吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l: 3x+y- 3=0的斜率为( )
A. - 3B. - 33C. 33D. 3
2.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点A( 22,2)是C上一点，且|AF1|+|AF2|=4 2，则C的方程为( )
A. y232+7x24=1B. y28+x2=1C. y232+63x2256=1D. y28+15x264=1
3.已知圆C1:(x-2)2+(y+3)2=16与圆C2:x2+(y-2)2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程为( )
A. 4x-10y-3=0B. 4x+10y+3=0
C. 4x-10y-9=0D. 4x+10y+9=0
4.如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AE=13AB，F是棱CD的中点，则EF=( )
A. -13AB-12AC+12AD
B. 13AB+12AC-12AD
C. 13AB-12AC-12AD
D. -13AB+12AC+12AD
5.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)到直线x=-1的距离比它到定点(3,0)的距离小2，则点P的轨迹方程为( )
A. y2=6xB. y2=12xC. y2=-6xD. y2=-12x
6.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，且∠F1PF2=π3，|PF2|=3|PF1|，则C的渐近线方程为( )
A. y=±2 33xB. y=± 33xC. y=± 3xD. y=± 32x
7.某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地ABCD(边长为8米)如图所示，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，在场地ABCD中设置了一个半径为95米的圆H，圆H与直线AB相切于点E.比赛中，机器人从F点出发，经过线段AG上一点，然后再到达圆H，则机器人走过的最短路程是( )
A. 7 41-95米B. 6 61-95米C. 7 415米D. 6 615米
8.已知离心率为12的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2 3，直线l过点P(1,12)且与椭圆C交于A，B两点，若|AP|=|BP|，则直线l的方程为( )
A. 3x-2y-2=0B. 3x+2y-4=0C. 4x+6y-7=0D. 4x-6y-1=0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知△ABC的三个顶点是A(1,2)，B(-1,4)，C(2,5)，则( )
A. 边BC的长度是 10
B. 直线BC的方程为x-3y+13=0
C. 边BC上的高所在直线的方程为3x-y-1=0
D. △ABC的面积是4
10.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为直线l，直线PQ与C交于P，Q两点.则下列说法正确的是( )
A. 点F到直线l的距离是4
B. 若PQ的方程是2x-y-4=0，则△FPQ的面积为3
C. 若PQ的中点G到直线l的距离为3，则|FP|+|FQ|=8
D. 若点(4,0)在直线PQ上，则OP⊥OQ
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方形A1B1C1D1内(包含边界)，则下列说法正确的是( )
A. 若A1P=12(AB+AD)，则|BP|= 62
B. 若A1P=12(AB+AD)，则直线AP和C1D所成角为π3
C. 若BP⊥A1P，则点P的轨迹长度为π2
D. 若BP⊥A1P，则点C到直线BP的距离的最小值为 2 2-2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1：3x-y+4=0，l2：x+2y-1=0，则以l1，l2的交点为圆心，且经过点A(3,4)的圆的方程是______.
13.已知直线l1：x-y-3=0，抛物线C：x2=6y的准线是l2，点P是C上一点，若点P到直线L1，l2的距离分别是d1，d2，则d1+d2的最小值是______.
14.已知O为坐标原点，P(4,0)，点E是直线L：x-3y-3=0上一点，若以E为圆心，2为半径的圆E上存在点Q，使得|PQ|=3|OQ|，则线段OE长度的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知A(1,6)，B(-4,7)，C(0,1)，△ABC的外接圆为圆M.
(1)求圆M的方程；
(2)已知直线l: 3x-y+2 3=0与圆M交于E，F两点，求△AEF的面积.
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，BB1=BC，D为BC的中点.
(1)求证：直线A1C//平面AB1D；
(2)求直线B1D与平面A1BC所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率是3 55，焦距为6.
(1)求E的方程；
(2)若直线l：y=kx+1与E相交于A，B两点，且OA⋅OB=-253(O为坐标原点)，求k的值.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，△MAB是等边三角形，平面MAB⊥平面ABCD.
(1)求平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值；
(2)已知E，F，G分别是线段AM，DM，CD上一点，且AE=13AM,DF=23DM,CG=13CD，若H是线段BM上的一点，且点H到平面EFG的距离为 5，求BHBM的值.
19.(本小题17分)
极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，极点P(x0,y0)(不是坐标原点)对应的极线为lP:x0xa2+y0yb2=1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为6 2，左焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合，对于椭圆E，极点P(-6,0)对应的极线为lP，过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，在极线lP上任取一点Q，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3(k1,k2,k3均存在).
(1)求极线lP的方程；
(2)求证：k1+k2=2k3；
(3)已知过点Q且斜率为2的直线与椭圆E交于A，B两点，直线PA，PB与椭圆E的另一个交点分别为C，D，证明直线CD恒过定点，并求出定点的坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题可得：y=- 3x+ 3，
所以直线l的斜率k=- 3.
故选：A.
将直线方程化为斜截式，进而求得直线的斜率．
本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为点A是椭圆C上一点，且|AF1|+|AF2|=4 2，
所以2a=4 2，
解得a=2 2，
则椭圆方程为y28+x2b2=1(2 2>b>0)，
因为点A( 22,2)是椭圆C上一点，
所以228+( 22)2b2=1，
解得b=1，
则椭圆C的方程为y28+x2=1.
故选：B.
由题意，根据椭圆的定义可求得a，代入点A的坐标，可求得b，进而可得椭圆方程．
本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：已知圆C1:(x-2)2+(y+3)2=16与圆C2:x2+(y-2)2=10相交于A，B两点，
圆C1、圆C2的方程可以化简为x2+y2-4x+6y-3=0，x2+y2-4y-6=0，
将两圆方程相减，得4x-10y-3=0，即直线AB的方程为4x-10y-3=0.
故选：A.
将两圆化简为x2+y2-4x+6y-3=0，x2+y2-4y-6=0，两方程相减即可求解．
本题考查了两相交圆公共弦所在直线方程的求解，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：E是棱AB上一点，且AE=13AB，F是棱CD的中点，
EA=13BA，CF=12CD，
EF=EA+AF=13BA+AC+CF
=-13AB+AC+12CD=-13AB+AC+12(AD-AC)=-13AB+12AC+12AD.
故选：D.
根据向量的加法，减法法则化简计算即可．
本题考查向量的表示，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为动点P(x,y)到直线x=-1的距离比它到定点(3,0)的距离小2，
所以点P(x,y)到直线x=-3的距离与它到定点(3.0)的距离相等，
所以点P的轨迹是以(3,0)为焦点，x=-3为准线的抛物线，
所以p=6，点P的轨迹方程为y2=12x.
故选：B.
根据抛物线的定义，即可求解．
本题考查动点轨迹方程的求解，定义法的应用，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，
由双曲线定义知||PF2|-|PF1||=2a，∵|PF2|=3|PF1|，∴|PF1|=a，|PF2|=3a，
∵∠F1PF2=π3，|F1F2|=2c，∴cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|=12，
即a2+9a2-4c22×a×3a=12，化简得7a2=4c2，又c2=a2+b2，
∴b2a2=34，解得ba= 32，∴双曲线C的渐近线方程为y=± 32x.
故选：D.
利用双曲线的定义，结合余弦定理，求解a，b关系，然后求解渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：以点A为原点，分别以AB、AD为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
由题意得A(0,0)，E(4,0)，F(8,4)，G(4,8)，可得AG：y=2x，
因为圆H与直线AB相切于点E且半径为95，
所以圆H的方程为(x-4)2+(y-95)2=8125.
设点F关于直线AG的对称点为F'(a,b)，
则可得b-4a-8×2=-1,4+b2=2×8+a2,解得a=-85,b=445,
连接F'H，线段F'H分别与AG、圆H交于点M、N，
当机器人走过的路线是线段FM、MN时，路程最短．
因为|FM|+|MN|=|F'N|=|F'H|-95= (4+85)2+(95-445)2-95=7 41-95.
所以机器人走过的最短路程是7 41-95米．
故选：A.
根据题意，分别以AB、AD为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，求出圆H的方程与点F的坐标，利用轴对称的性质、直线的位置关系，列式求出F关于AG的对称点F'的坐标，再求出F'H的长，用F'H的长减去圆的半径r，即可得到本题的答案．
本题主要考查轴对称的性质、圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，
则ca=122b=2 3c2=a2+b2，解得：a=2b= 3c=1，
所以椭圆方程为x24+y23=1，
因为14+1430，
所以y1+y2=4m，y1y2=-16，
则kCP⋅kCQ=y1x1⋅y2x2=y1y2y12y2216=16y1y2=-1，
所以OP⊥OQ，故D正确．
故选：BD.
对于A，利用抛物线的性质即可判断；
对于B，联立2x-y-4=0y2=4x，可得|yP-yQ|=6，又PQ与x轴的交点为E(2,0)，所以|EF|=1，然后利用面积公式即可判断；
对于C，由抛物线的性质结合题意可得xP+xQ=4，然后结合题意即可判断；
对于D，设PQ：x=my+4，P(x1,y1)，Q(x1,y2)，联立x=my+4y2=4x2，可得y1+y2=4m，y1y2=-16，然后可推得kCP⋅kCQ=-1即可判断．
本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于难题．
11.【答案】ACD
【解析】解：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，
设P(x,y,1)，其中0≤x≤1，0≤y≤1，
对于A选项，由A1P=12(AB+AD)=12[(1,0,0)+(0,1,0)]=(12,12,0)，得x=y=12，即P(12,12,1)，
所以BP=(-12,12,1)，
所以|BP|= 62，故A正确；
对于B选项，由A选项知P(12,12,1)，
所以AP=(12,12,1)，
而C1D=(-1,0,-1)，
设直线AP和C1D所成角为θ(0≤θ≤π2)，则csθ=|cs⟨AP⋅C1D⟩|=|AP⋅C1D||AP|⋅|C1D|=|-12+0-1| 62× 2= 32，
所以θ=π6，故B错误；
对于C选项，因为BP⊥A1P，
所以BP⋅A1P=(x-1,y,1)⋅(x,y,0)=x2-x+y2=0，
又点P在平面A1B1C1D1内(包含边界)，
所以点P的轨迹是正方形A1B1C1D1内以(12,0,0)为圆心，12为半径的半圆弧，其长度为π2，故C正确；
对于D选项，由C选项知x2-x+y2=0，BC=(0,1,0)，
所以点C到直线BP的距离d= |BC|2-(|BC⋅BP||BP|)2= 1-[y (x-1)2+y2+1]2= 1-x-x2(x-1)2+(x-x2)+1= x2-2x+22-x，
令2-x=t，则t∈[1,2]，且x=2-t，
所以d= t2-2t+2t= t+2t-2≥ 2 t⋅2t-2= 2 2-2，当且仅当t=2t，即t= 2，x=2- 2时，等号成立，
即点C到直线BP的距离的最小值为 2 2-2，故D正确．
故选：ACD.
以A为原点建立空间直角坐标系，选项A，根据题意求得点P的坐标，从而知向量BP的坐标与模长；选项B，利用向量法求异面直线所成角即可；选项C，根据向量数量积的运算法则确定点P的轨迹方程，从而作出判断；选项D，利用向量法求空间中点到直线的距离，再结合基本不等式，求解即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握向量的坐标运算法则，利用向量法求异面直线所成的角，以及空间中点到直线的距离是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】(x+1)2+(y-1)2=25
【解析】解：由3x-y+4=0x+2y-1=0，解得x=-1y=1，
所以l1，l2的交点为(-1,1)，
故所求圆的圆心是(-1,1)，半径为r= (-1-3)2+(1-4)2=5，
所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25.
故答案为：(x+1)2+(y-1)2=25.
联立直线以l1，l2的方程求得圆心坐标，再由两点间的距离公式求得半径，再写圆的标准方程即可．
本题考查直线的交点求法，圆的方程求法，属于基础题．
13.【答案】9 24
【解析】解：抛物线C的焦点是F(0,32)，准线是l2:y=-32，
设点F到直线l1的距离为d，则d=9 24，∴d1+d2=d1+|PF|≥d，
当且仅当FP⊥l1且P在F与l1之间时等号成立，
∴d1+d2的最小值是9 24.
故答案为：9 24.
求解抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
14.【答案】[3 1010,3 17010]
【解析】解：由题意可设E(3m+3,m)，则圆E的方程为(x-3m-3)2+(y-m)2=4.
若圆E上存在点Q，使得|PQ|=3|OQ|，
设Q(x,y)，则 (x-4)2+y2=3 x2+y2，
化简可得(x+12)2+y2=94，
故点Q在以F(-12,0)为圆心，32为半径的圆F上，
因为点Q也在圆E上，所以圆E与圆F有交点，
所以2-32≤|EF|≤2+32，
即12≤ (3m+3+12)2+m2≤72，解得-2110≤m≤0，
又|OE|= (3m+3)2+m2= 10m2+18m+9= 10(m+910)2+910，
所以|OE|∈[3 1010,3 17010]，
即线段OE长度的取值范围是[3 1010,3 17010].
故答案为：[3 1010,3 17010].
先确定点Q的轨迹，继而确定点E的关系，表示OE的长度，即可求范围．
本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题．
15.【答案】解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因为A(1,6)，B(-4,7)，C(0,1)均在圆上，
则12+62+D+6E+F=0(-4)2+72+(-4)D+7E+F=002+12+E+F=0，解得D=4E=-8F=7，
所以圆M的方程为x2+y2+4x-8y+7=0.
(2)由x2+y2+4x-8y+7=0，得(x+2)2+(y-4)2=13，
所以圆M的圆心为M(-2,4)，半径r= 13，
圆心M到直线l的距离为d1=|-2 3-4+2 3| ( 3)2+(-1)2=2，
所以|EF|=2 r2-d12=2 13-4=6，
又点A到直线l的距离为d2=| 3-6+2 3| ( 3)2+(-1)2=6-3 32，
所以△AEF的面积为12|EF|⋅d2=12×6×6-3 32=18-9 32.
【解析】(1)利用待定系数法设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，结合题意解出D，E，F即可求解；
(2)由(1)得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长|EF|，再用点到直线的距离公式可得点A到直线l的距离，继而利用三角形面积公式即可求解．
本题考查圆的方程，圆的弦长，点到直线的距离的求法，属于中档题．
16.【答案】(1)证明：设A1B∩AB1=E，连接DE，则E是A1B的中点，
因为D为BC的中点，所以DE//A1C，
又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
所以直线A1C//平面AB1D.
(2)解：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
又AB⊥AC，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB⊥AC，AB=AC=2，
所以BB1=BC=2 2，
所以B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,2 2)，B1(2,0,2 2)，
所以BC=(-2,2,0),BA1=(-2,0,2 2)，
设平面A1BC的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅BC=-2x+2y=0m⋅BA1=-2x+2 2z=0，
令z=1，得x= 2,y= 2，所以m=( 2, 2,1)，
而B1D=(-1,1,-2 2)，
设直线B1D与平面A1BC所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|B1D⋅m||B1D|⋅|m|=|- 2+ 2-2 2| 1+1+8× 2+2+1=25，
故直线B1D与平面A1BC所成角的正弦值为25.
【解析】(1)设A1B∩AB1=E，连接DE，易知DE//A1C，再由线面平行的判定定理，即可得证；
(2)以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由于E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为6，离心率是3 55，
因此ca=3 55,2c=6，其中c= a2+b2，所以a= 5,c=3，因此b= c2-a2=2.
因此E的方程为x25-y24=1.
(2)设B(x2,y2)，A(x1,y1)，
联立双曲线方程和直线ly=kx+1,x25-y24=1,
化简得(4-5k2)x2-10kx-25=0，由于直线l：y=kx+1与E相交于A，B两点，
因此4-5k2≠0,Δ=400(1-k2)>0,
所以k20)的长轴长为6 2，即2a=6 2，解得a=3 2，
因为椭圆E的左焦点与抛物线y2=-12x的焦点(-3,0)重合，所以 a2-b2=c=3，解得b=3，
所以椭圆E的方程为x218+y29=1；
由题意可知对于椭圆E，极点P(-6,0)对应的极线lP的方程为-6x18+0⋅y9=1，即x=-3；
(2)证明：设Q(-3,t)，由题意知直线l的斜率必然存在，
故设直线l：y=k(x+6)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立方程y=k(x+6)x218+y29=1，整理可得：(1+2k2)x2+24k2x+72k2-18=0，
Δ=(24k2)2-4(1+2k2)(72k2-18)=72(1-2k2)>0，即k2