经典奥数-浓度问题7种类型精讲精练-小升初奥数应用题讲义-A4

这是一份经典奥数-浓度问题7种类型精讲精练-小升初奥数应用题讲义-A4，共14页。试卷主要包含了知识梳理等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
浓度问题是一种常见的百分数应用题。学习浓度问题,首先要掌握浓度问题涉及的几个基本的量:溶质、溶剂、溶液及浓度。以糖水为例,糖水中所含的糖就是溶质,水就是溶剂,糖溶解于水中形成的混合物(糖水)叫溶液。糖与糖水的质量的比值称为糖水的浓度（即糖水的含糖率）。
浓度问题常用的基本数量关系式是:
1.溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
2.溶液的浓度=溶质的质量÷溶液的质量×100%（求百分率）
3.溶质的质量=溶液的质量×溶液的浓度（求比较量）
4.溶液的质量=溶质的质量÷溶液的浓度（求单位1的量）
在浓度配比问题中,我们经常采用“十字交叉”法解题,也可称之为“浓度三角”。
“十字交叉”法原理:如果我们将浓度为a%的A溶液m克和浓度为6%的B溶液n克混合后,配成浓度为c%的溶液(m+n)克(a＜c＜b),则根据溶质的质量不变,我们得到如下关系式:
m×a%+n×b%=(m+n)×c% m×a+n×b=(m+n)×c
n×(b-c)=m×(c-a) b−cc−a=mn
为了便于计算我们可以记为如下形式:
从上图可以看出,A和B两种溶液的质量比m:n,等于它们浓度差的反比(b-c):(c-a)。
二 、浓度问题类型
【经典例题1】稀释问题
现有含盐率为25%的盐水 300 克,如果要使含盐率降为15%，应加水多少克？
【解析】
①本题变量：水的质量、盐水的总质量。
②本题不变量：盐的质量（解题关键，必须先求出）
③盐的质量=300×25%=75克
④含盐率为15%
⑤盐水的总质量：75÷15%=500克
⑥增加的水量：500-300=200克
列式：300×25%÷15%-300=200（克）
[特别提醒]抓住盐的质量为不变量是解题的关键。也可以用“现在盐的质量=原来盐的质量”这个等量关系列方程解答。
解:设应加水x克。
(300+x)×15%=300×25%
45+0.15x=75
x=200
【经典习题1】水果仓库运来含水量为90%的一种水果400千克。一周后再测，发现含水量降低为80%，现在这批水果的总重量是多少千克？
【经典例题2】加浓问题
现有浓度15%的糖水80克，要把它变成32%的糖水,需加糖多少克?
【解析】
①本题变量：糖的质量、糖水质量
②本题不变量：水的质量（解题关键，需先求出）
③水的质量：80×（1-15%）=68克
④加糖后的含水率为1-32%=68%
⑤糖水的总质量：68÷68%=100克
⑥加糖的质量：100-80=20克
列式：80×（1-15%）÷（1-32%）-80=20（克）
[特别提醒]此题还可以用方程解,等量关系式为:原来糖水的质量×15%十又加入糖的质量=现在糖水的质量×32%
解:设需加糖x克。
80×15%+x=(80+x)×32%
解得:x=20
【经典习题2】有含盐量为 6%的盐水92千克,如果将盐水的浓度提高到8%,需要再加入盐多少千克？
【经典例题3】两种溶液配制问题一（求浓度）。
把12千克的糖溶解在18千克的水中配成甲溶液，9千克的糖溶解在13.5千克的水中配制成乙溶液，再将甲、乙两种溶液混合得到新溶液，则新溶液的浓度是多少？（出现了两种浓度）
【解析】
①基本公式：糖水浓度=糖的质量÷糖水质量×100%
②甲溶液中糖的质量：12千克；糖水质量：12+18=30千克
③乙溶液中糖的质量：9千克；糖水质量：9+13.5=22.5千克
④混合后糖水的浓度：（12+9）÷（30+22.5）=40%
列式：（12+9）÷（12+8+9+13.5）=40%
【经典习题3】小李配制一种0.2%的消毒水，已配好了500克，由于不小心，将20克10%的这种药水误倒了进去，现在配制的药水浓度是多少？
【经典例题4】两种溶液配制问题二（求溶质或溶液）
将浓度40%的100 克糖水倒人浓度为20%的a克糖水中,得到浓度为25%的糖水,则a的质量。（出现了三种浓度）
【解析】根据糖的质量不变，我们得到如下关系:
①100×40%+20%a=(100+a)×25%
100×40%+20%a=100×25%+25%a
100×(40%-25%)=a×(25%-20%)
100:a=(25%-20%):(40%-25%)
②为了便于计算，我们将用“十字交叉”法表示如下形式:
③从上图可以看出，两种溶液的质量比100:a,等于它们浓度差的反比(25%一20%):(40%- 25%)=1: 3。根据100:a=1:3，得出a为300。
[特别提醒]此题也可以根据糖的质量不变,列方程解答。
解:100×40%+20%a=(100+a)×25%
a=300
【经典习题4】两种钢分别含镍5％和40％，要得到140吨含镍30％的钢，需要含镍5％的钢和含镍40％的钢各多少吨？
【经典例题5】三种溶液混合问题
浓度为20%、18%、16%的三种盐水，混合后得到50克18.8%的盐水，如果16%的盐水比18%的盐水少15克，求每种盐水各多少克？
【解析】
①数量关系：溶质+溶质+溶质=总溶质
②即三种浓度的盐水的盐的质量之和为50克，利用数量关系建立方程即可
③解：设16%的盐水x克，则18%的盐水（x+15）克，20%的盐水的50-x-（x+15）=（35-2x）克
④16%的盐水含盐量：16%x克
⑤18%的盐水含盐量：18%×（x+15）克
⑥20%的盐水含盐量：20%×（35-2x）克
⑦18.8%的盐水50克的含盐量：50×18.8%克
⑧列出方程：16%x+18%×（x+15）+20%×（35-2x）=50×18.8%
⑨解得x=5
⑩16%的盐水含盐量： 5克
⑪18%的盐水含盐量： x+15=5+15=20克
⑫0%的盐水含盐量： 35-2x=35-2×5=25克
【经典习题5】两个杯中分别装有浓度为40%与10%的盐水，倒在一起混合后盐水的浓度变为30%，若再加入300g浓度为20%的盐水，混合后浓度变为25%，那么原有40%的盐水多少克？
【经典例题6】多次加水浓度问题
有盐水若干升，第一次加入一定量的水后，浓度变成8%，第二次又加入与第一次同样多的水后，浓度变成5%，如果第三次加入与第一次同样多的水后，浓度变成多少？
【解析】
①盐的质量不变是解题关键。
②第一次加水后盐与水的质量比是8%：（1-8%）=2:23
③第二次加水同样多的水后盐与水的比是5%：（1-5%）=2:38
④每次加入的水量：38-23=15份
⑤所以第三次加入15份水后，盐与水的比是2：（38+15）=2:53
⑥盐水的浓度为2÷（2+53）=3.6%
【经典习题6】已知盐水若干克，第一次加入一定量的水后，盐水含盐率为3%，第二次又加入同样多的水后，盐水的含盐率变为2%，求第三次加入同样多的水后盐水的含盐率？
【经典例题7】溶液互换问题
甲容器中有浓度为20％的糖水600克，乙容器中有浓度为10％的糖水400克，分别从甲和乙容器中取出相同重量的糖水，把从甲中取出的倒人乙中，把从乙中取出的倒人甲中．现在甲、乙两个容器中糖水浓度相同。那么甲容器现在糖水浓度是多少?
【解析】
①采用“整体思想”原理。
②既然现在甲、乙两个容器中糖水浓度相同，则可以看作是两个容器中的糖水全部混合在一起。
③甲容器中的糖的质量：600×20%=120克
④乙容器中的糖的质量：400×10%=40克
⑤两个容器中的糖水总质量：600+400=1000克
⑥两个容器糖水互换后糖水的浓度都为（120+40）÷1000=16%
【经典习题7】甲杯有13%的盐水200克，乙杯有17%的盐水120克。现在从两杯中倒出重量相同的盐水，分别交换倒入两杯中，这时两杯新盐水的浓度相同，从每杯中倒出的盐水是多少克？
【经典测试】
1.（稀释问题：盐不变）一瓶浓度是40%的饮料,喝到剩60克饮料时,觉得饮料太浓了，就加了一些水,将饮料的浓度兑成了30%。那么，东东加了多少克水?
2.（加浓问题：水不变) 有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？
3.（溶液配制1）浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？
4.(溶液配制2)现有浓度为10%的盐水20千克,再加入多少千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水?
5.（三种溶液混合）甲、乙、丙三杯糖水的浓度分别为38%，87.5%和75%。已知三杯糖水共200 克，其中甲与乙、丙两杯糖水的质量和相等。三杯糖水混合后,糖水的浓度变为60%,那么丙杯中有糖水多少克?
6.（三次加水）从装满100克浓度为80％的盐水杯中倒出40克盐水，再用清水将杯加满；再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满，如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？
7.（溶液互换）小明想用浓度为10%的糖水和浓度20%的糖水和在一起,配成浓度16%的糖水200克,可是一不小心,他把两种糖水的数量弄反了,那么,他配成的糖水的浓度是多少？
【经典习题】参考答案
【经典习题1】水果仓库运来含水量为90%的一种水果400千克。一周后再测，发现含水量降低为80%，现在这批水果的总重量是多少千克？
【解析】
①本题变量：水果水分蒸发后水的质量、水果总质量
②本题不变量：果肉质量
③果肉质量：400×（1-90%）=40克
④蒸发后果肉的浓度为1-80%=20%
⑤水果总质量：40÷20%=200克
列式：400×（1-90%）÷（1-80%）=200（克）
【经典习题2】有含盐量为 6%的盐水92千克,如果将盐水的浓度提高到8%,需要再加入盐多少千克？
①本题变量：盐的质量、盐水质量
②本题不变量：水的质量（解题关键，需先求出）
③水的质量：92×（1-6%）=86.48千克
④加盐后的含水率为1-8%=92%
⑤盐水的总质量：86.48÷92%=94千克
⑥加盐的质量：94-92=2千克
列式：92×（1-6%）÷（1-8%）-92=2（千克）
【经典习题3】小李配制一种0.2%的消毒水，已配好了500克，由于不小心，将20克10%的这种药水误倒了进去，现在配制的药水浓度是多少？
【解析】
①基本公式：药水浓度=药的质量÷药水质量
②消毒水中药的含量：500×0.2%=1克
③药水中药的含量：20×10%=2克
④混合后药水的浓度：（1+2）÷（500+20）≈0.58%
【经典习题4】两种钢分别含镍5％和40％，要得到140吨含镍30％的钢，需要含镍5％的钢和含镍40％的钢各多少吨？
【解析】十字交叉法
按1:1分配：140÷（1+1）=70（吨）
答：各70吨
【经典习题5】两个杯中分别装有浓度为40%与10%的盐水，倒在一起混合后盐水的浓度变为30%，若再加入300g浓度为20%的盐水，混合后浓度变为25%，那么原有40%的盐水多少克？
【解析】
①两次用到十字交叉法
②混合后30%的盐水质量为300÷1×1=300克
③
④40%的盐水的质量：300÷（2+10）×2=200克
【经典习题6】已知盐水若干克，第一次加入一定量的水后，盐水含盐率为3%，第二次又加入同样多的水后，盐水的含盐率变为2%，求第三次加入同样多的水后盐水的含盐率？
【解析】
①盐的质量不变是解题关键。
②第一次加水后盐与水的质量比是3%：（1-3%）=3:97
③第二次加水同样多的水后盐与水的比是2%：（1-2%）=3:147
④每次加入的水量：147-97=50份
⑤所以第三次加入15份水后，盐与水的比是3：（147+50）=3:197
⑥盐水的浓度为3÷（3+197）=1.5%
【经典习题7】甲杯有13%的盐水200克，乙杯有17%的盐水120克。现在从两杯中倒出重量相同的盐水，分别交换倒入两杯中，这时两杯新盐水的浓度相同，从每杯中倒出的盐水是多少克？
【解析】
①采用“整体思想”原理。
②既然现在甲、乙两个杯子中盐水浓度相同，则可以看作是两个容器中的盐水全部混合在一起。
③甲容器中的盐的质量：200×13%=26克
④乙容器中的盐的质量：120×17%=20.4克
⑤两个容器中的盐水总质量：200+120=320克
⑥两个容器盐水互换后盐水的浓度都为（26+20.4）÷320=14.5%
⑦十字交叉法
⑧甲杯中盐水质量为200克，与加入的17%的盐水的质量之比为5:3
⑨加入17%的盐水的质量为200÷（5+3）×3=75（克）
【经典测试】参考答案
1.（稀释问题：盐不变）一瓶浓度是40%的饮料,喝到剩60克饮料时,觉得饮料太浓了，就加了一些水,将饮料的浓度兑成了30%。那么，东东加了多少克水?
【解析】
①变量：水、总质量
②不变量：饮料中的糖分
③饮料中的糖分：60×40%=24克
④浓度变为30%
⑤饮料的总质量：24÷30%=80克
⑥加水质量：80-60=20克
列式：60×40%÷30%-60=20（克）
2.（加浓问题：水不变) 有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？
【解析】
①水的质量：20×（1-15%）
②含水率：1-20%=80%
③盐水的总质量：20×（1-15%）÷（1-20%）=21.25千克
④加盐质量：21.25-20=1.25千克
列式：20×（1-15%）÷（1-20%）-20=1.25（千克）
3.（溶液配制1）浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？
【解析】
①浓度为70％的酒精溶液500克中纯酒精质量：500×70%=350克
②浓度为50％酒精溶液300克中纯酒精的质量：300×50%=150克
③总纯酒精的质量：350+150=500克
④总酒精溶液的质量：500+300=800克
⑤混合后酒精溶液的浓度：500÷800=62.5%
列式：（500×70%+300×50%）÷（500+300）=62.5%
4.(溶液配制2)现有浓度为10%的盐水20千克,再加入多少千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水?
【解析】
20÷1×6=120（千克）
5.（三种溶液混合）甲、乙、丙三杯糖水的浓度分别为38%，87.5%和75%。已知三杯糖水共200 克，其中甲与乙、丙两杯糖水的质量和相等。三杯糖水混合后,糖水的浓度变为60%,那么丙杯中有糖水多少克?
【解析】甲杯糖水的质量等于乙、丙两杯糖水质量的总和:200÷2=100(克),根据等量关系式“甲杯糖水的含糖量十乙杯糖水的含糖量十丙杯糖水的含糖量=三杯糖水混合后的含糖量”列方程解答。
200÷2=100(克)
解:设丙杯中有糖水x克,则乙杯中有糖水(100-x)克。
100×38%+87.5%× (100-x) +75%x=200×60%
x=44
答:丙杯中有糖水44克。
[特别提醒]较复杂的浓度配制问题，用方程解答比较方便，列方程时要抓住“混合前、后含糖的质量不变”这一等量关系。
6.（三次加水）从装满100克浓度为80％的盐水杯中倒出40克盐水，再用清水将杯加满；再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满，如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？
【解析】
①从装满100克浓度为80％的盐水杯中倒出40克盐水。
②第一次剩余盐水的含盐量为（100-40）×80%=48克
③现在盐水的浓度为48÷100=48%
④第二次剩余盐水的含盐量为（100-40）×48%=28.8克
⑤现在盐水的浓度为28.8÷100=28.8%
⑥第三次剩余盐水的含盐量为（100-40）×28.8%=17.28克
⑦现在盐水的浓度为17.28÷100=17.28%
7.（溶液互换）小明想用浓度为10%的糖水和浓度20%的糖水和在一起,配成浓度16%的糖水200克,可是一不小心,他把两种糖水的数量弄反了,那么,他配成的糖水的浓度是多少？
【解析】
①十字交叉法
②浓度为10%的糖水的质量为200÷（2+3）×2=80克
③浓度为20%的糖水的质量为200-120=120克
④弄反了糖水的质量，也就是浓度为10%的糖水的质量为120克，浓度为20%的糖水的质量为80克
⑤弄反了后糖水的浓度为（120×10%+80×20%）÷200=14%