高考数学二轮复习讲义练习专题2.8 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷-基础篇（教师版）

这是一份高考数学二轮复习讲义练习专题2.8 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷-基础篇（教师版），共13页。
1．（5分）（2022秋•南昌月考）“ab＞0”是“ba+ab≥2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由ab＞0可得a＞0b＞0或a＜0b＜0，从而可得ba+ab≥2；由ba+ab≥2，可得ba＞0，进而可得ab＞0，即可得答案．
【解答过程】解：由ab＞0可得a＞0b＞0或a＜0b＜0，
当a＞0b＞0时，由基本不等式可得ba+ab≥2，当a＝b时，等号成立；
当a＜0b＜0时，ba＞0，ab＞0，由基本不等式可得ba+ab≥2，所以充分性满足；
当ba+ab≥2时，设t=ba，
则有t+1t≥2，由对勾函数的性质可得t＞0，即ba＞0，可得ab＞0，所以必要性满足．
故“ab＞0”是“ba+ab≥2”的充要条件．
故选：C．
2．（5分）（2022秋•凉州区校级月考）设b＞a＞0，则下列不等关系正确的是（ ）
A．1a＜1bB．0＜ab＜1C．a+b＞2bD．ba＜ab
【解题思路】利用特殊值可判断A，C，D；利用不等式的性质可判断B．
【解答过程】解：令a＝2，b＝3，满足b＞a＞0，
但1a=12＞1b=13，a+b＝5＜2b＝6，ba=32＞ab=23，故A，C，D错误．
由b＞a＞0，得1b＞0，所以1＞ab＞0，故B正确．
故选：B．
3．（5分）（2022春•九江期末）已知a=2，b=7−3，c=6−2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【解题思路】运用不等式的基本性质直接比较两数的大小．
【解答过程】解：∵a=2，b=7−3，c=6−2，
∴由a−b=2+3−7，且(2+3)2=5+26＞7，故a＞b，
由a−c=22−6且(22)2=8＞6，故a＞c，
由b−c=(7+2)−(6+3)且(6+3)2=9+218＞9+214=(7+2)2，故c＞b，∴a＞c＞b，
故选：B．
4．（5分）（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则ba+2b的最小值为（ ）
A．32B．2+1C．52D．3
【解题思路】由已知可知ba+2b=ba+ab+1，利用基本不等式即可求解．
【解答过程】解：因为a，b为正实数且a+b＝2，
所以ba+2b=ba+a+bb=ba+ab+1≥2ba⋅ab+1＝2+1＝3，当且仅当ba=ab，即a＝b时等号成立，
所以ba+2b的最小值为3．
故选：D．
5．（5分）（2022•民勤县校级开学）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2B．a＜3C．﹣2≤a＜3D．﹣2≤a≤3
【解题思路】直接根据二次函数的性质求解即可．
【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴Δ=(−2a)2−4(a2−2a−4)≥0−−2a2×1≤3，解得a≥−2a≤3，即﹣2≤a≤3，
故选：D．
6．（5分）（2022秋•本溪期中）不等式mx2+4mx﹣4＜0对于∀x∈R恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m≤0B．﹣1＜m＜0C．﹣1≤m＜0D．﹣1≤m≤0
【解题思路】对m进行分类讨论，结合不等式恒成立的等价条件即可得到结论．
【解答过程】解：当m＝0时，不等式等价为﹣4＜0，此时不等式满足题意；
当m≠0时，不等式恒成立等价为m＜0Δ=16m2+16m＜0，
解得m＜0−1＜m＜0，
即﹣1＜m＜0；
综上，m的取值范围是﹣1＜m≤0．
故选：A．
7．（5分）（2022春•双鸭山期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，4），则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（ ）
A．{x|x＜−12或x＞14}B．{x|−14＜x＜12}
C．{x|x＜−14或x＞12}D．{x|−12＜x＜14}
【解题思路】由已知结合二次方程与二次不等式的关系可得a，b，c的关系及范围，然后结合二次不等式的求法即可求解．
【解答过程】解：由题意得a＜0−2+4=−ba−2×4=ca，
所以b＝﹣2a＞0，c＝﹣8a＞0，
所以不等式cx2﹣bx+a＝﹣8ax2+2ax+a＜0，
即8x2﹣2x﹣1＜0，
解得−14＜x＜12．
故选：B．
8．（5分）（2022•福田区校级开学）已知抛物线y=12x2﹣bx+c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：
①b2＜2c；
②若c＞1，则b＞32；
③已知点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线y=12x2﹣bx+c上，当m1＜m2＜b时，n1＞n2；
④若方程12x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2＞3．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】由题意可知Δ＞0，可判断①，由当x＝1时y＜0可判断②，由二次函数的单调性可判断③，由韦达定理可判断④．
【解答过程】解：∵a=12＞0，∴抛物线开口向上，
对于①，∵当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣2c＞0，∴b2＞2c，故①错误；
对于②，∵当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0，
∴12−b+c＜0，∴b＞12+c，
当c＞1时，则b＞32，故②正确；
对于③，抛物线的对称轴为直线x＝b，且开口向上，
当x＜b时，y的值随x的增大而减小，
∴当m1＜m2＜b时，n1＞n2，故③正确；
对于④，∵方程12x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2b，
由②可知，当c＞1时，则b＞32，
∵c不一定大于1∴x1+x2不一定大于3，故④错误；
综上，正确的有②③，共2个，
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022秋•平遥县校级月考）已知1a＜1b＜0，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．ab＞a﹣bB．ab＜﹣a﹣bC．ba+ab＞2D．ba＞ab
【解题思路】取a=−12，b＝﹣2可判断A；取a＝﹣2，b＝﹣3可判断B；根据基本不等式可判断C；作差可判断D．
【解答过程】解：因为1a＜1b＜0，所以b＜a＜0．
对于A，取a=−12，b＝﹣2，则ab＝1，a﹣b=32，此时ab＜a﹣b，故A错误；
对于B，取a＝﹣2，b＝﹣3，则ab＝6，﹣a﹣b＝5，此时ab＞﹣a﹣b，故B错误；
对于C，因为b＜a＜0，所以ba＞0，ab＞0，且ba≠ab，根据基本不等式可得ba+ab＞2，故C正确；
对于D，ba−ab=b2−a2ab＞0，故ba＞ab，故D正确．
故选：CD．
10．（5分）（2022•天元区校级开学）若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．ab有最小值14
B．a+b有最大值2
C．1a+2b+12a+b有最小值43
D．a2+b2有最小值12
【解题思路】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：由正实数a，b满足a+b＝1，则ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，所以ab的最大值为14，故A选项错误；
由(a+b)2=a+b+2ab≤2(a+b)=2，则a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，所以a+b有最大值2，故B选项正确：
由1a+2b+12a+b=13(3a+3b)(1a+2b+12a+b)=13[(a+2b)+(2a+b)](1a+2b+12a+b)=13(2+2a+ba+2b+a+2b2a+b)≥13(2+2a+2b2a+b⋅2a+ba+2b)=43，当且仅当a=b=12时，等号成立，所以1a+2b+12a+b有最小值43，故C选项正确；
由a2+b2=(a+b)2−2ab≥(a+b)2−2×(a+b2)2=(a+b)22=12，当且仅当a=b=12时，等号成立，所以a2+b2有最小值12，故D选项正确；
故选：BCD．
11．（5分）（2022•蕉城区校级开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB，则下列结论正确的为（ ）
A．abc＜0B．a+b+c＞0C．ac﹣2b+4＝0D．OA•OB=−ca
【解题思路】利用函数图象开口以及对称轴方程可判断A，将x＝1代入函数，可判断B，根据OC＝2OB，设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0），（x2＞0 ），得B（−12c，0），
代入函数可判断C，根据韦达定理可判断D，即可解．
【解答过程】解：根据图象，则a＞0，又对称轴x=−b2a＜0，则b＞0，
又ca＜0，则c＜0，
则abc＜0，故A正确，
当x＝1时，y＝a+b+c，不能说明y的值是否大于0，故B错误，
设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0），（x2＞0 ），
∵OC＝2OB，
∴﹣2x2＝c，
∴x2=−12c，
∴B（−12c，0），
将点B代入函数，得14ac2−12bc+c=0，故ac﹣2b+4＝0，故C正确，
当y＝0时，ax2+bx+c＝0，方程的两个根x1，x2，则x1•x2=−ca，
即OA•OB=−ca，则D正确，
故选：ACD．
12．（5分）（2021秋•金华期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．ax+c＞0的解集为{x|x＞6}
C．8a+4b+3c＜0
D．cx2+bx+a＜0的解集为{x|−12＜x＜13}
【解题思路】由不等式与方程的关系得a＜0−2+3=−ba−2×3=ca，从而可得b＝﹣a，c＝﹣6a，且a＜0，再依次对四个选项判断即可．
【解答过程】解：∵不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，
∴a＜0−2+3=−ba−2×3=ca，
即b＝﹣a，c＝﹣6a，
故选项A正确；
ax+c＞0可化为ax﹣6a＞0，
即x﹣6＜0，
故ax+c＞0的解集为{x|x＜6}，故选项B错误；
8a+4b+3c＝8a﹣4a﹣18a＝﹣14a＞0，故选项C错误；
cx2+bx+a＜0可化为﹣6ax2﹣ax+a＜0，
即6x2+x﹣1＜0，
故不等式的解集为{x|−12＜x＜13}，
故选项D正确．
故选：AD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022秋•凉州区校级月考）已知M＝x2﹣3x，N＝﹣3x2+x﹣3，则M，N的大小关系是 M＞N ．
【解题思路】利用作差法直接比大小．
【解答过程】解：M﹣N＝（x2﹣3x）﹣（﹣3x2+x﹣3）＝4x2﹣4x+3＝（2x﹣1）2+2＞0，
∴M＞N，
故答案为：M＞N．
14．（5分）（2022春•新都区期末）关于x的不等式ax2+bx+2≥0的解集是{x|x≤1或x≥2}，则a+b＝ ﹣2 ．
【解题思路】根据题意可知关于x的方程ax2+bx+2＝0的解集是{1，2}，以此列方程求出a，b的值，再求出a+b即可．
【解答过程】解：根据题意可知关于x的方程ax2+bx+2＝0的解集是{1，2}，
所以−ba=1+2=32a=1×2=2，解得a=1b=−3，所以a+b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．（5分）（2022•南京模拟）已知a＞0，b＞0，则(a+b)(2a+8b)的最小值为 18 ．
【解题思路】利用基本不等式所需的“积为定值”即可求解．
【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，
∴(a+b)(2a+8b)=10+2ba+8ab≥10+22ba×8ab=10+8=18．
当且仅当2ba=8ab，即b＝2a时，等号成立，
∴(a+b)(2a+8b)的最小值为18．
故答案为：18．
16．（5分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知二次函数y＝x2+bx+c图象如图所示．则不等式bx2﹣cx+3≤0的解集为 （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） ．
【解题思路】利用二次函数图象可得b、c，再解不等式．
【解答过程】解：根据图象可得，﹣1和2是x2+bx+c＝0的两根，
可得，﹣b＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，
则bx2﹣cx+3≤0等价于﹣x2+2x+3≤0，即x2﹣2x﹣3≥0，
则解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022•南京模拟）比较ab+ba与a+b(a＞0，b＞0）的大小．
【解题思路】做差化简，分情况讨论比较大小．
【解答过程】解：（ab+ba）﹣（a+b）
=aa+bb−ab(a+b)ab
=a(a−b)−b(a−b)ab
=(a−b)(a−b)ab
=(a+b)(a−b)2ab．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，ab＞0，
又∵（a−b）2≥0（当且仅当a＝b时等号成立），
∴(a+b)(a−b)2ab≥0，
即ab+ba≥a+b（当且仅当a＝b时等号成立．）
18．（12分）（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．
【解题思路】对于二次项含参的一元二次不等式，需要对二次项系数a是否为零进行讨论，进而求解即可．
【解答过程】解：由不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0化简可得（ax+1）（x﹣2）≥0．
由于二次项系数含参，故进行如下讨论：
①当a＝0时，原不等式化简为：x﹣2≥0，解得x≥2．
②当a＜0时，不等式为：（ax+1）（x﹣2）≥0．
解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的两根分别为为x1=−1a，x2＝2．
则：当a=−12时，解为：x＝2．
当−12＜a＜0时，−1a＞2，解为；2≤x≤−1a．
当a＜−12时，−1a＜2，解为：−1a≤x≤2．
综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥2}．
当a=−12时，解集为{x|x＝2}．
当−12＜a＜0时，解集为：{x|2≤x≤−1a}．
当a＜−12时，解集为：{x|−1a≤x≤2}．
19．（12分）（2022春•青铜峡市校级期末）（1）已知x＞3，求4x−3+x的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x+3y的最小值．
【解题思路】（1）配凑可得4x−3+x=4x−3+(x−3)+3，再利用基本不等式，即可求解；
（2）利用基本不等式中的“乘1法”，即可得解．
【解答过程】解：（1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，
∴4x−3+x=4x−3+(x−3)+3≥24x−3×(x−3)+3=4+3=7，
当且仅当4x−3=x−3，即x＝5时取等号，
∴4x−3+x的最小值为7．
（2）∵x，y∈R+，
∴1x+3y=(x+y)(1x+3y)=4+(yx+3xy)≥4+2×yx⋅3xy=4+23，
当且仅当y=3x，即x=3−12，y=3−32时取等号，
∴1x+3y的最小值为4+23．
20．（12分）（2022春•兴庆区校级期末）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[t，t+1]（t∈R）的最小值g（t）的表达式．
【解题思路】（1）由f（0）＝1，设函数为f（x）＝ax2+bx+1（a≠0），代入f（x+1）﹣f（x）＝2x，求出a，b，由此能求出函数解析式；
（2）由对称轴求出函数的单调区间，分类讨论，能求出函数f（x）在[t，t+1]（t∈R）的最小值g（t）的表达式．
【解答过程】解：（1）由f（0）＝1，设函数为f（x）＝ax2+bx+1（a≠0），
∵二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，
∴f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2ax+a+b＝2x，
∴2a=2a+b=0，∴a=1b=−1，
∴f（x）＝x2﹣x+1．
（2）f（x）＝x2﹣x+1的对称轴为x=12，
∴f（x）在区间（﹣∞，12]上单调递减，在区间（12，+∞）上单调递增，
f（x）在x∈[t，t+1），t∈R上，
当t≤−12时，f（x）min＝f（t+1）＝t2+t+1，
当−12＜t＜12时，f（x）min＝f（12）=34，
当t≥12时，f（x）min＝f（t）＝t2﹣t+1，
综上，函数f（x）在[t，t+1]（t∈R）的最小值g（t）的表达式为：
g(t)=t2+t+1，t＜−1234，−12≤t≤12t2−t+1，t＞12．
21．（12分）（2022•连云区校级开学）已知函数f（x）＝x2+2ax+1．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在x∈[﹣2，2]上的最大值与最小值；
（2）若f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值为4，求实数a的值．
【解题思路】（1）a＝1时，求出f（x）的解析式，根据二次函数的对称性可知在x＝﹣1处取得最小值，在x＝2处取得最大值；
（2）该二次函数是开口向上的抛物线，所以最大值必定在区间的两端，分别求解可得a的值．
【解答过程】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2+2x+1＝（x+1）2，
对称轴为x＝﹣1，
当x∈[﹣2，2]时，f（x）min＝f（﹣1）＝0，f（x）max＝f（2）＝9；
（2）因为f（x）是开口向上的抛物线，
所以f（﹣1）和f（2）中必有一个是最大值，
若f（﹣1）＝1﹣2a+1＝2﹣2a＝4，a＝﹣1，
若f(2)=4+4a+1=4，a=−14，
所以a＝﹣1或−14．
22．（12分）（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：
（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．
（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．
【解题思路】（1）由题意可是1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，利用韦达定理得以方程组，解得即可；
（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，讨论a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
【解答过程】解：（1）∵关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，
∴1+b=31×b=2a2，解得b=2a=±1．
（2）关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R），
即ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，
当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜﹣1}；
当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根为x1=3a，x2=−1，
∴①当a＞0时，3a＞−1，∴原不等式的解集为{x|x＞3a或x＜﹣1}；
②当﹣3＜a＜0时，3a＜−1，∴原不等式的解集为{x|3a＜x＜﹣1}；
③当a＝﹣3时，3a=−1，∴原不等式的解集为∅；
④当a＜﹣3时，3a＞−1，∴原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3a}．