河南省郑州市郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（原卷及解析版）

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（120分钟 150分）
一､单选题（每题5分，共40分）
1. 已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两点间的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】设直线的斜率为，所以，则4.
故选：C
2. 无论为何值，直线过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点.
【详解】由得：，
由得
∴直线恒过定点.
故选：A.
3. 在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定的坐标，求得坐标，即可判断.
【详解】由题意得，则，所以为直线的一个方向向量.
故选：B
4. 如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用计算出与所成的角的余弦值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
则与所成的角的余弦值为
.
故选：D
5. 已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解.
【详解】设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
6. 已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A. B. 或C. 8或2D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】分焦点在轴和轴上两种情况，由离心率得到方程，求出或.
【详解】椭圆：的离心率为，
当椭圆焦点在轴上时，，解得，
当椭圆焦点在轴上时，，解得.
故选：C.
7. 已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ）
A. 1或B. 或C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆心和半径，利用垂径定理和点到直线距离公式表达出的面积，并利用基本不等式求出面积的最大值为，此时圆心到直线的距离为，从而得到方程，求出的值.
【详解】圆心为，半径为1，
圆心到直线的距离，
故，
则的面积，
当且仅当，即时，等号成立，
即，解得.
故选：A
8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设与轴交点为，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有且，可求离心率的取值范围.
【详解】设与轴交点为，连接，
由对称性可知，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
在中，，
所以，
所以，
由，且三角形内角和为，
所以，
所以，即，
则，
综上：.
故选：.
二､多选题（每题6分，共18分，部分答对得部分分，错选不得分）
9. 圆和圆的交点为，则有（ ）
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计算弦长判断C；求出圆到直线的距离的最大值判断D.
【详解】把两圆化为标准方程，圆的圆心，半径，
的圆心， 半径，
则有，即圆与圆相交，
对于A，将方程与相减，
得公共弦AB所在直线的方程为，即，A错误；
对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为，
而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确；
对于C，点到直线的距离为，
因此，C错误；
对于D，P为圆上一动点，圆心到直线距离为，
因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确.
故选：BD
10. 已知正方体的棱长为1，点满足（，），下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与垂直
B. 三棱锥的体积恒为
C. 若，，平面与平面夹角的余弦值为
D. 若，，则点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A利用空间向量数量积为零，证明垂直；B根据点到平面的距离恒为1，，再利用体积公式求解即可；C建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；D利用空间向量求解点到平面公式即可．
【详解】A．若，则点在上且不与重合，建立如下空间直角坐标系：
，
，
，，，，故A正确．
B．由（，），可知点在平面上，
则点到平面的距离恒为1，故三棱锥的体积恒为，故B错误．
C．若，，则为的中点，由上图，
则，，，．
设平面的法向量为n=x,y,z，，，
，则令，则，
易知是平面的一个法向量，，故C正确．
D．设点到平面的距离为，则，
即点到平面的距离为，故D正确．综上，
故选：ACD．
11. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（ ）
A. 直线与抛物线C相切B.
C. 若P是线段的中点，则D. 存在直线l，使得
【答案】AC
【解析】
【分析】先求抛物线的方程，然后用抛物线方程与直线的方程联立方程组求出交点，可判断A；用直线l的方程与抛物线的方程联立方程组，进而结合韦达定理利用向量的数量积运算可判断B选项；结合中点坐标利用焦半径公式可判断C；由得，进而求的值，从而用来可判断D选项.
【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，
即抛物线方程为，焦点F0,1.
对于A：直线的方程为，即，
因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确；
对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意；
所以直线l的斜率存在，设其方程为，，
由，得，则，即或，
于是，
又，
所以，故B错误；
对于C：由焦半径公式可得，
因为P是线段的中点，
所以，整理得，即，故C正确；
对于D：若，则，得
所以，即，解得，
此时，则直线l与抛物线相切，故D错误.

故选：AC.
【点睛】易错点睛：在判断D选项时，求出误以为存在满足题意的直线，事实上这时候直线与抛物线相切，故不存在满足题意的直线.
三､填空题（每题5分，共15分）
12. 若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义得到关于的方程，求解即可.
【详解】由得，所以准线方程为，
因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2，
即，解得，
故答案为：.
13. 若圆上有且只有两个不同的点到直线的距离等于2，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，依题意可得，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
又圆上有且只有两个不同的点到直线的距离等于2，
所以，即，所以的取值范围是.
故答案为：
14. 设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为______.
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案.
【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的中垂线为轴：
则，，，设，由，可得：，
整理得到：，故点在平面的轨迹是以为圆心，半径的圆，
转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足，
故空间中点的轨迹为以为球心，半径为2的球，同时点在球商，故点在两球的交线，为圆，
球心距为，
所以为直角三角形，对应圆的半径为，周长为
故答案为：
四､解答题（写清楚必要的文字说明､计算过程，共77分）
15. 已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．
（1）求直线和的交点坐标；
（2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点；
（2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解.
【小问1详解】
（1）因为，又直线的斜率,
所以直线的斜率,则.
由
所以直线和的交点坐标为.
【小问2详解】
由题意知的斜率k存在，设
令得，令得，
因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得，
，解得或，
即或.
16. 已知圆.
（1）若线段端点坐标是，端点A在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程；
（2）设点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点是，求的面积最小值以及此时点的坐标.
【答案】（1）
（2）坐标为，面积最小值为2
【解析】
【分析】（1）由相关点法可得答案；
（2）设，由圆的几何性质可得面积关于d的表达式，后注意到当当时，最小，即可得相应点P坐标及面积最小值.
【小问1详解】
设Ax0,y0，中点，则，得，
代入圆中，化简得圆.
【小问2详解】
设，由圆的几何性质可知，
所以当时，最小，的面积取最小值.
又因为，
所以直线方程为.则，
即点坐标为.此时的面积最小值为.
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）连接BD交AC与O，连接，构造三角形中位线即可求得；（2）根据面面垂直的性质定理可以证得线面垂直，进而得到线线垂直，再结合正三角形三线合一可以求得；（3）建立空间直角坐标系即可求得.
【小问1详解】
连接BD交AC与O，连接，如图所示：
因为M，O分别是边PD，BD的中点，则MO为的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为侧面底面， 平面底面，
，所以平面，所以，
因为侧面是正三角形，M是的中点，所以，
因为 ，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；
【小问3详解】
过点P作PF垂直于AD，因为侧面底面， 平面底面，所以平面，又底面是正方形，在点建立空间直角坐标系，取的中点E，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设底面正方形的边长为2，
则，，，
由第二问可知，即为平面的法向量，，，
，直线与平面所成角的大小为.
18. 已知椭圆和抛物线.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为，判断是否为定值，并说明理由.
【答案】（1），；
（2）为定值，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）算出四点对应的的抛物线方程，注意到对应的p一样，即可得抛物线与椭圆方程；
（2）联立抛物线与直线方程，由韦达定理可判断是否为定值.
【小问1详解】
将四个点代入抛物线方程解得的值分别为，
注意到对应的p一样，在抛物线上，
故抛物线方程为.故为椭圆上的点，
则，
椭圆方程；
【小问2详解】
是定值，理由如下：
设，则
由韦达定理：，又因为，
所以，同理
所以为定值.
19. 在平面直角坐标系中，过椭圆外一动点作的两条切线，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）对于给定非空点集，若中的每个点在中都存在一个与它之间距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.已知直线与曲线相交于两点，若分别是线段和曲线上所有点构成的集合，为曲线上一点，当的面积最大时，求.
参考公式，四元均值不等式，当且仪当时取到等号.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当切线斜率不存在或为0时，易得满足题意的P点坐标；当切线斜率存在且不为0时，可设出切线方程，然后与椭圆方程联立，最后结合判别式为0及直线垂直斜率关系可得答案；
（2）由题可得的面积关于d的表达式，结合参考公式可得d，后由定义可得答案.
【小问1详解】
当的斜率不存在或者为0时，
由题意可知点的坐标为或；
当切线的斜率存在且不为0时，设过作椭圆的切线的斜率为，
则切线的方程为，将其与椭圆方程联立，
并化简得
由题意得，，
设的斜率分别为，则是上式的两个根，且，
所以，则，又，则，
即，
|注意到，均满足方程，
则动点的轨迹的方程为；
【小问2详解】
过圆心作直线的垂线，垂足为，
设，则，
由题意，
又，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
对于线段上的任何一个点，曲线上与距离最近的点为射线与圆的交点，
距离的最小值为，又因为，所以
由题意得，.