江苏扬州市仙城中学2024-2025学年高二（上）数学第10周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏扬州市仙城中学2024-2025学年高二（上）数学第10周阶段性训练模拟练习【含答案】，共17页。试卷主要包含了若点，已知点M，已知圆C，圆x2+y2﹣4x＝0在点P，已知直线l，已知点P在⊙O等内容，欢迎下载使用。

1．若点（2，1）在圆x2+y2﹣x+y+a＝0的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知点M（2，4），若过点N（4，0）的直线l交圆于C：（x﹣6）2+y2＝9于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．12B．C．10D．
3．已知圆与圆恰有三条公切线，则实数a的值是（ ）
A．4B．6C．8D．16
4．直线y＝x+b与曲线x＝﹣有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＝±B．﹣1＜b≤1或b＝﹣
C．﹣1≤b＜1或b＝D．﹣≤b≤
5．已知圆C：x2+y2﹣mx+3y+3＝0关于直线l：mx+y﹣m＝0对称，则实数m＝（ ）
A．B．﹣1C．3D．﹣1或3
6．圆x2+y2﹣4x＝0在点P（1，）处的切线方程是（ ）
A．x+y﹣2＝0B．x﹣y+2＝0C．x﹣y+4＝0D．x+y﹣4＝0
7．已知圆C：x2+y2﹣8x＝0，动直线l：x+my﹣2m﹣4＝0于圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则|OP|的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．∪
二．多选题（共5小题）
（多选）8．已知直线l：（a2+a+1）x﹣y+1＝0，其中a∈R，则（ ）
A．直线l过定点（0，1）
B．当a＝﹣1时，直线l与直线x+y＝0垂直
C．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
D．若直线l与直线x﹣y＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为
（多选）9．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1与圆M：（x﹣m）2+（y﹣2m）2＝r2（m∈R，r＞0）相交于A，B两点，则（ ）
A．圆C的圆心坐标为（3，1）
B．当r＝2时，1﹣＜m＜1+
C．当MA⊥CA且r＝3时，m＝2
D．当|AB|＝2时，r的最小值为
（多选）10．已知点P在⊙O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（ ）
A．点P到直线AB的距离最大值是
B．满足AP⊥BP的点P有2个
C．过直线AB上任意一点作⊙O的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点
D．2|PA|+|PB|的最小值为
（多选）11．已知动点P到原点O与到点A（2，0）的距离之比为2：1，动点P的轨迹记为C，直线l：3x﹣4y﹣3＝0，则下列结论中正确的是（ ）
A．C的方程为
B．动点P到直线l的距离的取值范围为
C．直线l被C截得的弦长为
D．C上存在三个点到直线l的距离为
（多选）12．已知圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P是直线l：x+y＝0上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（ ）
A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为
B．切线长PA的最小值为1
C．四边形AMBP面积的最小值为2
D．直线AB恒过定点
三．填空题（共5小题）
13．已知圆C1和圆C2均与x轴及直线y＝kx（k＞0）相切，两圆交于P，Q两点，其中P点坐标为（3，2），已知两圆半径的乘积为，则实数k的值为 ．
14．已知直线l1：x﹣2y﹣2＝0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为﹣3，则直线l2的一般式方程为 ．
15．已知二次函数y＝x2+（2m﹣3）x﹣4﹣11m（m∈R）与x轴交于A，B两点，点C（1，3），圆G过A，B，C三点，存在一条定直线l被圆G截得的弦长为定值，则该定值为 ．
16．如图，点C是以AB为直径的圆O上一个动点，点Q是以AB为直径的圆O的下半个圆（包括A，B两点）上一个动点，PB⊥AB，AB＝3，PB＝2，则（+）•的最小值为 ．
17．若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足（k＞0且k≠1），则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点A（1，0），C（4，0），D（4，9），动点P满足，则2|PD|﹣|PC|的最大值为 ．
四．解答题（共4小题）
18．已知圆C经过A（1，4），B（5，0）两点，且在x轴上的截距之和为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）圆M与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求过点（3，0）且与圆M相切的直线方程．
19．已知圆M与直线相切于点，圆心M在x轴上．
（1）求圆M的标准方程；
（2）若直线l：（2m+1）x+（m+1）y＝7m+4（m∈R）与圆M交于P，Q两点，当时，求实数m的值；
（3）过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB分别与直线x＝8相交于C，D两点，记△OAB，△OCD的面积为S1，S2，求的最大值．
20．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0．
（Ⅰ）若过定点（﹣2，0）的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）若过定点（﹣1，0）且倾斜角为的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标；
（Ⅲ）问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知圆C的圆心在直线x﹣3y＝0上，与y轴正半轴相切，且截直线l：2x﹣y＝0所得的弦长为4．
（1）求圆C的方程；
（2）设点A在圆C上运动，点B（﹣5，1），M为线段AB上一点且满足＝3，记点M的轨迹为曲线E．
①求曲线E的方程，并说明曲线E的形状；
②在直线l上是否存在异于原点的定点T，使得对于E上任意一点P，为定值，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：依题意，方程x2+y2﹣x+y+a＝0可以表示圆，则（﹣1）2+12﹣4a＞0，得；
由点（2，1）在圆x2+y2﹣x+y+a＝0的外部可知：22+12﹣2+1+a＞0，得a＞﹣4．
故．
故选：C．
2．【解答】解：由已知圆的方程可得：圆心C（6，0），半径为r＝3，
设AB的中点为P（x，y），则由圆的性质可得：NP⊥CP，
即＝0，而＝（x﹣4，y），＝（x﹣6，y），
所以（x﹣4）（x﹣6）+y2＝0，
即点P的轨迹方程为（x﹣5）2+y2＝1，
设E为NC的中点，则E（5，0），半径为1，
所以|MP|的最大值为|ME|+1＝+1＝5+1＝6，
又||＝2||，
所以||的最大值为12，
故选：A．
3．【解答】解：圆化为：（x﹣2）2+y2＝1，
则圆心为（2，0），半径r1＝1，
圆，圆心为（﹣1，4），半径，
若圆C1与圆C2恰有三条公切线，则两圆外切．
两圆心的距离，
则有d＝r1+r2，即，解得a＝16．
故选：D．
4．【解答】解：曲线x＝﹣有即 x2+y2＝1 （x≤0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴左侧的部分）．
如图，A（0，1）、B（﹣1，0）、C（0，﹣1），
当直线y＝x+b经过点C时，﹣1＝0+b，求得 b＝﹣1；
当直线y＝x+b经过点B、点A时，0＝﹣1+b，求得b＝1；
当直线y＝x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1＝，求得b＝，或 b＝﹣（舍去），
故要求的实数b的范围为﹣1≤b＜1或b＝，
故选：C．
5．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣mx+3y+3＝0，可得圆心C（，﹣），
因为圆C：x2+y2﹣mx+3y+3＝0关于直线l：mx+y﹣m＝0对称，
所以圆心C在直线l：mx+y﹣m＝0上，
∴m×﹣﹣m＝0，∴m＝3或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，圆C：x2+y2+x+3y+3＝0，D2+E2﹣4F＝1+9﹣4×3＜0，
方程不表示圆，故m＝﹣1舍去，
当m＝3时，圆C：x2+y2﹣3x+3y+3＝0，D2+E2﹣4F＝9+9﹣4×3＞0，
方程表示圆，故m＝3符合题意，
综上所述：m＝3．
故选：C．
6．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4，
∴圆心C（2，0），
∵直线和圆相切于点P（1，），
∴CP的斜率k＝＝﹣，
则切线斜率k＝，
故切线方程为y﹣＝（x﹣1），
即x﹣y+2＝0，
故选：B．
7．【解答】解：由题可知，圆C：（x﹣4）²+y²＝16，则圆心C（4，0），半径r＝4，
直线l方程可化为：（y﹣2）m+（x﹣4）＝0，则直线l过定点M（4，2），
设P（x，y），则＝（x﹣4，y），＝（x﹣4，y﹣2），
根据题意AB⊥CP，所以CP⊥MP，则，即（x﹣4）²+（y﹣）²＝2，
所以中点P的轨迹是以N（4，）为圆心，半径r＝的圆，
所以|ON|＝3，则|OP|最小值为|ON|﹣r＝2，最大值为|ON|+r＝4，
即|OP|的取值范围为[2，4]，
故选：B．
二．多选题（共5小题）
8．【解答】解：选项A，把坐标（0，1）代入直线方程而立，A正确；
选项B，a＝﹣1时直线l方程为x﹣y+1＝0，斜率是1，直线x+y＝0斜率是﹣1，两直线垂直，B正确；
选项C，a＝0时直线方程为x﹣y+1＝0，在x轴上截距为x＝﹣1，在y轴上截距为y＝1，不相等，C错；
选项D，a2+a+1＝1即a＝0或﹣1时，直线l方程为x﹣y+1＝0与直线x﹣y＝0平行，距离为，D正确．
故选：ABD．
9．【解答】解：A选项，圆C的圆心坐标为（3，1），正确；
B选项，当r＝2时，1＜＜3，解不等式1﹣＜m＜1+，正确；
C选项，圆心距，解得m＝0或2，错误；
D选项，圆心M的轨迹方程为2x﹣y＝0，C到直线的距离为，即CM的最小值为，结合勾股定理，可知r的最小值为，正确．
故选：ABD．
10．【解答】解：对于A，由于A（3，0），B（0，4），
故直线AB的方程为4x+3y﹣12＝0．
当P的坐标是（﹣2，0）时，
点P到直线的距离，故A错误；
对于B，满足AP⊥BP的全部点P，
即为以AB为直径的圆和⊙O：x2+y2＝4的公共点，
而AB的中点为，，
故以AB为直径的圆的方程为，
即x2+y2﹣3x﹣4y＝0，联立，
可变形为，
由于点O到直线﹣3x﹣4y+4＝0的距离，
所以直线﹣3x﹣4y+4＝0和圆x2+y2＝4有两个不同的交点，
从而满足条件的点P有2个，故B正确；
对于C，设T（x0，y0）是圆外一点，
熟知T关于圆x2+y2＝4的两条切线的切点M，N确定的直线MN的方程是x0x+y0y＝4，
若T（x0，y0）在直线AB：4x+3y﹣12＝0上，
则4x0+3y0＝12，即，
所以直线x0x+y0y＝4即直线MN恒过点，故C正确；
对于D，设点C（0，1），P（u，v），
则由点P在圆x2+y2＝4上，知u2+v2＝4，
所以|PB|2＝u2+（v﹣4）2＝u2+v2﹣8v+16＝4u2+4v2﹣8v+4
＝4（u2+（v﹣1）2）＝4|PC|2，故|PB|＝2|PC|，
从而，
当时，P在⊙O：x2+y2＝4上，且，
所以2|PA|+|PB|的最小值是，故D正确．
故选：BCD．
11．【解答】解：设P（x，y），因为|PO|＝2|PA|，所以，
所以C的方程为，故A正确；
因为圆心到直线l：3x﹣4y﹣3＝0的距离，其中r为圆C的半径，
所以直线l与圆C相交，且直线l被C截得的弦长为，故C正确；
动点P到直线l的距离的取值范围为，故B错误，D正确．
故选：ACD．
12．【解答】解：由圆M：（x﹣2）2+y2＝1，可知圆心M（2，0），半径r＝1，
∴圆心M（2，0）到直线l：x+y＝0的距离为，
圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；
由圆的性质可得切线长，
∴当|PM|最小时，|PA|有最小值，又，
∴|PA|min＝1，故B正确；
∵四边形AMBP面积为|PA||MA|＝|PA|，
∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；
设P（t，﹣t），由题可知点A，B，在以PM为直径的圆上，又M（2，0），
所以（x﹣t）（x﹣2）+（y+t）（y﹣0）＝0，即x2+y2﹣（t+2）x+ty+2t＝0，
又圆M：（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，
∴直线AB的方程为：（2﹣t）x+ty﹣3+2t＝0，即2x﹣3﹣t（x﹣y﹣2）＝0，
由，得，即直线AB恒过定点，故D正确．
故选：BD．
三．填空题（共5小题）
13．【解答】解：∵圆C1和圆C2与x轴和直线y＝kx（k＞0）相切，两圆交于P，Q两点，其中P点坐标为（3，2），
∴C1和C2在第一象限，
设a，b为圆C1和圆C2的半径，
则C1（ma，a），C2（mb，b）（m＞0），
∵点P在圆C1和圆C2，
∴，
又∵圆C1和圆C2与x轴相切，
∴a，b是m2r2﹣（6m+4）r+13＝0的两个根，
又∵ab＝，
∴＝，解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
∴＝，
∵直线C1C2的倾斜角是直线y＝kx（k＞0）的一半，
∴k＝＝．
故答案为：．
14．【解答】解：由题意可知：直线l1的斜率为，即，
则直线l2的斜率，
所以直线l2的方程为，即4x﹣3y﹣9＝0．
故答案为：4x﹣3y﹣9＝0．
15．【解答】解：设圆G的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，因为圆G过A，B两点，
令y＝0，得x2+Dx+F＝0，
又A，B两点的横坐标满足方程x2+（2m﹣3）x﹣4﹣11m＝0，
所以D＝2m﹣3，F＝﹣4﹣11m，
所以圆G的方程为x2+y2+（2m﹣3）x+Ey﹣4﹣11m＝0，
又C（1，3）在圆G上，
所以10+（2m﹣3）+3E﹣4﹣11m＝0，解得E＝3m﹣1，
所以圆G的方程为x2+y2+（2m﹣3）x+（3m﹣1）y﹣4﹣11m＝0，
即x2+y2﹣3x﹣y﹣4+m（2x+3y﹣11）＝0，
令，解得或，
即圆G恒过点（1，3）和（4，1），
，所以该定值为．
故答案为：．
16．【解答】解：以O为原点，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系O﹣xyz，
则圆O的半径为，＝（3，2），＝（﹣3，0），∴+＝（2，2），
设C（csα，sinα），Q（csθ，sinθ），α∈[0，2π），θ∈[﹣π，0]，
则＝（csα﹣csθ，sinα﹣sinθ），
∴（+）•＝3（csα﹣csθ）+3（sinα﹣sinθ）＝3sin（）﹣3sin（θ），
∵α∈[0，2π），θ∈[﹣π，0]，
∴∈[，），∈[﹣，]，
∴当＝，＝时，（+）•取得最小值﹣3﹣3．
故答案为：﹣3﹣3．
17．【解答】解：设P（x，y），
则，整理得x2+y2＝4，
则P是圆C：x2+y2＝4上一点，
故，
当且仅当A，D，P三点共线，且A在DP之间时取得最大值．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
18．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
令y＝0，可得x2+Dx+F＝0，则x1+x2＝﹣D＝2，
将A（1，4），B（5，0）代入可得，，
解得，所以圆C方程为x2+y2﹣2x﹣15＝0，
即（x﹣1）2+y2＝16．
（2）圆C的圆心C（1，0），圆M的圆心与C（1，0）关于x﹣y+1＝0对称，
∴设圆M的圆心为M（a，b）
则，解得，
圆M的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2＝16，
若过点（3，0）的直线斜率不存在，则方程为x＝3，
此时圆心C（﹣1，2）到直线x＝3的距离为3+1＝4＝r，满足题意；
若过点（3，0）且与圆C相切的直线斜率存在，
则设切线方程为y＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k＝0，
则圆心到直线kx﹣y﹣3k＝0的距离为，解得，
所以切线方程为，即3x﹣4y﹣9＝0，
综上，过点（3，0）且与圆C相切的直线方程为x＝3或3x﹣4y﹣9＝0．
19．【解答】解：（1）由题可知，设圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，
由直线与圆相切于点，
得，解得a＝4，r＝4，
所以圆的方程为（x﹣4）2+y2＝16；
（2）设圆心到直线l：（2m+1）x+（m+1）y＝7m+4（m∈R）的距离为d，
因为，所以，
所以，
解得；
（3）由题意知，，
设直线OA的斜率为k（k≠0），
则直线OA的方程为y＝kx，
由，得（1+k2）x2﹣8x＝0，
解得或，
则点A的坐标为，
又直线OB的斜率为，
同理可得：点B的坐标为，
由题可知：，
∴，
又∵，
同理，∴，
当且仅当|k|＝1时等号成立，
∴的最大值为．
20．【解答】解：（I）圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9．得到圆心C（1，﹣2），半径r＝3．
当直线l的斜率不存在时，直线x＝﹣2与⊙C相切，因此直线x＝﹣2是圆的一条切线；
当直线l的斜率存在时，设切线方程为y＝k（x+2），则圆心C到切线l的距离d＝r．
∴，解得．
∴切线l的方程为，即5x﹣12y+10＝0．
综上可知：切线l的方程为x＝﹣2或5x﹣12y+10＝0．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
过定点（﹣1，0）且倾斜角为的直线l方程为：．
联立
化为，
∴x1+x2＝，
∴＝，＝．
∴P．
（III）假设存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点．
设E（x1，y1），F（x2，y2）．
设直线l的方程为y＝x+m．联立，化为2x2+（2+2m）x+m2+4m﹣4＝0．
∵直线l与圆相交于不同两点，∴Δ＝（2+2m）2﹣8（m2+4m﹣4）＞0，化为m2+6m﹣9＜0．（*）
∴x1+x2＝﹣（1+m），．
∵＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1+m）（x2+m）＝＝m2+4m﹣4﹣m（1+m）+m2＝0，
解得m＝﹣4或1，经验证满足（*）．
∴存在斜率为1的直线l：y＝x﹣4或y＝x+1满足题意．
21．【解答】解：（1）设圆心（3t，t），
则由圆与y轴正半轴相切，可得半径r＝3|t|．
∵圆心到直线的距离d＝＝t，由4+5t2＝9t2，解得t＝±1，
故圆心为（3，1）或（﹣3，﹣1），半径等于3．
∵圆与y轴正半轴相切，∴圆心只能为（3，1）
故圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9．
（2）①设M（x，y），A（m，n），
∵M为线段AB上一点且满足＝3，∴＝3，
∴（x﹣m，y﹣n）＝3（﹣5﹣x，1﹣y），∴，
∵点A在圆C上运动，
∴（4x+15﹣3）2+（4y﹣3﹣1）2＝9，
∴（4x+12）2+（4y﹣4）2＝9，
∴（x+3）2+（y﹣1）2＝，
所以曲线E的方程为（x+3）2+（y﹣1）2＝，
它是一个以（﹣3，1）为圆心，以为半径的圆．
②假设存在一点T（t，2t）满足条件，设P（x，y），＝λ，
则（x﹣t）2+（y﹣2t）2＝λ2（x2+y2），
整理得λ2（x2+y2）＝（x2﹣2tx+t2+y2﹣4ty+4t2），
∵P在轨迹E上，
∴（x+3）2+（y﹣1）2＝，
化简得：x2+y2＝﹣6x+2y﹣，
∴x（6λ2﹣2t﹣6）+y（﹣2λ2﹣4t+2）﹣+λ2+5t2＝0，
∴，∴，∴T（0，0），
∵T异于原点，∴T不存在．
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