高考数学二轮复习讲义练习综合测试卷：必修一全册（基础篇）（教师版）

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1．（5分）（2022·四川省高一期中）已知集合A={x|−2A．{−1,0}B．{−1,0,1}C．{0,1}D．{−1,0,1,2}
【解题思路】根据集合的交运算即可求解.
【解答过程】由集合A={x|−2故选：A.
2．（5分）（2022·广东·高一期中）已知函数fx=2m+3x2+2mx+1的定义域为R，则实数m的取值范围是（）
A．−32,3B．−1,3
C．−32,1∪3,+∞D．−∞,−1∪3,+∞
【解题思路】由题意得不等式恒成立，分类讨论列不等式组求解，
【解答过程】由题意得2m+3x2+2mx+1≥0对x∈R恒成立，
当2m+3=0即m=−32时，不满足题意，
当2m+3≠0时，由2m+3>0Δ=4m2−4(2m+3)≤0解得−1≤m≤3，
综上，m的取值范围是−1,3，
故选：B.
3．（5分）（2022·福建莆田·高一期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R ，则下列命题正确的是（）
A．若a>b，则1a<1b
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若a>b，则a2>b2
D．若a>b>c>0，则ba−b>ca−c
【解题思路】举反例，取a=1,b=−1，可判断A,C ,取c=0可判断B；根据不等式性质可判断D.
【解答过程】取a=1,b=−1 ，满足a>b，但1a>1b，A错误；
当c=0 ，若a>b，则ac2=bc2，B错误；
取a=1,b=−1 ，满足a>b，但a2=b2，C错误；
若a>b>c>0，则01a−c>0，
所以ba−b>ca−c>0，故D正确，
故选:D.
4．（5分）（2022·广东·深圳市高一期中）设a=lg38，b=21.1，c=0.81.1，则a，b，c的大小关系为（）
A．c【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【解答过程】解：∵1=lg33∵21.1>21=2，∴b>2，
∵0<0.81.1<0.80=1，∴0∴c故选：A.
5．（5分）（2022·江苏·南京市高一期中）定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(3)=0，则满足xf(x)>0的x的取值范围是（）
A．−∞,−3∪3,+∞B．−3,0∪3,+∞
C．−3,0∪0,3D．−∞,−3∪0,3
【解题思路】由题意可得f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上是减函数，且f(−3)=f3=0，再讨论x>0和x<0，可得不等式的解集.
【解答过程】由定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，
可得f(x)在(0,+∞)上是减函数；
又f(−3)=−f3=0，
不等式xf(x)>0，等价为x>0f(x)>0或x<0f(x)<0，
所以x>0时，即有f(x)>0=f3，解得0x<0时，即有f(x)<0=f(−3)，解得−3综上可得xf(x)>0的解集为−3,0∪0,3.
故选：C.
6．（5分）（2022·河北·高一期中）若两个正实数x,y满足1x+4y=1，且不等式x+y4<3m2−m有解，则实数m的取值范围为（）
A．−1,43B．−∞,−1∪43,+∞
C．−43,1D．−∞,−43∪1,+∞
【解题思路】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可.
【解答过程】∵不等式x+y4<3m2−m有解，∴x+y4min<3m2−m,∵x>0,y>0，且1x+4y=1，∴x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥24xy⋅y4x+2=4，当且仅当4xy=y4x，即x=2,y=8时取“="，∴x+y4min=4，故3m2−m>4，即m+13m−4>0，解得m<−1或m>43,∴实数m的取值范围是−∞,−1∪43,+∞.
故选：B.
7．（5分）（2022·江苏连云港·高三期中）已知函数fx=3sin2x−cs2x，x∈R，则（）
A．−2≤fx≤2B．fx在区间0，π上有1个零点
C．fx的最小正周期为2πD．x=23π为fx图象的一条对称轴
【解题思路】根据正弦型函数图象性质即可求解.
【解答过程】由题可知fx=3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
所以函数的值域为−2,2，故A正确；
令fx=2sin(2x−π6)=0，即2x−π6=kπ即x=π12+kπ2,k∈Z，
令0<π12+kπ2<π，−16所以有两个零点x=π12,7π12，故B错误；
T=2πω=π,故C错误；
令2x−π6=π2+kπ即x=π3+kπ2,k∈Z，
没有任何k∈Z能使得x=23π，故D错误；
故选:A.
8．（5分）（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数fx=Asinωx+φx∈R,A>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A．fx+π6为偶函数
B．fx的图象向右平移π6个单位长度后得到y=Asin2x的图象
C．fx图象的对称中心为−π12+kπ,0，k∈Z
D．fx在区间0,π2上的最小值为−3
【解题思路】根据函数最大值和最小正周期可得A,ω，由fπ6=2可得φ，从而得到fx解析式；由fx+π6=2cs2x可确定奇偶性，知A正确；根据三角函数平移变换原则可得B错误；利用整体代换法，令2x+π6=kπk∈Z可求得对称中心，知C错误；由2x+π6∈π6,7π6，结合正弦函数性质可确定最小值为2sin7π6=−1，知D错误.
【解答过程】∵fxmax=2，A>0，∴A=2；
由图象可知：fx最小正周期T=4×5π12−π6=π，∴ω=2πT=2，
又fπ6=2sin2×π6+φ=2，∴π3+φ=π2+2kπk∈Z，解得：φ=π6+2kπk∈Z，
又φ<π2，∴φ=π6，∴fx=2sin2x+π6；
对于A，fx+π6=2sin2x+π6+π6=2sin2x+π2=2cs2x，
∵2cs−2x=2cs2x，∴fx+π6为偶函数，A正确；
对于B，fx−π6=2sin2x−π6+π6=2sin2x−π6≠2sin2x，B错误；
对于C，令2x+π6=kπk∈Z，解得：x=−π12+kπ2k∈Z，
∴fx的对称中心为−π12+kπ2,0k∈Z，C错误；
对于D，当x∈0,π2时，2x+π6∈π6,7π6，
∴当2x+π6=7π6，即x=π2时，fxmin=2sin7π6=−1，D错误.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·山东·高一阶段练习）有以下四种说法，其中说法正确的是（）
A．“m是实数”是“m是有理数”的必要不充分条件
B．“a>b>0”是“a2>b2”的充要条件
C．“x=3”是“x2−2x−3=0”的充分不必要条件
D．“A∩B=B”是“A=∅”的必要不充分条件
【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义，依次判断每个选项即可.
【解答过程】对于A，因为Q⊆R，故“m是实数”是“m是有理数”的必要不充分条件，A正确；
对于B，“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件，B错误；
对于C，x2−2x−3=0，故x=3或x=−1，故“x=3”是“x2−2x−3=0”的充分不必要条件，C正确；
对于D，A∩B=B，则B⊆A，“A∩B=B”是“A=∅”的既不充分也不必要条件，D错误.
故选：AC.
10．（5分）（2022·江苏省高一期中）已知a,b>0，a+2b=ab，则下列表达式正确的是（）
A．a>2，b>1 B．a+b的最小值为3
C．ab的最小值为8D．(a−2)2+(b−1)2的最小值为4
【解题思路】对A，通过用a表示b以及用b表示a，即可求出a,b范围，对B，对等式变形得2a+1b=1，利用乘“1”法即可得到最值，对C直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出ab最小值，对D通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.
【解答过程】对A选项，∵a,b>0,a+2b=ab，即ba−2=a，则b=aa−2，
则aa−2>0，且a>0,解得a>2，
∵a+2b=ab，则ab−1=2b,则a=2bb−1>0，且b>0，解得b>1，故A正确；
对B选项，∵a,b>0,a+2b=ab，两边同除ab得2a+1b=1，
则a+b=a+b2a+1b=3+ab+2ba≥3+2ab⋅2ba=3+22，
当且仅当ab=2ba，且2a+1b=1，即a=2+2,b=2+1时等号成立，故B错误；
对C选项，a+2b=ab≥22ab，∵a,b>0，解得ab≥22，故ab≥8，
当且仅当a=2b，且ab=8，即a=4,b=2时等号成立，故C正确；
对D选项，由A选项b=aa−2代入得(a−2)2+(b−1)2=(a−2)2+aa−2−12
=(a−2)2+2a−22=(a−2)2+4a−22≥2(a−2)2⋅4a−22=4，
当且仅当(a−2)2=4(a−2)2，a>2，即a=2+2时，此时b=2+1时，等号成立，
故D正确.
故选：ACD.
11．（5分）（2022·江苏省高一期中）给出以下四个命题，其中为真命题的是（）
A．函数y=x2−4与函数y=x+2·x−2表示同一个函数
B．若函数f(2x)的定义域为[0,2]，则函数f(x)的定义域为[0,4]
C．若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x)−f(−x)也是奇函数
D．函数y=−1x在(−∞,0)∪(0,+∞)上是单调增函数
【解题思路】通过具体函数求解定义域即可判断A，抽象函数求定义域即可判断B，利用函数奇偶性的判定方法即可判断C，利用反比例函数单调性即可判断D.
【解答过程】对A选项，y=x2−4，x2−4≥0，x≥2或x≤−2，故其定义域为−∞,−2∪2,+∞，而后者y=x+2⋅x−2，x+2≥0x−2≥0，解得x≥2，其定义域为[2,+∞)，定义域不同，故函数不同，所以A错误；
对B选项，∵x∈0,2,∴2x∈0,4，所以函数f(x)的定义域为0,4，故B正确；
对C选项，设ℎx=f(x)−f(−x)，根据fx为奇函数，则ℎx定义域关于原点对称，且 ℎ(−x)=f(−x)−f(x)=−fx−f−x=−ℎx，故其为奇函数，C正确，
对D选项，反比例函数y=−1x在−∞,0,0,+∞上单调递增，不能取并集，中间应用逗号或者“和”隔开，故 D错误.
故选：BC.
12．（5分）（2022·山东青岛·高三期中）将函数f(x)=3cs2x−π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的为（）
A．函数ℎ(x)=fx−π6为偶函数
B．直线x=1924π是函数g(x)图象的一条对称轴
C．−17π24,−11π24是函数g(x)的一个单调递减区间
D．将g(x)的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数y=3sin4x的图象
【解题思路】根据余弦型函数的图象变换性质，结合余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性逐一判断即可.
【解答过程】因为函数f(x)=3cs2x−π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，
所以g(x)=3cs4x−π6.
A：ℎ(x)=fx−π6=3cs2x−π6−π6=3cs2x−π2=3sin2x，
因为ℎ−x=3sin−2x=−3sin2x=−ℎx，所以函数ℎ(x)=fx−π6为奇函数，本选项说法不正确；
B：g(1924π)=3cs4×1924π−π6=−3，所以当x=1924π时，函数g(x)有最小值，所以直线x=1924π是函数g(x)图象的一条对称轴，因此本选项说法正确；
C：当x∈−17π24,−11π24时，4x−π6∈−3π,−2π，
因为函数y=3csx在−π,0上单调递增，所以在−3π,−2π上也单调递增，
所以−17π24,−11π24是函数g(x)的一个单调递增区间，因此本选项说法不正确；
D：g(x)的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g(x−π12)=3cs4x−π12−π6=3cs4x−π2=3sin4x，因此本选项说法正确，
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·湖南·高一期中）已知集合P={x∣−1≤x≤8},S={x∣2−2m≤x≤2+2m}，若x∈P是x∈S的充分不必要条件，则m的取值范围为 [3,+∞) .
【解题思路】根据集合之间的包含关系，列出不等关系，即可求得结果.
【解答过程】根据题意，集合P是集合S的真子集；
故2−2m≤−1，2+2m≥8，且不能同时取得等号，
解得m≥3，故m的取值范围为：[3,+∞).
故答案为：[3,+∞).
14．（5分）（2022·黑龙江·高三期中）若x>0，y>0，且9x2+y2+xy=4，则3x+y的最大值为 4217 ．
【解题思路】利用基本不等式的性质，求解和的最小值.
【解答过程】x>0，y>0，由基本不等式，3x+y≥23xy，即xy≤133x+y22，当且仅当y=3x时等号成立.
3x+y2=9x2+6xy+y2=9x2+y2+xy+5xy=4+5xy≤4+533x+y22，
即73x+y212≤4，解得3x+y≤4217，当y=3x，即x=22121，y=2217时，3x+y有最大值4217.
故答案为：4217.
15．（5分）（2022·湖南·高一期中）已知fx是定义在R上的奇函数，且对∀x1,x2∈R，当x1≠x2时，都有fx1−fx2x1−x2<0．若f2x−1+f3<0，则x的取值范围是 −1,+∞ ．
【解题思路】先判断函数fx的单调性，根据奇偶性化简题目所给不等式，利用函数的单调性求得x的取值范围．
【解答过程】当x1≠x2时，不妨设x10，即f(x1)>f(x2)，
所以fx在R上是减函数，
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以−f(3)=f(−3)，
故f2x−1+f3<0等价于f2x−1<−f3=f−3，
所以2x−1>−3，解得x>−1．
故答案为：−1,+∞．
16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当t=0时，盛水筒M位于点P0(3,−33)，经过t秒后运动到点P(x,y)，点P的纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为 −33 ．
【解题思路】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，可求出ω，由t=0时，P0(3,−33)求出R和φ，从而可求出f(t)的关系式，进而可求出点P的纵坐标
【解答过程】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，
所以T=2πω=120，得ω=π60，
所以y=f(t)=Rsinπ60t+φ，
因为当t=0时，盛水筒M位于点P0(3,−33)，
所以R=32+(−33)2=6，
所以f(t)=6sinπ60t+φ，
因为f(0)=−33，
所以6sinφ=−33，得sinφ=−32，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3，
所以f(t)=6sinπ60t−π3，
所以f(100)=6sinπ60×100−π3=6sin4π3=−6sinπ3=−6×32=−33，
所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为−33，
故答案为：−33.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·甘肃·高一期中）计算：
(1)2lg32−lg3329+lg38−52lg53；
(2)278−23−4990.5+0.008−23×125．
【解题思路】（1）根据对数的运算性质即可求解，
（2）根据指数幂的运算法则即可求解.
【解答过程】（1）2lg32−lg3329+lg38−52lg53=lg34−lg3329+lg38−5lg532=lg34×932×8−9 =lg39−9=2−9=−7
（2）278−23−4990.5+0.008−23×125=323×−23−732×0.5+0.23×−23×125
=32−2−73+0.2−2×125
=49−73+5−1−2×125
=49−73+25×125=49−73+1=−89.
18．（12分）（2022·湖南·高一阶段练习）已知合A=x−1(1)当m=0时，求A∩B；
(2)若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）代入m=0化简集合B，再利用集合的交集运算，结合数轴法可得结果；
（2）利用集合与充要条件的关系得到A是B的真子集，结合数轴法即可求得m的取值范围.
【解答过程】（1）因为m=0，所以B=xx又因为A=x−1所以A∩B=x1≤x<3.
（2）因为x∈B是x∈A的必要不充分条件，所以A是B的真子集，
又因为A=x−1所以m−1≥3或m+1≤−1，故m≥4或m≤−2，
故实数m的取值范围为−∞,−2∪4,+∞.
19．（12分）（2022·江苏·高一期中）设f(x)=ax2+(1−a)x+a−2.
(1)若不等式f(x)≥−2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式f(x)【解题思路】（1）由已知可得，ax2+(1−a)x+a−2≥0对于一切实数x恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论进行求解
（2）由已知可得，ax2+(1−a)x−1<0，分a=0、a>0、a=−1、a<−1、−1【解答过程】（1）解：不等式f(x)≥−2对于一切实数x恒成立等价于ax2+(1−a)x+a≥0对于一切实数x恒成立，
当a=0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；
当a≠0时，a>0Δ≤0即a>0(1−a)2−4a2≤0，解得a≥13；
综上可得a≥13.
（2）解：不等式f(x)当a=0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{x|x<1}；
当a>0时，不等式可化为(ax+1)(x−1)<0，此时−1a<1，
所以不等式的解集为{x|−1a当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x−1)<0，即x+1ax−1>0，
①当a=−1时，−1a=1，不等式的解集为{x|x≠1}；
②当−11，不等式的解集为{x|x>−1a或x<1}；
③当a<−1时，−1a<1，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}.
综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x|x<1}，
当a>0时，不等式的解集为{x|−1a当a=−1时，不等式的解集为{x|x≠1}，
当−1−1a或x<1}，
当a<−1时，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}.
20．（12分）（2022·江苏宿迁·高一期中）我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝56−2x, 010．
(1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本）
(2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
【解题思路】（1）由题意列式求解，
（2）由二次函数性质与基本不等式求解，
【解答过程】（1）由题意得F(x)=xg(x)−24x=−2x2+32x, 010，
（2）当0当x>10时，由基本不等式得6.4x+1440x≥26.4x⋅1440x=192，
则−6.4x−1440x+328≤136，当且仅当6.4x=1440x即x=15时等号成立，
综上，当销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元.
21．（2022·江苏·高一期中）已知函数f(x)=mx+nx2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f1=1.
(1)求m，n的值：
(2)试判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)求使fa−1+fa2−1<0成立的实数a的取值范围.
【解题思路】（1）由奇函数的性质可得f(0)=0，结合f1=1，解方程可得m，n的值；
（2）f(x)在−1,1上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；
（3）由奇函数f(x)在[−1,1]上为增函数，可将不等式的两边的“f”去掉，解不等式可得所求取值范围.
【解答过程】（1）由题意，x∈[−1,1]
在f(x)=mx+nx2+1中，函数是奇函数，
且f1=1，可得f(0)=0即n=0；
又12(m+n)=1，则m=2，
∴m=2，n=0；经验证满足题意.
（2）由题意及（1）得，
f(x)=2xx2+1在[−1,1]上为增函数.证明如下：
在f(x)=mx+nx2+1中，x∈[−1,1]
设−1⩽x1∵−1⩽x1∴x1−x2<0，x1x2<1，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[−1,1]上为增函数；
（3）由题意，（1）及（2）得，x∈[−1,1]
在f(x)=mx+nx2+1中，f(x)为奇函数，
∴fx=−f−x
∴f(a−1)+f(a2−1)<0，即f(a−1)<−f(a2−1)=f(1−a2)，
∴−1⩽a−1<1−a2⩽1，
解得0⩽a<1，
∴a的取值范围是0,1.
22．（12分）（2022·江苏·高三阶段练习）已知函数fx=2sin2π4+x−3cs2x−1,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若ℎ(x)=f(x+t)的图象关于点−π6,0对称，且t∈(0,π)，求t的值
(3)当x∈[π4,π2]时，不等式fx−m<3恒成立，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）利用三角恒等式化简函数关系式，根据最小正周期的计算公式，可得答案；
（2）由（1）整理出函数ℎx的解析式，利用三角函数的对称中心的计算公式，可得答案；
（3）利用整体换元的思想，求得函数fx在x∈[π4,π2]上的值域，去掉绝对值，建立不等式组，可得答案.
【解答过程】（1）fx=2sin2π4+x−3cs2x−1 =2×1−cs2π4+x2−3cs2x−1 =1−csπ2+2x−3cs2x−1 =sin2x−3cs2x =212sin2x−32cs2x =2sin2x−π3，
则函数fx的最小正周期T=2π2=π.
（2）由（1）可得ℎx=fx+t=2sin2x−π3+2t，
因为ℎx的图象关于−π6,0对称，
所以2⋅−π6−π3+2t=kπ,k∈N∗，则t=π3+k2π,k∈N∗，
由t∈0,π，则t=π3或5π6.
（3）由x∈[π4,π2]得：2x−π3∈π6,2π3，则fx=2sin2x−π3∈1,2，即fx−m∈1−m,2−m，
由fx−m<3，可得−3