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专题02 一元二次函数、方程和不等式-【备战学考】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习(全国通用,春季高考适用)
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1、理解不等式的概念,掌握不等式的性质;
2、掌握基本不等式();
3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题
4、会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程的根的关系;
5、了解一元二次不等式的意义,会求一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集;
基础知识梳理
1、不等式的概念
在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子,叫做不等式.
2、实数大小的比较
1、如果是正数,那么;如果等于,那么;如果是负数,那么,反过来也对.
2、作差法比大小:①;②;③
3、不等式的性质
4、基本不等式(一正,二定,三相等,特别注意“一正”,“三相等”这两类陷阱)
①如果,,,当且仅当时,等号成立.
②其中叫做正数,的几何平均数;叫做正数,的算数平均数.
5、两个重要的不等式
①()当且仅当时,等号成立.
②()当且仅当时,等号成立.
6、利用基本不等式求最值
①已知,是正数,如果积等于定值,那么当且仅当时,和有最小值;
②已知,是正数,如果和等于定值,那么当且仅当时,积有最大值;
7、二次函数
(1)形式:形如的函数叫做二次函数.
(2)特点:
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时,恒有();当且()时,恒有().
8、一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
9.或型不等式的解集
10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
考点精讲讲练
考点一:等式性质与不等式性质
【典型例题】
例题1.(2024北京)已知,则下面不等式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小
【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.
【详解】对于ABD:取,满足,显然和,都不成立;
对于C:由可得,故成立.
故选:C
例题2.(2024福建)已知,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据不等式的性质判断AB,举反例判断CD.
【详解】因为,
所以,A正确;
,因此,B错;
时,,但,,CD错;
故选:A.
例题3.(2024湖北)已知克糖水中含有克糖,再添加克糖()(假设全部溶解),糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据题意建立不等关系即可.
【详解】由题意可知糖水原浓度为,加糖之后的浓度为,
则有.
故选:C
【即时演练】
1.已知四个实数.当时,这四个实数中的最大者是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】根据给定条件,利用不等式的性质,结合作差法比较大小.
【详解】由,得,则;
,则;
,则,
所以这四个实数中的最大者是.
故选:C
2.(多选)对于任意的实数,下列命题错误的有( )
A.若,则B.若,,则
C.若,则D.若,则
【答案】ABD
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据不等式性质可判断.
【详解】A选项:,若,则,选项错误;
B选项:,,设,,,,则,选项错误;
C选项:若,则,选项正确;
D选项:,设a=2,,则,选项错误.
故选:ABD.
3.设,,则有 .(请填“”、“”、“”,“”,“”)
【答案】
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