：y2=2px(p>0)上，Q(−2,3)，点P到C的准线的距离为d，且d+|PQ|的最小值为5．
(1)求C的方程；
(2)若过点(1,0)的直线l与C交于A，B两点，且直线QA的斜率与直线QB的斜率之积为−12，求l的斜率．
19.(本小题17分)
定义：对于函数f(x)，g(x)，若∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>g(c)，则称“f(x)−g(x)“为三角形函数．
(1)已知函数f(x)=x−lnx，若g(x)为二次函数，且g(2−x)=g(x)，写出一个g(x)，使得“f(x)−g(x)”为三角形函数；
(2)已知函数f(x)=2x+t2x+2，x∈(0,+∞)，若“f(x)−f(x)”为三角形函数，求实数t的取值范围；
(3)若函数f(x)=x−lnx，g(x)=ln(x+1)−xlnx+x，证明：“f(x)−g(x)”为三角形函数.(参考数据：ln32≈0.405)
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.D
6.C
7.C
8.D
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.3 1314
13.1085
14.2或4
15.解：(1)∵在△ABC中，AB=5，AC=4 3，A=π6，
∴由余弦定理得BC= AB2+AC2−2AB⋅ACcsA= 52+(4 3)2−2×5×4 3× 32= 13；
(2)在△ABD中，BD=3，AB=5，∠A=30°，
由正弦定理，可得ABsin∠BDA=BDsinA，所以sin∠BDA=ABsinABD=5×123=56．
16.解：(1)证明：连接AC，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD，
因为AE∩AC=C，所以BD⊥平面AECF，
因为BD⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面AECF；
(2)因为AE⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
所以AB，AD，AE两两互相垂直，
则以A为坐标原点，以AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为CF=2，AE=3，AD=4，
所以A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，E(0,0,3)，F(4,4,−2)，
所以AB=(4,0,0)，AF=(4,4,−2)，AC=(4,4,0)，
设平面ABF的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AB=4x=0m⋅AF=4x+4y−2z=0，解得x=0，令z=2，则y=1，所以m=(0,1,2)，
设平面AECF的法向量为n=(a,b,c)，
则m⋅AF=4a+4b−2c=0m⋅AC=4a+4b=0，令a=1，得b=−1，c=0，所以n=(1,−1,0)，
设平面ABF与平面AECF夹角(锐角)为θ，
所以csθ=|cs
所以平面ABF与平面AECF夹角(锐角)的余弦值为 1010．
17.解：(1)μ=110×(101+102+100+103+99+98+100+99+97+101)=100；
(2)因为μ=100，
所以P104≤M≤106=P94≤M≤96=0.1，
所以P100
则P(Y=0)=0.5,P(Y=1)=0.3，P(Y=2)=0.2，
依题意可得X的可能取值为0,1,2,3,4，
PX=0=0.5×0.5=0.25，
PX=1=0.5×0.3×2=0.3，
PX=2=0.32+0.5×0.2×2=0.29，
PX=3=0.3×0.2×2=0.12，
PX=4=0.2×0.2=0.04，
则X的分布列为
所以E(X)=0×0.25+1×0.3+2×0.29+3×0.12+4×0.04=1.4．
18.解：(1)设抛物线C的焦点为F(p2,0)，由抛物线的定义可得|PF|=d(d为P到准线的距离)，
则d+|PQ|=|PF|+|PQ|≥|FQ|，
当Q，P，F三点共线且点P在线段QF上时，|PF|+|PQ|取得最小值5，
则|FQ|= (p2+2)2+32=5，整理得(p2+2)2=16，解得p=4或p=−12(舍去)，
故C的方程为y2=8x．
(2)设过点(1,0)的直线l：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y2=8xx=my+1，消元得y2−8my−8=0，Δ=64m2+32>0，
由韦达定理可得y1+y2=8my1y2=−8，
由kQA⋅kQB=y1−3x1+2⋅y2−3x2+2=(y1−3)(y2−3)(my1+3)(my2+3)=−12，
得(m2+2)y1y2+(3m−6)(y1+y2)+27=−8(m2+2)+8m(3m−6)+27=0，
代入韦达定理得：(m2+2)(−8)+(3m−6)(8m)+27=0，
化简得16m2−48m+11=0⇒(4m−1)(4m−11)=0，
得m=14或114．
故l的斜率为4或411．
19.解：(1)由f(x)=x−ln x，x∈(0,+∞)，
得f′(x)=1−1x=x−1x，
令f′(x)=0，解得x=1．
当0
所以f(x)min=f(1)=1．
因为g(x)为二次函数，且g(2−x)=g(x)，
所以g(x)的对称轴为x=1，
设g(x)=ax2−2ax+c(a≠0)，
要使“f(x)−g(x)”为三角形函数，
只要2f(x)min>g(x)max，
取a=−1，c=0，
则g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1，g(x)max=g(1)=1，
满足2f(1)=2>1=g(1)，
则∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)≥2f(1)>g(1)≥g(c)，
即f(a)+f(b)>g(c)成立．
故若f(x)=x−ln x，
取g(x)=−x2+2x，可使得“f(x)−g(x)”为三角形函数(答案不唯一)；
(2)f(x)=2x+t2x+2=1+t−22x+2，x∈(0,+∞)，
①当t=2时，f(x)=1，
则任意∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)=2>1=f(c)，
故“f(x)−f(x)”为三角形函数；
②当t>2时，由x>0，2x+2>3,0<12x+2<13，
则0
由2×1≥t+13，解得t≤5，
则有∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>2≥t+13>f(c)，
所以2
由2×t+13≥1，解得t≥12，
则有∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>2(t+13)≥1>f(c)，
所以12≤t<2；
综上所述，实数的取值范围为[12,5]；
(3)证明：f(x)=x−ln x，x∈(0,+∞)．
由(1)知，f(x)min=f(1)=1，
则任意a，b∈(0,+∞)，f(a)+f(b)≥2f(1)=2；
下面证明g(x)max<2，
由g(x)=ln(x+1)−xln x+x，x∈(0,+∞)，
则g′(x)=1x+1−lnx−1+1=1x+1−lnx，
令ℎ(x)=1x+1−lnx，x∈(0,+∞)，
则ℎ′(x)=−1(x+1)2−1x<0，
所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，
又ℎ(1)=12>0，
由参考数据ln32≈0.405可知，
ℎ(32)=25−ln32<0，
则存在唯一的实数x0∈(1,32)，使ℎ(x)=0，
即1x0+1−lnx0=0(∗)．
所以当0
当x>x0时，ℎ(x)<0，g′(x)<0，
g(x)在(x0,+∞)上单调递减；
故g(x)max=g(x0)=ln(x0+1)−x0lnx0+x0，
由(∗)式可知lnx0=1x0+1，
则g(x)max=ln(x0+1)−x0x0+1+x0，
令φ(x)=ln(x+1)−xx+1+x,1
所以φ(x)在(1,32)单调递增，
故φ(x)<φ(32)=ln(32+1)−3232+1+32
所以∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)≥2>g(x)max≥g(c)成立，
即f(a)+f(b)>g(c)，
故“f(x)−g(x)”为三角形函数． X
0
1
2
3
4
P
0.25
0.3
0.29
0.12
0.04
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