经典奥数-计算题专项20种类型精讲精练-小升初计算题讲义-A4

这是一份经典奥数-计算题专项20种类型精讲精练-小升初计算题讲义-A4，共24页。试卷主要包含了学生对简便运算定律认识模糊‌，简算意识淡薄‌，数形结合法，6×81，125+281×0等内容，欢迎下载使用。
巧妙的计算不仅可以培养学生逻辑思维能力、提高解决问题的能力；‌而且可以帮助学生节省时间、提高效率，增强数感和数学意识。目前学生计算现状主要体现在以下两点：
‌ 1.学生对简便运算定律认识模糊‌：许多学生对简便运算定律认识较为模糊、混淆不清，对运算的性质理解不深刻，导致在运用过程中不灵活。
‌ 2.简算意识淡薄‌：在教学过程中发现，学生的简便意识较为薄弱，大多数学生不能自觉地从简便计算的角度去思考、计算，在题目没有明确要求运用简便方法计算时，大多数学生只会按照运算顺序来计算，没有养成简便计算的习惯。
本讲义源于课本，优化结构；由浅入深，螺旋上升；注重启迪，点拨到位。朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，人生更加优秀！
在简便计算中，常用的方法有：
1.提取公因数‌是指在数学运算中，将一个数学表达式中的公共因数提取出来，以便简化计算过程或使表达式更简洁。常见的是乘法分配律的合并式。
2.整体约分法是约分的延伸，其核心步骤是提取公因数，然后对其余部分进行整体约分，以达到化繁为简的目的。
3.裂项法,就是在计算分数加、减法时，先将其中一些分数作适当拆分，使得其中一些分数可以互相抵消，达到简算的目的。裂项时要注意两点:一是必须保持分数只是形变而值不变;二是能达到简算的目的。
4.分组法可以将复杂的计算题分解成若干个简单的部分，使得计算过程更加简洁明了；通过分组，可以减少计算的步骤，节省时间，提高计算效率。
5.换元法‌是一种常用的数学解题方法，通过将某个式子看作一个整体，并用一个变量去代替它，从而简化问题。
6.数形结合法：采用图形相结合方法进行巧妙计算。
（除法的性质应用）2023÷202320232024
【解析】此题难点就是带分数转化成假分数难度较大，计算过程过于繁琐，如果巧用除法的性质进行计算，则简单明了。
除法性质：①a÷b÷c=a÷（b×c）；②a÷b÷c= a÷c÷b。（互逆）
解法一：（除法性质）
∵202320232024=2023+20232024=2023×（1+12024）=2023×112024
∴原式=2023÷（2023×112024）
=2023÷2023÷112024
=1÷112024
=20242025
解法二：（倒数法）
【解析】∵a÷b=ba，b÷a=ab，可以看出a÷b与b÷a的结果互为倒数；∴a÷b=1÷（b÷a）
∴原式=1÷（202320232024÷2023）
=1÷[（2023+20232024）÷2023]
=1÷[（2023+20232024）×12023]
=1÷[2023×12023+20232024×12023]
=1÷[1+12024]
=1÷20252024
=20242025
解法三：（带分数变形后再约分）
【解析】根据分数除法的计算法则：一个数除以分数等于这个数乘以分数的倒数。所以除数是带分数，要先转化为假分数。即a÷bdc=a÷b×c+dc
原式=2023÷2023×2024+20232024
=2023÷2023×（2024+1）2024
=2023÷2023×20252024
=2023×20242023×2025
=20242025
【小结】我们在计算过程中要多角度思考，灵活选择合适的方法进行简便计算。
200220222023÷2002+2001÷200120212022
提取公因数（直接提取公因数）
5.125×17+2.875×17
【解析】乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c
原式=（5.125+2.875）×17
=10×17
=107
113×24+613×24-24÷137
提取公因数（分次提取公因数）
81.5×15.8+67.6×18.5+81.5×51.8
【解析】在三组乘法里，找不到3个相同的数，无法直接提取公因数，则边做边观察，在过程中再次出现公因数，第二次提取公因数。
原式=（15.8+51.8）×81.5+67.6×18.5（第一次应用乘法分配律）
=67.6×81.5+67.6×18.5（出现公因数67.6）
=（81.5+18.5）×67.6（第二次应用乘法分配律）
=100×67.6
=6760
53.5×35.3+53.5×43.2+78.5×46.5
扩缩后再提取公因数
扩缩法：一个因数扩大几倍，另一个因数就缩小几倍，它们的积不变，这叫做积不变的规律
（1）1.9×1.25+281×18-12.5（移动小数点）
【解析】先把分数化成小数后，发现小数点位数不相同。应用积不变的规律扩缩转化成相同小数后，再提取公因数。
（1）原式=1.9×1.25+281×0.125-12.5×1
=19×0.125+281×0.125-0.125×100（扩缩）
=0.125×（19+281-100）
=0.125×200
=25
【小结】此题综合考查学生数的转化、积不变规律和乘法分配律。易错点在12.5是单独的一个数，学生容易忽略且不知道如何利用积不变的规律转化为两个数的乘积，可以添加×1。
31.4×4.3+72×3.14-150×0.314
（2）333×666+999×778（扩缩法：333扩大3倍，666就缩小3倍，积不变）
【解析】运用乘积不变规律，一个因数扩大3倍，另一个因数就缩小3倍，乘积不变。
原式=999×222+999×778
=（222+778）×999
=1000×999
=999000
2222×6666+3333×5556
交换分数分子后再提取公因数
56×113+59×213+518×613
【解析】观察发现，因数中没有相同的分数，无法直接提公因数；但出现同分母或同分子，可以应用乘法交换律，交换分数的分子或分母，转化为相同的分数，再提取公因数。
原式=16×513+29×513+618×513（交换分子）
=（16+29+618）×513
=1318×513
=518
【小结】当每组乘法中有相同的分子或分母时，就要考虑交换分数分子，转化成相同的因数，再提取公因式。
2275×34+ 1775×31
拆数后再相乘（常见两个数相乘题型）
即把一个数拆分成两个或两个以上的数相加、相减或相乘。
1998×919971998
【解析】运用凑整法把带分数拆成（10-11998）
原式=1998×（10- 11998）
=1998×10+1998×11998
=19980+1
=19981
90188×189
整体相乘法
（a+b）×（c×d）=a×（c×d）+c×（c×d）（把c×d看为一个整体）
【解析】此题为乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c的延伸，c不仅可以表示一个数，还可以表示一个式子。
（317+219）×17×19（把17×19看作一个整体）
原式=317×17×19+219×17×19
=57+34
=91
（523+427）÷123×27
聚零为整巧约分
（89+137+611）÷（311+57+49）
【解析】此题如果通分计算，则计算复杂，容易出错。仔细观察发现，每个括号里的三个分数有同分母。把一个整体（89+137+611）转化为（611+107+89）=2×（311+57+49），通过整体约分此题就简单多了。
原式=2×（311+57+49）÷（311+57+49）
=2
【小结】如果遇到两组和相除的题型，要看看每组分数和有没有关系。
（657+659）÷（57+59）
变形后再约分
267+123×894894×124-627（分数的分子不变，分母变形后再约分）
【解析】此题先采用乘法分配律对分母部分进行变形，再整体约分
原式=267+123×894894×（123+11）-627
=267+123×894894×123+894-627
=267+123×894894×12+267（分子与分母一样，不必计算，直接整体约分为1）
=1
（提公因数后再整体约分）2002+20022002+2002200220022003+20032003+200320032003
（121+2022121+50505212121+1313131321212121）×3（分子、分母变形后巧约分）
【解析】当分数不是最简分数时，可找出分子与分母的最大公因数后再约分，化繁为简。此题后三个分数的分子分母都是重叠数，且分子与分母都有公因数，找到它们的最大公因数就迎刃而解了。
（1）∵2022121=2×10121×101，分子与分母的最大公因数是101，可以化简为221；同理50505212121=5×1010121×10101=521；1313131321212121=1321。
（2）原式=（121+221+521+1321）×3
=1×3
=3
135+300335035+1101101135035035+1301301301335035035035
裂项计算（直接裂减法）
5-44×5+ 6-55×6+ 7-66×7+ 8-77×8+ 9-88×9
【解析】每个分数的分母都是两个相邻的自然数的乘积，且分子为1的时候，可以把每个分数裂成两个分数单位的差。
原式=14-15+15-16+16-17+17-18+18-19
=14-19
=536
【小结】若干个分数连加，如果每个分数的分母都是两个相邻的自然数相乘的形式，且分子为1的时候，我们可以利用公式1n（n+1）=1n-1n+1把每个分数拆成两个分数单位的差。
21×2+22×3+23×4+24×5+25×6
裂项计算（裂减后再×12法）
11×3+13×5+15×7+17×9+19×11
【解析】当分数分母不是两个相邻数相乘时，不能直接裂项；两个数相差几，裂项时要乘几分之一。
原式=12×（1-13）+12×（13-15）+12×（15-17）+12×（17-19）+12×（19-111）
=12×（1-13+13-15+15-17+17-19+19-111）
=12×（1-111）
=511
【小结】若干个分数单位相加时，如果分数分母不是两个相邻数相乘时，不能直接裂项；两个数相差几，裂项时要乘几分之一。
121+177+1165+1285+1437
5+44×5-6+55×6+7+66×7-8+77×8+9+88×9
【解析】每个分数的分母都是两个相邻的自然数的乘积，且分子为两个自然数和的时候，可以把每个分数裂成两个分数单位的相加。
原式=（14+15）-（15-16）+（16-17）-（17-18）+（18-19）（注意要添加括号）
=14+15-15-16+16+17-17-18+18-19（去括号时注意符号的变化）
=14+15-15-16+16+17-17-18+18-19
=14-19
=536
【小结】若干个分数相加减，如果每个分数的分母都是两个相邻的自然数相乘的形式，且分子为相邻两个自然数之和的时候，我们可以利用公式n+(n+1)n（n+1）=1n+1n+1把每个分数拆成两个分数单位的和。
32-56+712-920+1130
分组法
20+19-18-17+16+15-14-13+…+4+3-2-1
【解析】把四个数分成一组，20个数一共可以分成5组，每组和相等。
解：原式=(20+19-18-17)+(16+15-14-13)+…+(4+3-2-1)
=4×5
=20
9912-9813+9712-9613+9512-9413+…+112-13
换元法
（2+13+14+15）×（13+14+15+16）-（2+13+14+15+16）×（13+14+15）
【解析】此题全部展开，算式太长太复杂，不切合实际，根据题目特点，题目里有重复的算式，可以采用换元法，化繁为简再行计算。
设a=13+14+15+16，b=13+14+15，那么a-b=16。所以
原式=（2+b）×a-（2+a）×b
=2a+ab-2b-ab
=2a-2b
=2（a-b）
=2×16
=13
（321123+345234+432543）×（345234+432543+123321）-（321123+345234+432543+123321）×（345234+432543）
数形结合法
12+14+18+116+132
【解析】此题为极限思想问题，采用数形结合，学生能快速计算出答案。如果在原式基础上再加上一个132，结果就等于1。
∵12+14+18+116+132+132=1
∴原式=12+14+18+116+132+132-132
=1-132
=3132
1+3+5+7+9+……+123+125
解方程的依据是等式的性质及数量之间的关系。
1.等式的性质：等式左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式两边仍然相等；或方程左右两边同时乘（或除以）一个非零的数，等式左右仍然相等。
2.数量关系：
①一个加数=和-另一个加数
②被减数=减数+差
③减数=被减数-差
④一个因数=积÷另一个因数
⑤被除数=商×除数
⑥除数=被除数÷商
如：x--x-12=2-x+23
【解析】方程左右两边同时乘分母2和3的最小公倍数6。
原式：6×（x - x-12）=6×（2 - x+23）
6x-3（x-1）=12-2（x+2）
3x+3=8-2x
x=1
已知720=1A+3+1A-3，求A的值。
38 x:25=（1516 x-1）:89
【解析】解比例的依据是比例的基本性质：在比例里，两外项的积等于两内项的积。
原式：解38 x×89=（1516 x-1）×25
13x=38x-25
（38-13）x=25
x=9.6
0.5x-35=（x-19）÷57
定义新运算
已知aΔb=a×b-a-b+2,又知(3Δx)Δ3=13,求x的值。
【解析】根据定义先算3Δx,在这里△是新的运算符号。
因为(3Δx)3=13,即(3x-3-x +2)Δ3=13,也即(2x-1)Δ3=13,
即:(2x-1)×3-(2x-1)-3+2=13
6x-3-2x+1-3+2=13
4x =16
x=4
已知a△b=3a-2b,又知 yΔ(4Δ1)=7,求y的值。
一、简便计算（84分）
（1）2016÷201620162017+201720172018÷2017 （2）1999+999×999
（3）87.16×1.45+12.84×21.84+0.8716×2039 （4）3001×29993000

（5）（13+14-16）÷124 （6）248248248363636×171717153153153
（7）47×231213+16×17+17×413 （8）711×58+211×716-111×72
（9）（89+137+611）÷（311+57+49） （10）（89×413×1574）÷（813×49×374）

（11）4×7×（74-47） （12）3112×23+4113×34 （13） 267+123×894894×124-627

（14）2013×2015×（12013×2014+12014×2015） （15） 14+128+170+1130+1208
（16）（1+998×1）+（2+998×2）+（3+998×3）+……+（7+998×7）
（17）12+16+112+120+130 （18）23×5+25×7+27×9+29×11+211×13+113


（19）112018+222018+332018+442018+…+1001002018 （20）1+3+5+7+……+199
（21）2014+2013×20152014×2015-1+2015+2014×20162015×2016-1
二、解方程（16分）
（22）x2×4+x4×6+x6×8+……+x1006×1008=503
（23）x-10.2-x+10.5=2 （24）18%:1320= x6.5
（25）对于数a、b定义新运算：a⊙b= a+b2，那么x⊙（6⊙4）=x，求x。
【能力冲浪】参考答案
200220222023÷2002+2001÷200120212022
=112023÷1+1÷112022
=112023+20222023
=2
113×24+613×24-24÷137
=113×24+613×24-24×713
=（113+613-713）×24
=24
53.5×35.3+53.5×43.2+78.5×46.5
=53.5×（35.3+43.2）+78.5×46.5
=53.5×78.5+78.5×46.5
=（53.5+46.5）×78.5
=100×78.5
=7850
31.4×4.3+72×3.14-150×0.314
=3.14×（43+72-15）
=3.14×100
314
2222×6666+3333×5556
=4444×3333+3333×5556
=3333×（4444+5556）
=3333×10000
=33330000
2275×34+ 1775×31
=2275×17×2+ 1775×31
=1775×44+ 1775×31
=1775×（44+31）
=17
90188×189
=（89+1188）×189
=89×189+1188×189
=1+188
=1188
（523+427）÷123×27
=（523+427）×23×27
=523×23×27+427×23×27
=135-92
=43
（657+659）÷（57+59）
=13×（57+59）÷（57+59）
=13
（提公因数后再整体约分）2002+20022002+2002200220022003+20032003+200320032003
=2002×（1+10001+100010001）2003×（1+10001+100010001）
=20022003
135+300335035+1101101135035035+1301301301335035035035
=135+3×100135×1001+11×100100135×1001001+13×100100100135×1001001001
=135+335+1135+1335
=2835
=45
21×2+22×3+23×4+24×5+25×6
=2×（11×2+12×3+13×4+14×5+15×6）
=2×（1-12+12-13+……+15-16）
=2×（1-16）
=53
121+177+1165+1285+1437
=（13-17+17-111+111-115+115-119+119-123）×14
=（13-123）×14
=2069×14
=569
32-56+712-920+1130
=（1+12）-（12+13）+（13+14）-（14+15）+（15+16）
=1+12-12-13+13+14-14-15+15+16
=1+16
=116
9912-9813+9712-9613+9512-9413+…+112-13
=（9912-9813）+（9712-9613）+（9512-9413）+…+（112-13）
=76+76+76+……+76
=76×99
=109.5
（321123+345234+432543）×（345234+432543+123321）-（321123+345234+432543+123321）×（345234+432543）
设345234+432543=a, 321123+345234+432543=b,b-a=321123
原式=（a+123321）×b-（b+123321）×a
=ab+123321b-ab-123321×a
=123321×（b-a）
=123321×321123
=1
1+3+5+7+9+……+123+125
=[（1+125）÷2]2
=632
=3969
已知720=1A+3+1A-3，求A的值。
解：720=1A+3+1A-3=1440=4+104×10=14+110,
所以A=7
0.5x-35=（x-19）÷57
解：0.5x-35=（x-19）×75
0.5x-35=7（x-19）5
0.5x-3=7（x-19）
X=20
已知a△b=3a-2b,又知 yΔ(4Δ1)=7,求y的值。
解：∵4Δ1=3×4-2×1=10
∴yΔ10=7
3y-10×2=7
y=9
【经典测试】参考答案
一、简便计算（84分）
（1）2016÷201620162017+201720172018÷2017
=1÷112017+112018÷1
=20172018+112018
=2
（2）1999+999×999
=1000+999+999×999
=1000+（1+999）×999
=1000+1000×999
=1000×（1+999）
=1000×1000
=1000000
（3）87.16×1.45+12.84×21.84+0.8716×2039
= 87.16×1.45+12.84×21.84+87.16×20.39
= 87.16×（1.45+20.39）+12.84×21.84
= 87.16×21.84+12.84×21.84
=（87.16+12.84）×21.84
=100×21.84
=2184
（4）3001×29993000
=（3000+1）×29993000
=3000×29993000+29993000
=299929993000
（5）（13+14-16）÷124
= （13+14-16）×24
= 13×24+14×24-16×24
=8+6-4
=10
（6）248248248363636×171717153153153
=248×100100136×10101×17×10101153×1001001
=24836×17153
=6281
（7）47×231213+16×17+17×413
= 47×231213+4×47+47×113
= 47×（231213+4+113）
= 47×28
=16
（8）711×58+211×716-111×72
=711×58+711×216-711×12
=711×（58+216-12）
=711×14
=744
（9）（89+137+611）÷（311+57+49）
=2×（311+57+49）÷（311+57+49）
=2
（10）（89×413×1574）÷（813×49×374）
=（89×413×1574）×（138×94×743）
=5
（11）4×7×（74-47）
= 4×7×74- 4×7×47
=49-16
=33
（12）3112×23+4113×34
=（30+112）×23+（40+113）×34
=30×23+112×23+40×34+113×34
=20+1+30+1
=52
（13） 267+123×894894×124-627
= 267+123×894894×（123+1）-627
= 267+123×894894×123+894-627
= 267+123×894894×123+267
=1
（14）2013×2015×（12013×2014+12014×2015）
= 2013×2015×12013×2014+ 2013×2015×12014×2015
=20152014+20132014
=2
（15）14+128+170+1130+1208
=（1-14+14-17+17-110+110-113+113-116）×13
=（1-116）×13
=516
（16）（1+998×1）+（2+998×2）+（3+998×3）+……+（7+998×7）
=（1+2+3+4+5+6+7）+998×（1+2+3+4+5+6+7）
=28+247
=3047
（17）12+16+112+120+130
= 1-12+12-13+13-14+14-15+15-16
= 1-16
= 56
（18）23×5+25×7+27×9+29×11+211×13+113
= 13-15+15-17+17-19+19-111+111-113+113
= 13
（19）112018+222018+332018+442018+…+1001002018
=（1+2+3+4+……+100）+（12018+22018+32018+42018+…+1002018）
=5050+ 50502018
=50525071009
（20）1+3+5+7+……+199
=[（1+199）÷2]2
=1002
=10000
（21）2014+2013×20152014×2015-1+2015+2014×20162015×2016-1
=1+1
=2
二、解方程（16分）
（22）x2×4+x4×6+x6×8+……+x1006×1008=503
解：（12×4+14×6+16×8+……+11006×1008）x=503
(12-14+14-16+16-18+…+11006-11008) x=503×2
(12-11008) x=503×2
5031008 x=503×2
x=2016
（23）x-10.2-x+10.5=2
解：5（x-1）-2（x+1）=2
3x=9
X=3
（24）18%:1320= x6.5
解：950:1320=x:6.5
950:320=x: 132
1320x=132×950
X=1.8
（25）对于数a、b定义新运算：a⊙b= a+b2，那么x⊙（6⊙4）=x，求x。
解：∵6⊙4=6+42=5
∴x⊙5=x
x+52=x
X=5