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高考数学二轮复习讲义练习专题4.12 指数函数与对数函数全章综合测试卷-基础篇（教师版）
展开这是一份高考数学二轮复习讲义练习专题4.12 指数函数与对数函数全章综合测试卷-基础篇（教师版），共12页。试卷主要包含了函数y=lga+2过定点等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·江西·高三阶段练习）函数y=lga(x-1)+2过定点（ ）
A．(1,0)B．(1,1)C．(2,2)D．(2,0)
【解题思路】根据函数y=lgax恒过点(1,0)，令x-1=1，即得解.
【解答过程】由于函数y=lgax恒过点(1,0)，令x-1=1，则x=2，y=lga1+2=2，
故函数恒过定点(2,2).
故选：C.
2．（5分）（2022·江苏省高一阶段练习）化简3a2a−1÷3a−83a15÷3a−3a−1的结果为（ ）
A．a−1B．a−2C．1D．a
【解题思路】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】
3a2a−1÷3a−83a15÷3a−3a−1=3a2a−12÷a−83a5÷3a−32a−12=3a32÷a73÷3a−2=a12÷a76÷a−23=a12−76÷a−23=a−23÷a−23=1
故选：C.
3．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A⋅h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C=In⋅t，其中n=lg322为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流I=10A时，放电时间t=56h，则当放电电流I=15A时，放电时间为（ ）
A．28hB．28.5hC．29hD．29.5h
【解题思路】根据题意求出蓄电池的容量C，再把I=15A代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.
【解答过程】由C=Ilg322t，得I=10时，t=56，即10lg322⋅56=C；
I=15时，C=15lg322⋅t；∴10lg322⋅56=15lg322⋅t，
∴t=23lg322⋅56=32-lg322⋅56=2-1⋅56=12×56=28.
故选：A.
4．（5分）（2021·甘肃·高一期中）已知函数f(x)=ln(x+2)+2x-m的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
由二分法，方程ln(x+2)+2x-m=0的近似解（精确度为0.05）可能是（ ）A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
【解题思路】按照二分法的方法流程进行计算，根据f(a)⋅f(b)<0的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．
【解答过程】由题意得f(x)=ln(x+2)+2x-m在区间(0,+∞)上单调递增，
设方程ln(x+2)+2x-m=0的解的近似值为x0，
由表格得f(0.53125)⋅f(0.5625)<0，
所以x0∈(0.53125,0.5625),
因为|0.53125-0.5625|=0.03125<0.05，
所以方程的近似解可取为0.5625．
故选：C.
5．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）设fx=12x，x∈R，那么fx是（ ）
A．奇函数且在-∞,0上是增函数B．偶函数且在-∞,0上是减函数
C．奇函数且在-∞,0上是减函数D．偶函数且在-∞,0上是增函数
【解题思路】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数的单调性判断f(x)在-∞,0上的单调性即可.
【解答过程】∵fx=(12)x，x∈R，
∴f-x=(12)-x=(12)x=fx，
故fx为偶函数,当x<0时，fx=2x，是增函数，
故选：D．
6．（5分）（2022·山东·高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（ ）
A．2.30.7>0.83.1B．0.7−2.5>0.7−2.9
C．1.90.3>1.90.6D．2.70.9<2.70.3
【解题思路】根据指数函数的单调性即可比较B,C,D,由中间值法可求解A.
【解答过程】对于A,由于2.30.7>2.30=1 ，0.83.1<0.80=1，故2.30.7>0.83.1,故正确，
对于B,由于y=0.7x为单调递减函数，所以0.7-2.5<0.7-2.9 ，故错误，
对于C，由于y=1.9x为单调递增函数，所以1.90.3<1.90.6，故错误，
对于D，由于y=2.7x为单调递增函数，所以2.70.9>2.70.3，故错误,
故选：A.
7．（5分）（2022·北京·高一阶段练习）若a=lg60.6，b=1.10.6，c=lg0.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．b>a>c
【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系
【解答过程】∵a=lg60.6
故选：B.
8．（5分）（2022·河南信阳·一模（理））已知函数f(x)=lg0.5x2-ax+3a在(2,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围（ ）
A．(-∞,4]B．[4,+∞)C．[-4,4]D．(-4,4]
【解题思路】令g(x)=x2-ax+3a，则函数g(x)在(2,+∞)内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围
【解答过程】解：令g(x)=x2-ax+3a，
∵ f(x)=lg0.5x2-ax+3a在(2,+∞)上单调递减，
∴ g(x)在(2,+∞)内递增，且恒大于0，
∴a2≤2且g(2)≥0，
∴-4≤a≤4．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．−x=−x12B．6y2=y13y<0
C．х−13=13xx>0D．3−x234=x12x>0
【解题思路】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【解答过程】−x=−x12x≥0，而−x12=−xx≤0，故A错误；
6y2=−y13y<0，故B错误；
x−13=13xx>0，故C 正确；3−x234=x2×13×34=x12x>0，故D正确.
故选：CD.
10．（5分）（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（ ）
A．lg38lg35=lg85B．3a2⋅a3=a136
C．若a+a−1=14，则a12+a−12=3D．12−lg27+lnlne=7
【解题思路】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.
【解答过程】解：对于选项A，由换底公式可得lg38lg35=lg58，故A不正确；
对于选项B，3a2⋅a3=a23⋅a32=a23+32=a136，故B正确；
对于选项C，设a12+a−12=t t>0，两边分别平方可得a+a−1+2=t2，因为a+a−1=14，所以t2=16，故a12+a−12=4，故C不正确；
对于选项D，12−lg27+lnlne=2lg27+ln1=7+0=7，故D正确．
故选：BD．
11．（5分）（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在−1,1上的函数fx=−2⋅9x+4⋅3x，则下列结论中正确的是（ ）
A．fx的单调递减区间是0,1B．fx的单调递增区间是−1,1
C．fx的最大值是f0=2D．fx的最小值是f1=−6
【解题思路】首先换元，设t=3x，x∈−1,1，y=−2t2+4t=−2t−12+2，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD.
【解答过程】设t=3x，x∈−1,1，则t=3x是增函数，且t∈13,3，
又函数y=−2t2+4t=−2t−12+2在13,1上单调递增，在1,3上单调递减，
因此fx在−1,0上单调递增，在0,1上单调递减，故A正确，B错误；
fxmax=f0=2，故C正确；
f−1=109，f1=−6，因此fx的最小值是−6，故D正确．
故选:ACD．
12．（5分）（2022·浙江·高一期末）关于函数f(x)=ln1−x1+x，下列说法中正确的有（ ）
A．fx的定义域为−∞,−1∪1,+∞
B．fx为奇函数
C．fx在定义域上是减函数
D．对任意x1，x2∈−1,1，都有fx1+fx2=fx1+x21+x1x2
【解题思路】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断
【解答过程】对于A，由1−x1+x>0得−1
对于C，1−x1+x=−1+21+x，由复合函数的单调性知fx在(−1,1)上是减函数，故C正确，
对于D，任意x1，x2∈−1,1，x1+x21+x1x2∈(−1,1)，
fx1+fx2=ln[(1−x1)(1−x2)(1+x1)(1+x2)]，fx1+x21+x1x2=ln(1−x1+x21+x1x21+x1+x21+x1x2)=ln[(1−x1)(1−x2)(1+x1)(1+x2)]，故D正确，
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·四川省高三阶段练习（理））计算：1.10+eln3-0.5-2+lg25+2lg2= 2 ．
【解题思路】结合指数、对数运算求得正确答案.
【解答过程】1.10+eln3-0.5-2+lg25+2lg2=1+3-12-2+lg25+lg4
=4-4+lg25×4=lg102=2.
故答案为：2.
14．（5分）（2022·天津市高三阶段练习）已知a=20.7，b=130.7 ，c=lg213，则a,b,c的大小关系为 a>b>c ．
【解题思路】利用指数函数以及对数函数的性质判断a,b,c的取值范围，即得答案.
【解答过程】因为a=20.7>20=1，b=130.7=3-0.7∈(0,1)，c=lg213=-lg23<0，
故a>b>c，
故答案为：a>b>c.
15．（5分）（2022·全国·高一专题练习）设不等式4x−m4x+2x+1≥0对于任意的x∈0,1恒成立，则实数m的取值范围是 (−∞,13] ．
【解题思路】参变分离可得m≤11+12x+14x，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出11+12x+14x的取值范围，即可得解.
【解答过程】解：由4x−m4x+2x+1≥0，得m4x+2x+1≤4x，
即m≤4x4x+2x+1=11+12x+14x，
∵x∈0,1，∴12x∈12,1，
则12x2+12x+1=12x+122+34∈74,3，
∴11+12x+14x∈13,47，则m≤13，即m∈−∞,13．
故答案为：−∞,13.
16．（5分）（2022·云南省高一阶段练习）已知函数 fx 是定义在 1-2a，a+1 上的偶函数，当 0⩽x⩽a+1 时， fx=x-3x+1. 若flg2m>1， 则 m 的取值范围是 18，14∪4，8 .
【解题思路】由奇偶性得a的值，再根据函数的奇偶性与单调性化简后求解，
【解答过程】由题意可得1-2a+a+1=0， 则a=2.
当x∈0，3时，fx=x-3x+1单调递增，因为fx是偶函数，
所以当x∈-3，0时，fx单调递减，而f-2=f2=1.
故flg2m>1等价于flg2m>f2，得−3⩽lg2m⩽3lg2m>2，
解得18⩽m<14或4
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·山东省高一期中）请解答下列各题：
(1)计算614+827-13+0.1250；
(2)已知x12+x-12=4，求x+x-1+4x2+x-2-200．
【解题思路】（1）根据指数幂的运算，即可求得答案.
（2）由x12+x−12=4求出x+x−1、x2+x−2的值，代入即可求得答案.
【解答过程】（1）
614+827−13+0.1250 =52+23−1+1 =5．
（2）
x12+x−12=4，
∴x+x−1=x12+x−122−2=14，
∴x2+x−2=x+x−12−2=142−2=194，
∴x+x−1+4x2+x−2−200=14+4194−200=18−6=−3．
18．（12分）（2022·全国·高一单元测试）计算
(1)lg327+lg25+lg4+7lg72+-9.80
(2)lg8+lg125lg10⋅lg0.1-lg23×lg34.
【解题思路】（1）根据对数的运算性质求解，
（2）根据对数的运算性质和换底公式求解.
【解答过程】（1）
lg327+lg25+lg4+7lg72+-9.80
=lg3332+lg52+lg22+2+1
=32+2+2+1=132；
（2）
原式＝lg(8×125)12×(-1)-lg23×lg24lg23=-6-2=-8.
19．（12分）（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=2x2−8x−1为R上的连续函数，判断fx在−1,1上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．
【解题思路】根据零点存在性定理，由f−1=9，f1=−7，即f−1f1<0，fx为R上的连续函数，可知函数fx在−1,1上必存在零点，根据二分法，可得答案.
【解答过程】解析f−1=9，f1=−7．
因为f−1f1<0，fx为R上的连续函数，
所以函数fx在−1,1上必存在零点，设为x0．
所以x0∈−0.125,−0.0625．
因为－0.125，－0.0625精确到0.1的近似值都为－0.1，故所求近似值为－0.1．
20．（12分）（2022·江苏·高一单元测试）设x,y,z均为正数，且3x=4y=6z.
(1)试求x,y,z之间的关系.
(2)求使2x=py成立，且与p最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）.
(3)比较3x，4y，6z的大小.
【解题思路】（1）令3x=4y=6z=t，利用指对数互化求出x、y、z，由对数的运算性质求出1x、1y、1z，由对数的运算性质化简1z−1x与1y，即可得到关系值；
（2）由换底公式求出p，由对数函数的性质判断p的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简p与这2个整数的差，即可得到答案；
（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．
【解答过程】（1）
设3x=4y=62=t，由x、y、z均为正数得t>1.
故取以t为底的对数，可得xlgt3=ylgt4=zlgt6=1.
∴x=1lgt3，y=1lgt4，z=1lgt6.
1z−1x=lgt6−lgt3=lgt2=12lgt4=12y，
∴x、y、z之间的关系为1z−1x=12y.
（2）
p=2xy=2lgt3⋅lgt4=2⋅lg34=lg316.
由9<16<27，得lg39
由169÷2716=256243>1知169>2716，
∴p−2=lg3169>lg32716=3−p.
从而所求正整数为3.
（3）
∵3x−4y=3lg3t−4lg4t=3lgtlg3−4lgtlg4
=(3lg4−4lg3lg3⋅lg4)lgt=lgtlg3⋅lg4(lg43−lg34).
而lgt>0，lg3>0，lg4>0，lg43
而lgt>0，lg4>0，lg6>0，lg62
21．（12分）（2022·黑龙江·高三阶段练习（理））已知函数f(x)=b⋅ax（a>0，且a≠1）的图象经过点A(1,4)，B(3,16).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=f(x)−f(−x)(x≥2)，求函数g(x)的值域
【解题思路】（1）将给定的点代入函数式，再解方程组作答.
（2）由（1）求出函数g(x)的解析式，判断函数单调性求解作答.
【解答过程】（1）
依题意，ab=4ba3=16，而a>0，解得a=2,b=2，即有f(x)=2⋅2x=2x+1，
所以函数f(x)的解析式是f(x)=2x+1.
（2）
由（1）知，g(x)=f(x)−f(−x)=2x+1−2−x+1=2(2x−12x)，
因函数y=2x和y=−12x在[2,+∞)上都单调递增，因此函数g(x)在[2,+∞)上单调递增，g(x)max=g(2)=152，
所以函数g(x)的值域为[152,+∞).
22．（12分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知函数f(x)=lga1-mxx-1（a>0且a≠1）是奇函数．
(1)求m的值；
(2)当a>1时，判断f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性并加以证明；
(3)当a>1，x∈(1,3)时，f（x）的值域是（1，＋∞），求a的值.
【解题思路】（1）由已f-x=-fx可得lga1+mx-x-1+lga1-mxx-1=0化为1-m2x2=1-x2，求得m=±1，检验可得结果；
（2）任取1
【解答过程】（1）
由已知f-x=-fx 即lga1+mx-x-1+lga1-mxx-1=0，
∴(1-mx)(1+mx)=(x+1)(1-x)，1-m2x2=1-x2
∴m=±1
当m=1时，1-mxx-1=-1<0舍去 ∴m=-1.经检验满足题意.
（2）
由（1）得f(x)=lgax+1x-1，任取1
又(x2+1)(x1-1)-(x2-1)(x1+1)=2(x1-x2)，
∴0＜(x2+1)(x1-1)(x2-1)(x1+1)＜1，
当a∈(0,1)时，lga(x2+1)(x1-1)(x2-1)(x1+1)＞0，∴fx2>fx1，此时fx为增函数，
当a∈(1,+∞)时，lga(x2+1)(x1-1)(x2-1)(x1+1)＜0，∴fx2
由（2）知：当a>1时，fx在(1,+∞)为减函数，
又(1,3)⊂(1,+∞)，
即f(x)在(1,3)上递减，∴f(3)=lga3+13-1=1，
∴a=3+13-1=(3+1)22=2+3.x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
fx
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
区间
中点的值
中点函数值符号
−1,1
0
f0=−1<0
−1,0
－0.5
f(−0.5)=72>0
−0.5,0
－0.25
f(−0.25)=98>0
−0.25,0
－0.125
f(−0.125)=132>0
−0.125,0
－0.0625
f(−0.0625)=−63128<0
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