天津市滨海新区塘沽第十三中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

这是一份天津市滨海新区塘沽第十三中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，，（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“不等式成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．经过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．三棱锥中，平面，三角形为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象关于点对称
C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
D．若，则函数的最大值为
9．如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形，，，平面，，，，则六面体的体积为（ ）
A．376B．600C．448D．288
二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）
10．已知是虚数单位，________．（用数字作答）
11．已知，且，则________．
12．展开式中项的系数为________．（用数字作答）
13．已知直线与圆相交于，两点，且，则实数________．
14．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有2名男生参加劳动学习的概率为________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率________．
15．在三角形中，是边的中点，是线段的中点．设，，试用，表示，________；若，的面积为，则的最小值为________．
三、解答题（共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分14分）在三角形中，内角，，的对边分别为、、，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求边；
（3）求的值．
17．（本题满分15分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
18．（本题满分15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，且，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
19．（本题满分15分）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）若；
①求数列的前项和．
②若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
20．（本题满分16分）已知函数．
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）证明：对任意的，有；
塘沽十三中2024-2025学年度第一学期高三年级第二次月考数学学科答案
一、选择题
1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．C 8．D 9．A
二、填空题
10． 11． 12． 13．4 14．
15． 6
16．，
因为，所以，所以
又，所以；
（2）在中，由余弦定理及，，，
可得，
解得．
（3）由正弦定理，可得．
因为，故．
因此，．
（3）
17．（1）证明见解析 （2） （3）
【详解】（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
（3）由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为．
18．（1）；（2）或．
【详解】试题分析：（1）根据所给的条件，用椭圆的基本量，，表示，解得方程；
（2）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示和，并且根据条件，表示坐标的关系，代入根与系数的关系后，消去或，得到关于斜率的方程，解得斜率，求得直线方程．
试题解析：（1）依题意，，因为，故．
因为，故，故，
故椭圆的标准方程为．
（2）若与轴垂直，则的方程为，，为椭圆短轴上两点，不符合题意．
若与轴不垂直，设的方程，由，得
，．
设，，则，，
由，得，，
，，，
解得，直线的方程为，即或．
考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系．
19．（1），
（2）①；②
【分析】（1）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，根据条件直接求出首项为，公差为及公比为，即可求出结果；
（2）由（1）得到，①利用错位相减法即可求出结果；
②由①得到，再利用数列的增减性，求出的最大值，即可求出结果．
【详解】（1）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，
因为，且，所以，解得或（舍去）
所以，
又，，得到，，
联立解得，，所以．
（2）由（1）知，
①③，
所以④，
由③-④得到
，
整理得到；
②因为，由①得到，
又因为，所以，得到，
令，则，
易知，当时，，
当时，，由，得到，
所以当时，递增，时，递减，故的最大值为，所以实数的取值范围为．
20．（1）
（2）因为，
令，，
又因为，，单调递减；
，，单调递增；
所以的极小值为，无极大值．
（2）令，
可得，令，
，，单调递增，，
，，单调递减；
，，单调递增；
所以，
所以，
所以，即得，
所以．