2024-2025学年上海师大附中闵行分校、宝山分校联考高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海师大附中闵行分校、宝山分校联考高三（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d≤0”是“S8+S10<2S9”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.重复n次成功概率为p的伯努利试验，其成功次数X的分布为( )
A. 伯努利分布B. 二项分布C. 超几何分布D. 正态分布
3.以抛物线y2=4x的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为( )
A. x216+y215=1B. x216+y24=1C. x24+y23=1D. x24+y2=1
4.已知定义在集合上的函数f(x)满足{x|f(x)>f(11−x)}=({a,b})(1A. 若|S|=1，则S⊆(a,b)B. 若|T|=1，则T⊆(a,b)
C. 若|S|≠1，则S⊆(a,b)D. 若|T|≠1，则T⊆(a,b)
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合M={x|x>−2}，集合N={x|x≤1}，则M∪N= ______．
6.向量a=(3,4)在向量b=(1,0)方向上的投影为______．
7.二项式(3x−1)11的二项展开式中第3项的二项式系数为______．
8.复数1+i3+4i的共轭复数为______．
9.函数f(x)=2sin(x+π6)的圆频率是______．
10.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且它在[0,+∞)上单调递增，那么使得f(−2)≤f(a)成立的实数a的取值范围是______．
11.四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是______.(结果用数字作答)
12.已知a>b>1，若lgab+lgba=52，ab=ba，则a+2b=______．
13.已知λ>0，|a| = |b| = |c| =λ，且a⋅b=0，c⋅a=2，c⋅b=1，则λ=_______
14.设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是 ．
15.若直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，且a>0，则实数b的最小值是______．
16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则勒洛四面体的体积V的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，点P在BB1上，B1P=3BP．
(1)求证：AC⊥D1P；
(2)求二面角D1−AC−P的余弦值．
18.(本小题14分)
十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景目标纲要的决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值k(70≤k<100)为衡量标准，性能指标的等级划分如表：
为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，以组距为5画频率分布直方图.设“频率组距=Y”，当5n≤k<5n+5时(n为正整数)，Y满足：2n−25300,n≤17a⋅220−n,n>17．
(1)试确定n的所有取值，并求a；
(2)从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，并求出2件都是A等级的概率．
19.(本小题18分)
设有椭圆方程Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线l：x+y−6=0，Γ下端点为A，左、右焦点分别为F1(−1、0)F2(1、0)，M在l上．
(1)若a= 2,AM中点在x轴上，求点M的坐标；
(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，且cs∠BMA=35，求b；
(3)在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使 2a+d=4 2，当a变化时，求d的最小值．
20.(本小题18分)
已知函数y=f(x)，若其定义域为(0,+∞)，且满足x⋅f′(x)−f(x)>−1对一切x∈(0,+∞)恒成立，则称f(x)为一个“逆构造函数”．
(1)设g(x)=x3+1(x>0)，判断y=g(x)是否为“逆构造函数”，并说明理由；
(2)若函数y=ax−3−lnx−1−ax是“逆构造函数”，求a的取值范围；
(3)已知“逆构造函数”y=f(x)满足对任意的x1，x2>0，都有f(1)=2，且f(x1+x2)≤f(x1)f(x2).求证：对任意a≤1，关于x的方程f(x)=a无解．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.R
6.3
7.55
8.725+125i
9.1
10.a≤−2或a≥2
11.144
12.8
13.45
14.(136,83]
15.−2
16.( 212a3, 68πa3)
17.(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为AB=BC=2，AA1=4，B1P=3BP，
所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2,2,1)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，
则DlP=(2,2,−3),AC=(−2,2,0)，
所以有D1P⋅AC=2×(−2)+2×2+(−3)×0=0，则AC⊥D1P;
(2)由(1)知AD1=(−2,0,4),AP=(0,2,1)，
设平面AD1C的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AC=−2x+2y=0n⋅AD1=−2x+4z=0，令x=2，则y=2，z=1，
则n=(2,2,1)，
设平面APC一个法向量为m=(x,y,z)，
n⋅AC=−2x+2y=0n⋅AP=2y+z=0，令x=1，则y=1，z=−2，
则m=(1,1,−2)，
所以cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|=2+2−2 4+4+1× 1+1+4= 69，
由图知二面角D1−AC−P为锐二面角，
所以二面角D1−AC−P的余弦值为 69．
18.解：(1)根据题意，70≤k<100，按组距为5可分成6个区间，
分别是[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[95,100)，
∵70≤k<100，由5n≤k<5(n+1)，n∈N∗，
得n的取值集合为{14,15,16,17,18,19}，
每个小区间对应的频率值为5Y=2n−2560 ,n∈{14,15,16,17}5a⋅220−n,n∈{18,19}，
∴n的取值集合为{14,15,16,17,18,19}，
∴3+5+7+960+5a×(22+2)=1，
解得a=150；
(2)等级A产品的频率为5×150×(22+2)=35，等级B产品的频率为2×17−2560=320，
∴等级A产品与等级B产品的频率炎比为35：320=4：1，
∴从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层抽样的方法抽取5件产品，
等级A产品的件数为4，等级B产品的件数为1，
∴从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，
A等级产品的件数为4，分别记为a1，a2，a3，a4，
B等级产品的件数为1，记为b．
从这5件产品中任意抽取2件产品，所有的可能情况有：
(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)，(a1,b)，(a2,a3)，
(a2,a4)，(a2,b)，(a3,a4)，(a3,b)，(a4,b)，共10种．
事件“抽取的2件产品都是A等级”包含的可能情况有：
(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)，(a2,a3)，(a2,a4)，(a3,a4)，共6种，
故所求概率为P=610=35．
19.解：(1)由题意可得a= 2，c=1，则b=1，
Γ：x22+y2=1，A(0,−1)，
∵AM的中点在x轴上，∴M的纵坐标为1，
代入x+y−6=0，得M(5,1)；
(2)由直线方程可知B(0,6)，
∵cs∠BMA=35，∴sin∠BMA=45，
∵∠MBA=π4，∴cs(∠MBA+∠AMB)= 22×35− 22×45=− 210，
∴cs∠BAM= 210，得sin∠BAM=7 210，则tan∠BAM=7．
即tan∠OAF2=7，∴OA=ctan∠OAF2=17，即b=17；
(3)设P(acsθ,bsinθ)，由点到直线距离公式可得d=|acsθ+bsinθ−6| 2=4 2− 2a，
由题意可得椭圆在直线的左下方，则−acsθ+bsinθ−6 2=4 2− 2a，
即bsinθ+acsθ=2a−2，∵a2=b2+1，
∴ 2a2−1sin(θ+φ)=2a−2，可得sin(θ+φ)=2a−2 2a2−1，
由|2a−2| 2a2−1≤1，整理可得2a2−8a+5≤0，即4− 62≤a≤4+ 62，
从而d=4 2− 2a≥4 2− 2×4+ 62=2 2− 3．
即d的最小值为2 2− 3．
20.解：(1)由于g′(x)=3x2，故对x∈(0,+∞)有xg′(x)−g(x)=3x3−x3−1=2x3−1>−1，
所以y=g(x)是否为“逆构造函数”．
(2)由于y′=a−1x+1−ax2，
故xy′−y=ax−1+1−ax−ax+3+lnx+1−ax=2+lnx+2(1−a)x，
一方面，若函数y=ax−3−lnx−1−ax是“逆构造函数”，
则xy′−y>−1，即2+lnx+2(1−a)x>−1，
所以3+lnx+2(1−a)x>0对任意x>0成立，
特别地，取x=e−3，得3−3+2(1−a)e−3>0，
从而2(1−a)e−3>0，故1−a>0，
再取x=2(1−a)，得3+ln(2(1−a))+2(1−a)2(1−a)>0，
从而3+ln(2(1−a))+1>0，
此即ln(2(1−a)>−4，故2(1−a)>e−4，解得a<1−12e4；
另一方面，若a<1−12e4，则2(1−a)>e−4，
设φ(t)=t−mt，则φ′(t)=1−1t=t−1t，
所以对01有φ′(t)=t−1t>0，
从而φ(t)在(0,1]上递减，在[1,+∞)上递增，
故φ(t)≥φ(1)=1，
所以对x>0，有xy′−y=2+lnx+2(1−a)x>2+lnx+e−4x=2+(e−4x−lne−4x)−ln1e−4=2+φ(e−4x)−4≥2−1−4=−1，
从而此时函数y=ax−3−lnx−1−ax是“逆构造函数”，
综上，a的取值范围是(−∞,1−12e4)．
(3)证明：设ℎ(x)=f(x)−1x，
则ℎ′(x)=xf′(x)−(f(x)−1)x2=xf′(x)−f(x)+1x2>−1+1x2=0，
所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
一方面，对x≥1，有f(x)−1x=ℎ(x)≥ℎ(1)=f(1)−11=2−11=1>0，
所以对任意x≥1，有f(x)>1；
另一方面，对00及零点存在定理，存在η∈[x,1)使得f(η)=0，
再由条件f(x1+x2)≤f(x1)f(x2)，知2=f(1)=f(η+(1−η))≤f(η)f(1−η)=0⋅f(1−η)=0，矛盾，
所以对任意00．
假设存在0则根据f(1)=2>1及零点存在定理，存在u∈[x0,1)使得f(u)=1，从而对任意x>0，有f(x+u)≤f(x)f(u)=f(x)，
但由u>0，知f(1+u)−11+u=ℎ(1+u)>ℎ(1)=f(1)−11≥f(1)−11+u≥f(1+u)−11+u，矛盾，
所以对任意01，
综合两方面可知，对任意的x>0，都有f(x)>1，
所以对任意a≤1，关于x的方程f(x)=a一定无解． 性能指标值k
90≤k<100
85≤k<90
80≤k<85
75≤k<80
70≤k<75
等级
A
B
C
D
E