2024年山东省青岛崂山区中考一模数学模拟试题(含解析)

这是一份2024年山东省青岛崂山区中考一模数学模拟试题(含解析)，共32页。
说明：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数是（ ）
A．5B．C．D．
2．如图图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计474000000人次．数字“474000000”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．我市今年一月连续10天的最高气温统计如下：
则最高气温（单位：）的中位数和众数分别是（ ）
A．4，3B．5，2C．5，3D．4，2
5．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，中，，，，点为边上一点，将沿折叠后，点的对应点恰好落在边上，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知点，，将线段绕点逆时针旋转到，点与是对应点，点与是对应点，则点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，平行四边形对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于点，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
9．如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：－＝ ．
12．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图．由此他可以估计不规则图案的面积为 ．
13．某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设该种水果打折前的价格为元/斤，根据题意可列方程为
14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
15．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的最大扇形，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，正方形中，，点是边的中点，连接，，分别交，于点，，则四边形的周长为
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．已知：及其一边上的两点A，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．计算
(1)解不等式组；
(2)化简．
19．端午节放假期间，小明和小华准备到景点、景点、景点、景点中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同，用画树状图或列表的方法求小明和小华都选择去同一景点游玩的概率．
20．某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数据处理后，制成如图折线统计图和扇形统计图：

解答下列问题：
(1)扇形的圆心角度数是 ；
(2)该市共抽取了多少名九年级学生？
(3)若该市共有8万名九年级学生，请你估计该市九年级视力较好（5.0及以上）的学生大约有多少人？
21．【问题情境】
图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体．
如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形，方案设计：图形的分割：取中点，中点，连接，沿将分割成两个图形；图形的拼合：如图所示，将绕点旋转，与四边形拼接成平行四边形．此时，的面积与的面积相等．
【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题：
如图②，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计．
【拓展应用】如图③，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计．
22．为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚长为4米，从点看棚顶顶点的仰角为，靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
23．如图，点为上一点，连接并延长至点，使得．过点作的切线，点为切点，连接．点Ａ为上一点，，连接，，，．
(1)证明：为的切线；
(2)判断四边形的形状，并证明你的结论．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，直接写出自变量的取值范围；
(3)已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为8，求点的坐标．
25．某商场新进一批拼装玩具，每件玩具进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高0.5元，日销售量减少5件，设每件售价为元，日销售量为件．
(1)当时， 件；
(2)当每件售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？
(3)当日销售利润不低于6000元时，求每件玩具售价的取值范围．
26．在矩形中，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为点，交射线于点，连接，交于点，交于点．设运动时间为．
(1)当点与点重合时，求的值；
(2)当为何值时，点，，在一条直线上；
(3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【详解】解：的倒数是5．
故选A．
【点睛】本题考查倒数的定义，掌握乘积是1的两个数互为倒数是本题的解题关键．
2．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数字“474000000”用科学记数法表示为，
故选：B．
4．C
【分析】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，根据众数和中位数的定义就可以求解．
【详解】在这一组数据中气温是出现次数最多的，故众数是3；
把气温从小到大排列，10天中处于这组数据中间位置的两个数分别是4和6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是；
故这组数据的中位数与众数分别是5，3．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了三视图的知识，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看易得上面第一层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．下面一层左边有1个正方形，
故选：C．
6．B
【分析】由已知条件先求出的长，然后结合折叠得到 ，进而得到的长，再设，然后结合勾股定理列出方程求解，即可得到结果；
本题考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键是通过折叠的性质解决问题．
【详解】，，，
,
由折叠得，,
，
设，则,
在中，，
∴，
解得：,
故选：B．
7．C
【分析】本题考查旋转变换，根据“对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心”作图即可．
【详解】解：如图，连接、，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，交点即为点M，旋转中心M即为所求．由图可得点的坐标是．
故选C．

8．B
【分析】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作的中点G，连接，根据中位线的性质可得，从而得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：如图，作的中点G，连接，
四边形是平行四边形，且，，
，，，
，
点G为的中点，，
，
，
，
，
，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查圆周角定理，连接，由直径可得，由圆周角定理可得，得到，再由圆周角可得，最后根据外角求出的度数．
【详解】如图，连接，
∵直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想．
首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴画出示意图如下，
∴当时，，故①正确；
∵
∴，故②错误；
如图所示，抛物线和直线有两个交点，
∴方程的两个实数根为，，且，
∴，，故③正确；
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，
∴
∴
∴
∴
∵抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y有最大值
∴若为任意实数，，故④正确．
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
11．7
【分析】根据算术平方根和立方根定义，分别求出各项的值，再相加即可．
【详解】解：因为，所以.
故答案为7．
【点睛】本题考核知识点：算术平方根和立方根. 解题关键点：熟记算术平方根和立方根定义，仔细求出算术平方根和立方根．
12．2.1
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，
则，
解得：，
不规则图案的面积约为，
故答案为：2.1．
13．
【分析】本题主要考查了列分式方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．
设该种水果打折前的价格为元/斤，根据等量关系“对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤”列出方程即可．
【详解】解：设该种水果打折前的价格为元/斤，
依题意得：．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
根据一元二次方程根的判别式大于0列不等式求解即可．．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴这个方程根的判别式，解得：，
所以的取值范围为．
故答案为．
15．9
【分析】本题主要考查了扇形面积、不规则图形面积等知识点，掌握最大扇形所在弧的两个端点是圆的直径的两个端点成为解题的关键．
连接，则可得为圆形铁皮的直径，由勾股定理可求得扇形的半径，然后根据图形可知阴影部分的面积为，最后代入相关数据即可解答．
【详解】解：连接，
∵剪出的是圆心角为的最大扇形，
∴圆形铁皮的直径是,,
由勾股定理得：，
解得：，
由图形可知：．
故答案为：9．
16．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，根据正方形可得，进而得到，得到，即可求出，，再由得到，用相同的方法求出，，相加即可得到四边形的周长．
【详解】∵正方形中，，
∴，，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
同理可得：，，
∴四边形的周长为，
故答案为：．
17．见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质等知识点，掌握基本的尺规作图方法是解题的关键．
先运用尺规作图过A作，然后再作线段的垂直平分线，垂直平分线与边的交点为点C，最后顺次连接点A、B、C即可解答．
【详解】解：如图：即为所求．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解不等式组、分式的混合运算等知识点，掌握相关计算方法和步骤成为解题的关键．
（1）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以原不等式组的解集为：．
（2）解：
．
19．
【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一景点游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表如下
由表可知共有16种等可能的结果，两人选择去同一景点游玩的结果有4种，
∴小明和小华都选择去同一景点游玩的概率为．
20．(1)36
(2)2000
(3)24000
【分析】（1）先求出D所占的百分比，然后再乘以即可解答；
（2）先根据函数图像确定2023年学生视力在以下的学生人数，然后再除以A所占的百分比即可解答；
（3）用全市学生人数除以样本中5.0及以上学生所占的百分比即可．
【详解】（1）解：扇形的圆心角度数为．
故答案为：36．
（2）解：由函数图像确定2023年学生视力在以下的学生人数为，由扇形统计图可知2023年学生视力在以下的学生人数所占的百分比为，
则该市共抽取九年级的学生数为．
故答案为：2000．
（3）解：该市九年级视力较好（5.0及以上）的学生大约有人．
答：该市九年级视力较好（5.0及以上）的学生大约有24000人．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图、函数图像、样本容量、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
21．见解析
【分析】本题考查图形设计，三角形中位线的性质，矩形的判定；
探究实践：参考问题情境中的操作，进行图形的分割和合并即可；
拓展应用：先过的垂线，即可得到两个直角三角形，参考探究实践中的思路进行图形的分割和合并．
【详解】探究实践： 图形的分割：取中点，中点，连接，延将分割成两个图形；
图形的拼合：如图②所示，将绕点旋转，与四边形拼接成矩形，此时，矩形的面积与的面积相等，
拓展应用：如图：
图形的分割：过作于，取中点，中点，连接交于，延，将分割成四个图形；
图形的拼合：如图③所示，将绕点旋转，将绕点旋转，与四边形拼接成矩形，此时矩形的面积与的面积相等．
22．0.7米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于，过点作于，先在中，求出，，即可得到，，再在中求出，最后根据求解即可．
【详解】解：过点作于，过点作于，
，，
由题意，，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
答：凉荫处的长为0.7米．
23．(1)证明见解析
(2)四边形为菱形，证明见解析.
【分析】本题主要考查了圆的切线的证明、直角三角形的性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握相关性质和判定定理成为解题的关键．
（1）由圆的性质可得，根据圆周角定理可得，切线的性质可得，然后证明，进而得到即可证明结论；
（2）根据直角三角形的性质可得、，再结合可得，最后根据菱形的定义即可解答．
【详解】（1）证明： 、、在圆上
，
，
为的切线
，
在和中
，
，
，
为的切线．
（2）解：四边形为菱形，证明如下：
在中，，
，
为边上的中线，
，
同理，在中，，
，
，
四边形为菱形．
24．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数与几何图形；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在轴上方时，自变量的取值范围，即可求解；
（3）先求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）点在反比例函数的图象上，
，
解得．
反比例函数的表达式为．
代入，
，
解得．
点的坐标为．
点，在一次函数的图象上，
把点，分别代入，
得，
解得，
一次函数的表达式为．
（2）∵，
根据函数图象可得：当时，；
（3）对于，当时，；当时，．
直线与轴交点，与轴交点

．
或
点坐标为或．
25．(1)400
(2)每件售价定为65元时，日销售利润最大，最大值为12250元
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据“每件售价每提高0.5元，日销售量减少5件”求解即可；
（2）根据“销售利润=（售价-成本）×销量”列关系式即可；
（3）先求出当元时，的值，再根据开口方向确定的解集．
【详解】（1）当时，件，
故答案为：400；
（2）由题意得：，
，
开口向下，
对称轴：，
在对称轴左侧，随增大而增大，在对称轴右侧，随增大而减小，
由题意，，解得，
当时，取得最大值，最大值为12250，
答：每件售价定为65元时，日销售利润最大，最大值为12250元．
（3）当元时，
，
解得：，，
，
开口向下，
∴当时，，
又∵，
，
答：当日销售利润不低于元时，每件玩具售价的取值范围为．
26．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，方程的应用；
（1）证明根据求解即可；
（2）可证，列比例线段，得到，，再证，列比例线段，列方程求解即可；
（3）由可得，由可得，即可得到，，再证明，列比例线段，得到，由得到，由，列比例线段，代入列方程即可．
【详解】（1）由题意得，，
∵矩形中，，．
∴，，，，．
∵当点与点重合时，，，
∴，
∵
∴，
∴，
即，
解得；
（2）如图，若，，在一条直线上，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得；
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，（舍）；
（3）若，则，，
由（2）可知，，
∵，
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得；
∴，
∵
，
解得．
气温（单位：）
3
4
6
7
8
天数
3
2
2
2
1
小明
选择情况小华