2024-2025学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−1A. {x|−12.若a=40.5，b=lg40.5，c=0.54，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a
3.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A. 若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB. 若l//α，α//β，则l⊂β
C. 若l⊥α，α//β，则l⊥βD. 若l//α，α⊥β，则l⊥β
4.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )
A. 12B. 1C. 2D. 4
5.“lga>lgb”是“(a−2)3>(b−2)3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
6.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于x=π3对称，则φ=( )
A. −π6B. π6C. −π3D. π3
7.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O−ABC的体积为 ( )
A. 212B. 312C. 24D. 34
8.已知a>b>0，则4a+42a+b+12a−b的最小值为( )
A. 2B. 2 2C. 6D. 4 2
9.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y−4=0相切，则圆C面积的最小值为( )
A. 45πB. 34πC. (6−2 5)πD. 54π
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知i是虚数单位，则1−i1+2i= ______．
11.(3x3−x33)6的展开式中常数项为______．
12.函数f(x)= lg12(2x−1)的定义域是______．
13.若直线l：kx+y=0截圆(x−2)2+y2=4所得的弦长为2，则k的值为．
14.已知菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，|AC|=2 3，E为BC边上动点，则EA⋅ED的最小值为______．
15.已知函数f(x)=12−|x−32|(x≤2)ex−2(−x2+8x−12)(x>2)，若在区间(1,+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(xn)xn成立，则n的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
在△ABC中，内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，已知sinA：sinB：sinC=2：2： 5，a=4．
(1)求c的值；
(2)求csB的值；
(3)求sin(2B−π3)的值．
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC= 2csB，a2+b2−c2= 2ab．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+ 3，求c．
18.(本小题15分)
如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面ABCD为梯形，AB//CD，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1，E是B1C1的中点，F是DD1的中点．

(1)求证：D1E//平面CB1F；
(2)求平面CB1F与平面BB1CC1夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1F的距离．
19.(本小题15分)
如图，在四棱锥E−ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，EA⊥ED，EA=ED，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD= 5．

(1)求证：AB⊥ED；
(2)求二面角E−CD−A的余弦值；
(3)求直线EA与平面ECD所成角的正弦值；
20.(本小题16分)
已知函数f(x)=sin2x−sin2(x−π6)，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求f(x)在区间[−π3,π4]上的最大值与最小值．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.A
6.A
7.A
8.C
9.A
10.−15−35i
11.−20
12.(0,1]
13.± 3
14.234
15.4
16.解：(1)由已知及正弦定理得：
a：c=sinA：sinC=2： 5，
又a=4，解得c=2 5；
(2)由已知，得sinA=sinB，则b=a=4，
则csB=a2+c2−b22ac=16+20−1616 5= 54；
(3)由(2)及sin2B+cs2B=1，得sinB= 114，
所以sin2B=2sinBcsB= 558，cs2B=1−2sin2B=−38，
则sin(2B−π3)=sin2Bcsπ3−cs2Bsinπ3= 55+3 316．
17.解：(1)因为a2+b2−c2= 2ab，所以由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab= 2ab2ab= 22，
而C∈(0,π)，因此C=π4．
又因为sinC= 2csB，所以sinπ4= 2csB，即 22= 2csB，解得csB=12，
而B∈(0,π)，因此B=π3．
(2)由(1)知：B=π3，C=π4，因此A=π−B−C=π−π3−π4=5π12．
因为△ABC的面积为3+ 3，所以12absinC=3+ 3，即12ab× 22=3+ 3，解得ab=2 2(3+ 3)．
又因为由正弦定理得a=csinAsinC，b=csinBsinC，所以ab=c2sinAsinBsin2C，
即2 2(3+ 3)=c2sin⁡5π12sin⁡π3sin2π4= 3c2sin⁡(π6+π4)，
即2 2(3+ 3)= 3c2 6+ 24，解得c=2 2(c=−2 2舍去)．
18.解：(1)证明：在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,2)，E(32,12,2)，F(0,1,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,2)，D(0,1,0)，D1(0,1,2)，
则CB1=(1,−1,2)，CF=(−1,0,1)，BB1=(0,0,2)，
设平面CB1F的法向量m=(x,y,z)，D1E=(32,−12,0)，
则m⊥CB1m⊥CF，则m⋅CB1=x−y+2z=0m⋅CF=−x+z=0，
不妨令x=1，可得m=(1,3,1)，
因为D1E⋅m=1×32−12×3+0=0，所以D1E⊥m，
且D1E⊄平面CB1F，即D1E//平面CB1F.
(2)设平面BB1CC1的法向量n=(x1,y1,z1)，
则n⊥C B1n⊥BB1，则n⋅CB1=x1−y1+2z1=0n⋅BB1=2z1=0，
不妨令x1=1，可得n=(1,1,0)，
于是cs=m⋅n|m|⋅|n|=4 11⋅ 2=2 2211，
所以平面CB1F与平面BB1CC1夹角的余弦值为2 2211．
(3)由BB1=(0,0,2)，平面CB1F的一个法向量m=(1,3,1)，
则点B到平面CB1F的距离为d=|m⋅BB1||m|=2 11=2 1111．
19.解：(1)证明：因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面EAD，ED⊂平面EAD，
所以AB⊥ED；
(2)取AD的中点O，因为EA=ED，所以AD⊥OE，
因为面EAD⊥面ABCD，面EAD∩面ABCD=AD，OE⊂面EAD，
所以OE⊥平面ABCD，又AC=CD= 5，故OC⊥AD，
以OC，OA，OE的正方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则A(0,1,0)，C(2,0,0)，D(0,−1,0)，E(0,0,1)，
所以EC=(2,0,−1)，CD=(−2,−1,0)，
设平面EDC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥ECn⊥CD，即n⋅EC=0n⋅CD=0，得2x−z=0−2x−y=0，
令x=1，得n=(1,−2,2)，
因为平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1)，
则cs〈m,n〉=n⋅m|n|⋅|m|=23，
因为二面角E−CD−A为锐角，
所以二面角E−CD−A的余弦值为23；
(3)因为EA=(0,1,−1)，且平面ECD的法向量为n=(1,−2,2)，
因为cs〈EA,n〉=|EA⋅n|EA||n||=2 23，
所以直线EA与平面ECD所成角的正弦值为2 23．
20.解：(1)由题意可得f(x)=sin2x−(34sin2x− 32sinxcsx+14cs2x)
=14sin2x+ 32sinxcsx−14cs2x
=−14(cs2x−sin2x)+ 34(2sinxcsx)
=−14cs2x+ 34sin2x
=12sin(2x−π6)，
所以f(x)的最小正周期为π；
(2)令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
则−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)，
令π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ，k∈Z，
则π3+kπ≤x≤5π6+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调减区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z)；
(3)因为x∈[−π3,π4]，
则t=2x−π6∈[−5π6,π3]，
且y=12sint在区间[−5π6,−π2]上单调递减，[−π2,π3]上单调递增，
而12sin(−π2)=−12<12sin(−5π6)=−14<12sinπ3= 34，
所以f(x)的最大值为 34，最小值为−12．