2024年山东省青岛市市北区九年级数学中考一模模拟试题(含解析)

这是一份2024年山东省青岛市市北区九年级数学中考一模模拟试题(含解析)，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；满分：120分）
说明：
本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共6小题，18分；
第II卷为填空题、作图题、解答题，共18小题，102分．
所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
第I卷（共18分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1．的相反数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．四名选手参加了射击预选赛，他们的成绩的平均环数及方差如下表所示：
如果要从这四名选手中选出一个成绩较好且状态更稳定的人去参赛，那么应选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，则它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的直径，点在上，，交于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知：平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，对称轴为直线，且经过点，则下列结论：（1）；（2）；（3）将抛物线向左平移1个单位时，它会过原点；（4）直线不过第四象限．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第II卷（共102分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．如图，点的坐标分别为，将绕点按逆时针方向旋转，得到，其中点的对应点分别是点，则点的坐标是 ．
8．计算： ．
9．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ．
10．一辆汽车开往距出发地的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行，则提前1小时到达目的地，设这辆汽车原计划的速度是，根据题意所列方程是 ．
11．如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点（不与重合），点分别为的中点，连接，则的最小值为 ．
12．如图，中，的面积为12，设边，边，请写出与的函数关系式 ；若的边不大于边的6倍，则的取值范围是 ．
13．如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ．
14．已知一个棱长为15的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和最少为 ．
三．作图题（本题满分5分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．已知：四边形．求作：一个．使与直线相切，并且点到边和边的距离相等，到点和点的距离也相等．
四、解答题（本题满分73分，共有9道小题）
16．（1）化简：
（2）已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根．
17．小影和小刚做摸纸牌游戏．如图，两组相同的纸牌，每组两张，第一组牌面数字分别是2和3，第二组牌面数字分别是5和6；将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸到两张牌的牌面数字之积能被3整除，则小颖胜，否则小刚胜．这是一个对参与双方公平的游戏吗？请借助列表或画树状图的方法说明理由．
18．某学校为调查学生对航天科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“”这组的圆心角度数为______度；
(3)已知“”这组的数据如下： 73，74，77，78，79，71，71，76，76，72，72，72，75，75，75，75．抽取的名学生测试成绩的中位数是______分；
(4)若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你通过列式计算，估计全校1500名学生中对航天科普知识了解情况为优秀的学生人数是多少．
19．某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往两地，两种货车载重量及到两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往地．设甲、乙两种货车到两地的总运输成本为元，前往地的甲种货车为辆．求当为何值时，最小？最小值是多少．
20．数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组令一架无人机沿的仰角方向飞行130米到达点A处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．（参考数据：，
(1)求无人机的飞行高度；
(2)求的长．
21．小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路：
［辨析与解答]
小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．”
小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．”
小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．”
结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程．
［应用与拓展]
（1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
（2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
22．如图，中，，过点作直线与的角平分线相交于，与相交于，且．点为边的中点，连接．
(1)判断并证明四边形的形状；
(2)______．
23．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
24．已知：如图，四边形是边长为的菱形，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，以为边作平行四边形，连接并延长，与延长线相交于点，连接．设运动的时间为．
根据题意解答下列问题：
(1)在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形是矩形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)用含的代数式表示；
(3)设四边形的面积为，求与的函数关系式．
参考答案与解析
1．D
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【详解】解：的相反数为﹣．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2．C
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C
3．B
【分析】本题考查了算术平均数与方差，解题的关键是熟练的掌握算术平均数与方差的概念．先从平均成绩看出乙、丙的成绩较好，然后再找方差小的即可．
【详解】解：由题表可知，乙、丙的平均成绩好，由于，
故乙的方差小，波动小，较稳定，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，注意实线和虚线的区别是解题关键．根据从左侧看到的图形作答即可．
【详解】
解：由图形可知，它的左视图是，
故选：A
5．D
【分析】本题主要考查圆周角定理和弧、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．利用圆周角定理可求出，进而求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据对顶角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查了抛物线图象和二次函数系数之间的关系，根据题意求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出简图，得到时，，即可判断①；根据图象得到，进而得到，即可判断②；由图象和函数的平移即可判断③；根据题意得到，，进而利用一次函数的性质即可判断④．解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质并结合图象．
【详解】解：∵抛物线开口向上，经过点
∴，
∵对称轴为直线，
∴，则，
∴，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为
∴画简图如下：
∴当时，，故①正确；
∵抛物线与轴的交点在负半轴，
∴，
∴
∴
∴，故②正确；
由图象可得，将抛物线向左平移1个单位时，它会过原点，故③正确；
∵
∴
∵
∴
∴直线经过第一，二，三象限，不经过第四象限，故④正确．
综上，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
7．
【分析】本题考查了坐标与图形，旋转作图，熟练掌握相关知识是解题的关键．按题目要求画出旋转后的图形，然后观察图形即可得出答案．
【详解】解：按题意画图如下，
∵点的坐标分别为，
∴观察图形知，点B绕点按逆时针方向旋转得到点，其坐标是，
故答案为：．
8．10
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的意义，先根据二次根式的性质化简，同时计算零指数幂，然后计算括号内，最后计算乘法即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：10．
9．
【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键．根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解．
【详解】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是，
故答案为：．
10．
【分析】设这辆汽车原计划的速度是，则实际速度为，根据题意“提前1小时到达目的地”，列分式方程即可求解．
【详解】解：设这辆汽车原计划的速度是，则实际速度为，
根据题意所列方程是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意列出方程是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，利用三角形中位线定理得出，则当时，最小，则最小，利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出的最小值，即可求解．
【详解】解：连接，
∵点分别为的中点，
∴，
当时，最小，则最小，
∵，
∴，
设中边上高为h，
则，
∴，
∴，
∴最小值为，则最小值为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了考查反比例函数的应用，利用三角形面积公式可求出与的函数关系式，根据边不大于边的6倍，得出，即，然后求解即可．
【详解】解：∵的面积为12，边，边，
∴，
∴，
∵不大于边的6倍，
∴，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：；．
13．
【分析】本题考查了切线的性质，扇形的面积，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，连接，过作于G，先判断，都是等腰直角三角形，则可求出，，然后根据求解即可．
【详解】解：连接，过作于G，
∵圆与边恰好相切于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵阴影部分面积为，
∴，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
14．180
【分析】本题考查了截一个几何体的知识点，此题解答的关键是确定剩下的图形边长之和与原正方形的边长之和相等；
根据题意确定截去之后每一个面上的棱长变化情况即可求解；
【详解】正方体有6个大小相同的面，每个面都是正方形，
如图，在正方形中以顶点截去一个小正方形，
剩下的图形边长之和为：，
，
，
即剩下的图形边长之和与原正方形的边长之和相等，
同理可得，正方体从各个顶点截取小正方体后得到的几何体的棱长之和最少时与原正方体的所有棱长和相等，即，
故答案为：180．
15．见解析
【分析】作和线段的垂直平分线，相交于点O，过点O作于点H，以为半径画圆即可．
【详解】解：∵点到边和边的距离相等，到点和点的距离也相等，
∴点O是和线段的垂直平分线的交点．
过点O作于点H，以为半径画圆即可．
【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，以及尺规作图，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
16．（1）；（2）方程的另一个根为
【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程的解以及解法，解题的关键是：
（1）先通分，化为同分母分式后，根据分式的运算法则计算可得；
（2）先把代入原方程求出m的值，然后把所求m的值代入原方程，再解方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵方程的一个根是－1，
∴，
解得，
把代入原方程并整理得，
解得，，
∴方程的另一个根为．
17．这是一个对参与双方不公平的游戏，理由见解析
【分析】本题考查了列表法与树状图法以及公平性问题：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率．画出树状图，根据概率公式分别求出小颖和小刚获胜的概率，然后进行判断即可．
【详解】解：画树状图，如下：
一共有4种情况，积是3的倍数的有3种情况，
∴小颖获胜的概率为，
∴小刚获胜的概率为 ，
∵，
∴这是一个对参与双方不公平的游戏．
18．(1)见解析
(2)86.4
(3)76.5
(4)660人
【分析】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体，求数据的众数与中位数．
（1）先求出样本容量，再用样本容量减去已知各部分的频数，即可求出“”这组的频数，从而补全频数直方图即可；
（2）用乘以“”组所占的百分比即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用1500乘以80分以上人数所占的比例即可．
【详解】（1）解：被抽取的人数为，
组的人数为，
补图如下：
；
（2）解：，
故答案为：86.4；
（3）解：∵，，
∴50名学生测试成绩从小到大排序后，第25和26名的成绩在组，
又“”这组的数据如下：71，71，72，72，72， 73，74，75，75，75，75，76，76，77，78，79，
∴第25和26名的成绩分别是是76分，77分，
∴中位数是分，
故答案为：76.5；
（4）解：，
∴估计全校1500名学生中对航天科普知识了解情况为优秀的学生人数是660人.
19．(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)当时，w最小，最小值为22700元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．
（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）先根据表格信息列出w与t之间的函数解析式，根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
【详解】（1）解：设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆，
根据题意，得，
解得，
∴，
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆；
（2）解：根据题意，得
，
∵
∴
∵，
∴w随t的减小而减小．
∴当时，w最小，最小值为（元）．
20．(1)无人机的飞行高度为120米
(2)河流的宽度约为172米
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
（1）由题意可得，再代入数据计算即可；
（2）过点作，垂足为，先求出米，再在中，根据，求得的长，最后再求解即可．
【详解】（1）由题意可知，米，，
（米），
无人机的飞行高度为120米；
（2）过点作，垂足为，
由题意可得，四边形是矩形，
米，米，
（米），
在中，，即：，
（米，
（米，
（米，
答：河流的宽度约为172米．
21．［辨析与解答]，过程见解析；［应用与拓展]（1）；（2）
【分析】［辨析与解答]
小明的方法：先将方程中的绝对值去掉，然后根据一元二次方程跟的判别式求解即可；
小红的方法：设，则，即可求解；
小亮的方法：令，，，画出函数图像，利用数形结合的思想即可求解；
［应用与拓展]
（1）观察小亮方法中的图像即可求解；
（2）令，，画出函数图像，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】解∶［辨析与解答]
小明的方法：当时，原方程为，即，
∵方程有实数根，
∴，
解得；
当时，原方程为，即，
∵方程有实数根，
∴，
解得，
综上，；
小红的方法：设，
则，
∴；
小亮的方法：令，，
当与的图像有交点时，方程有实数根，
画出函数图像，如下：
观察图像知，当时，与的图像有交点，
∴当时，方程有实数根；
故答案为：；
［应用与拓展]
（1）观察小亮的方法中函数图像知，当时，与的图像有四个不同的交点，
∴当时，方程有四个不同的实数根，
故答案为：；
（2）令，，
画出函数图像，如下：
当时，，
∴图中点D坐标为，
观察图像，知当时，，的图像有四个不同的交点，
∴当时，方程有四个不同的实数根，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程跟的判别式，二次函数的图像与性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)120
【分析】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用平行线的性质和角平分线的定义可得出，利用等角对等边得出，利用等边对等角可证，结合三角形内角和定理求出，利用含的直角三角形的性质和中点定义得出，然后利用菱形的判定即可得出结论；
（2）由（1）知，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又；
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
故答案为：120．
23．（1）；（2）22米；（3）不会
【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；
（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；
（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论．
【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上．
当时，
．
（2）由题意得，D点在图象上．
令，得．
解得：（不合题意，舍去）．
（3）当时，，
，
∴不会碰到水柱．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．
24．(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据四边形是矩形，由矩形的性质得到，利用含30度角的直角三角形所对边是斜边的一半，由题意得出，即可求解；
（2）过点D作垂直延长线于点H，根据平行四边形的性质，得到，推出，在中，由，求出，再求出，在中，，即可求解；
（3）在（2）的基础上延长交于点G，过点D作垂直于点I，设交于点O， 求出，证明，利用平行四边形的性质求出，进而得到，根据，即可求解．
【详解】（1）解：当四边形是矩形时，，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）解：如图，过点D作垂直延长线于点H，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
在中，
，
（负值舍去）；
（3）解：如图，在（2）的基础上延长交于点G，过点D作垂直于点I，设交于点O，
四边形是边长为的菱形，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理、解直角三角形，熟练掌握矩形的判定与性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
（环）
8.3
9.2
9.2
8.5
1
1
1.1
1.7
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750